Travaux dirigés
PC
∗Équations di
fférentielles
Équations di
fférentielles linéaires du premier ordre
Exercice 1 Résoudre sur un intervalle adéquat l’équation différentielle suivante : (sint)3x0−2(cos t)x = 0. Quelle est la dimension de l’espace des solutions définies sur R ?
Exercice 2
a) Résoudre l’équation t2x0+ x = t2sur l’intervalle ]0, +∞[. On exprimera les solutions à l’aide de l’application t 7→ Zt
0
e−1/udu, après avoir justifié la convergence de cette intégrale.
b) Montrer que l’équation admet une unique solution ayant une limite finie en 0. Quelle est cette limite ? Exercice 3 Soit E =C0(R+, R) et a et b deux réels tels que a > 0.
a) Montrer que pour tout f ∈ E il existe un unique g ∈C1(R+, R) tel que g 0
+ ag = f et g(0) = b.
b) Montrer que si f est intégrable sur R+il en est de même de g. Trouver dans ce cas une relation entre Z+∞ 0 f (t) dt et Z+∞ 0 g(t) dt.
Exercice 4 Soit g : R → R une fonction développable en série entière, de rayon de convergence R. Montrer que l’équation différentielle tx0
+ x = g(t) admet une unique solution développable en série entière, avec un rayon de convergence R0>R. Exercice 5 Soient a et b deux fonctions continues de R dans R, et y et z solutions de :
y(0) = z(0) y0= a(t)y + b(t) z06a(t)z + b(t). Démontrer que pour tout t > 0 on a y(t) > z(t).
Systèmes di
fférentiels
Exercice 6 Résoudre les systèmes différentiels suivants : x0= 2x + y + z y0= x − y − z z0= −x + 2y + 2z x0= 2y + 2z y0= −x + 2y + 2z z0= −x + y + 3z x0= y + z y0= −x + 2y + z z0= x + z
Exercice 7 Soit A ∈ Mn(R) vérifiant A2= −In. Résoudre le système différentiel X
0
= AX ; on exprimera les solutions en fonction de X(0) et AX(0).
Équations di
fférentielles linéaires du second ordre
Exercice 8 Résoudre l’équation différentielle : x(1 − 2lnx)y00+ (1 + 2 ln x)y0−4
xy = 0. On cherchera une solution de la
forme y = xα.
Exercice 9 Chercher une solution développable en série entière de l’équation : xy00+ 2y0−xy = 0 puis résoudre complè-tement cette équation.
Exercice 10 Intégrer les équations différentielles suivantes sur des intervalles adéquats :
y00−4y0+ 4y = 2(x − 2) ex y00−y0−e2xy = e3x (poser t = ex)
x2y00−2xy0+ 2y = x (poser t = ln x)
Exercice 11 Soit ω ∈ R∗+; on s’intéresse à l’équation différentielle x00+ ω2x =
+∞ X
n=1
cos(nt)
n2 .
a) On suppose que ω < N∗. Résoudre l’équation différentielle puis démontrer que toutes les solutions sont bornées. b) On suppose que ω = p ∈ N∗. Résoudre l’équation différentielle; les solutions sont-elles encore bornées?
Exercice 12 Soit f : R+→ Rune fonction continue intégrable. On considère l’équation différentielle y 00
+ f (t)y = 0. a) Soit y une solution bornée de l’équation. Montrer que y0tend vers 0 en +∞.
b) Soient y1et y2deux solutions. Montrer que leur wronskien w(t) = y1(t) y2(t) y10(t) y20(t) est constant. c) En déduire que l’équation admet une solution non bornée.
