La zone interne

Contrairement à la zone externe, la zone interne est dépourvue de structures

cohérentes car dans dans cette région de l'écoulement, l'intensité des structures

cohérentes décroît et devient faible devant l'intensité de diusion turbulente. La

modélisation doit en outre reproduire les prols de vitesse normalehV

_s

iet de variance

des uctuations normaleshu

_s2

icorrespondants aux études de DNS (cf. [1]). Pour ces

raisons, les paramètres du modèle deviennent dépendants de la distance à la paroi

an de tenir compte de la décroissance des grandeurs de l'écoulement dans cette

zone. La vitesse de uide vu est donc modélisée par un processus de diusion :

dV

s

=Aint(y

⁺_p

)dt− ^V

^s

T

_L

^dt+Kint(y

+

La valeur du coecientA

_int

(y

_p⁺

) est donné dans les travaux de Guingo et Minier

[25]. La valeur du coecient de diusionK

_int

(y

+

p

)est choisie an d'établir l'équilibre

entre la zone interne et la zone externe du Modèle de Proche Paroi. Elle est obtenue

théoriquement par la condition d'équilibre des ux de particules traversant l'interface

entre les deux zones (le principe de cette démarche est entièrement détaillé dans

le deuxième chapitre de ce manuscrit Section 2.1). La valeur du coecient est la

suivante [25] :

K

_int

(y

_p⁺

) =















K

_int

(y

_interf⁺

)

2

1−cos

πy

_p⁺

5

siy

+ p

≤5

K

_int

(y

⁺_interf

) siy

+ p

≥5

(1.11)

avecK

_int

(y

_interf⁺

), le coecient de diusion à l'interface zone / externe qui vaut :

K

_int

(y

_interf⁺

) = ^τ

^d

τ

s

+τ

d

K

_ext

(1.12)

oùτ

_d

etτ

_s

sont les temps caractéristiques respectivement d'une phase de diusion et

d'une structure turbulente de la zone externe. La démarche pour obtenir l'expression

du coecient de diusion de la zone externe,K

_ext

fait l'objet de la première section

du chapitre suivant (Section 2.1).

De plus, le mouvement Brownien étant plus important dans la couche limite

visqueuse, son eet a été ajouté dans le bilan de forces agissant sur la particule :

dV

p

= ^V

^s

−V

p

τ

_p

^{dt+gdt+KbrodW}

0

t

. (1.13)

Le coecient de diusion brownien K

_bro

est donné par le théorème

d'équiparti-tion de l'énergie [69] :

K

_bro

=

s

2k

_B

T

_f

m

_p

τ

_p

(1.14)

où k

_B

est la constante de Boltzman, T

_f

la température de l'écoulement vu par la

particule et m

p

la masse de la particule. Contrairement aux autres grandeurs du

modèle dans la zone interne, le coecient de diusion brownien ne dépend pas de la

distance à la paroi et son importance est grandissante lorsque l'on se rapproche de

la paroi puisqueKint →0quandy

p

→0. Notons queKbro dépend de la température

de l'écoulement T

_f

.

Le Modèle de Proche Paroi présente deux interfaces, l'une entre la zone interne

et la zone externe, l'autre entre la zone externe et le coeur de l'écoulement qui est

calculé par le Modèle de Langevin Généralisé. Le traitement du raccord des deux

in-terfaces est assuré par l'égalité du ux de particules qui les traversent. Dans les deux

1.3. LE MODÈLE DE DÉPÔT DE PROCHE PAROI

cas, cela conduit à une expression pour le coecient de diusion de chaque zone (K

_int

etK

_ext

). Pour l'interface interne, il s'agit de raccorder deux processus stochastiques

de diusion sachant que seules les particules en phase de diusion peuvent traverser

l'interface. En revanche, le traitement de l'interface externe est plus ardu car les

par-ticules peuvent quitter la zone de proche paroi dans une structure d'éjection ou dans

une phase de diusion. Cette complexité nécessite un traitement supplémentaire qui

fait l'objet du chapitre suivant.

Conclusion partielle

Nous avons présenté dans ce chapitre, l'approche de modélisation adoptée pour

simuler les écoulements disphasiques. Il s'agit d'une approche hybride dans laquelle

le uide est décrit par une méthode dite Eulérienne qui fournit les champs moyens

sur un maillage a l'aide d'un modèle de turbulence (modele RANS de typeR

_ij

−) et

dans laquelle les particules sont décrites par une méthode Lagrangienne qui consiste

a suivre les trajectoires d'un nombre statistiquement représentatif de particules dans

l'écoulement. Dans cette approche hybride, l'information fournie par la description

Eulérienne du uide étant limitée (typiquement aux deux premiers moments), les

vitesses uides instantanées qui sont nécessaires pour la simulation des trajectoires

de particules solides sont reconstituées par des modèles lagrangiens stochastiques.

La particularité de la modélisation du transport des particules dans un

écoule-ment turbulent conné est qu'elle est la coordination de deux modèles : le Modèle

de Langevin Généralisé (MLG) (développé par Minier et Peirano en 2001 [51]) qui

calcule le transport des particules dans le c÷ur de l'écoulement et le Modèle de

Proche Paroi (MPP) (développé par Guingo et Minier en 2008 [25]) qui calcule le

déplacement des particules au voisinage de la paroi. Dans ces modèles, chaque

par-ticule est représentée par le même vecteur d'état qui comprend la position de la

particule, sa vitesse et la vitesse de uide vu qui correspond à la vitesse instantanée

du uide à la position de la particule. Cependant, la modélisation de la vitesse de

uide vu dière d'un modèle à l'autre.

La construction du MPP est le résultat d'une approche phénoménologique qui a

identié que certaines structures cohérentes de l'écoulement dans la zone de proche

paroi sont responsables du déplacement des particules en direction de la paroi. Le

MPP se découpe en deux zones, une zone externe qui comprend la zone logarithmique

de la couche limite de l'écoulement et qui est le siège d'évènement cohérents de type

sweep et ejection et de phases de diusion plus aléatoires. La modélisation de la

vitesse de uide vu dans cette zone est donc une alternance entre un processus

déterministe pour les structures cohérentes et un processus stochastique de diusion

pour les phases de diusion. La zone interne du MPP qui comprend la sous-couche

est dépourvue de structures cohérentes et la vitesse de uide vu est modélisée par un

processus stochastique de diusion tout comme dans le MLG. Les deux modèles sont

couplés au niveau de leur interface qui est située à la n de la zone logarithmique de

la couche limite. Le raccord du MLG avec le MPP fait l'objet du chapitre suivant.

Chapitre 2

Le couplage des deux modèles

lagrangiens stochastiques

Ce chapitre traite de la démarche adoptée pour raccorder le Modèle de Langevin

Généralisé (MLG) au Modèle de Proche Paroi (MPP) qui calculent respectivement

le déplacement d'une particule dans le c÷ur de l'écoulement et dans la zone de

proche paroi.

La diculté du couplage se comprend lorsque l'on s'intéresse aux caractéristiques

de chaque modèle au voisinage de l'interface. Comme nous l'avons expliqué

précé-demment (Section 1.2 et Section 1.3), la modélisation de la vitesse de uide vu U

s

dière d'un modèle à l'autre. En eet, contrairement au MLG dont la description du

uide est réalisée par un processus de diusion, celle de la zone externe du MPP

pré-sente une petite complexité induite par le processus de saut (qui pilote l'alternance

entre une phase de diusion et une structure cohérente). Cette caractéristique étant

le résultat d'une approche phénoménologique qui a pour objectif de modéliser de la

façon la plus dèle le comportement des particules colloïdales dans la couche limite

turbulente. LaFigure 2.1illustre cette diérence entre les deux modèles. Les courbes

représentent la fonction densité de probabilité (PDF) de la vitesse de uide vu U

_s

dans chaque modèle. Ces courbes ont été obtenues par simulation de Monte Carlo [9].

Nous sommes en présence de deux processus stochastiques très diérents (cf.

Fi-gure 2.1) que nous devons coupler an de simuler le transport d'une particule dans

l'ensemble de l'écoulement. L'interface entre les deux modèles crée une discontinuité

dans la description de la vitesse de uide vu. L'objectif de ce couplage est donc

de rendre l'interface invisible en assurant la continuité des grandeurs principales de

l'écoulement au passage de l'interface (comme nous l'expliquerons dans la suite de

ce chapitre, il s'agit de la concentration en particules uide).

Figure 2.1 PDF des vitesses de uide vuU

_s

. A gauche, dans le MPP avec

l'alter-nance structure cohérente de type sweep/ejection (distributions de Dirac) et phase

de diusion (distribution gaussienne). A droite, la distribution gaussienne du MLG.

Nous avons identié deux critères an de valider le couplage de ces modèles

lagrangien stochastiques : la validation par les particules uides et l'adéquation aux

résultats expérimentaux de dépôt de particules colloïdales ([58] et [38]). Ce chapitre

traite du premier critère, la validation par les particules uides qui est nécessaire

dans le cadre d'une démarche de validation d'un modèle lagrangien (cette démarche

de validation sera détaillée dans la Section 2.1 de ce chapitre). C'est une étude à

la fois théorique et numérique. Le Chapitre 3 abordera le deuxième critère qui est

plus physique puisqu'il s'agit de se confronter aux résultats expérimentaux de dépôt

disponibles dans la littérature.

2.1. TRAITEMENT DU RACCORD À L'INTERFACE : ÉGALITÉ DES FLUX DE

PARTICULES

2.1 Traitement du raccord à l'interface : égalité des

ux de particules

Les travaux de couplage sont validés par le passage en particules uides. La

va-lidation par les particules uides est une étape cruciale dans la construction d'un

modèle lagrangien. Elle consiste à vérier que lorsque le modèle est utilisé avec des

particules uides (τ

_p⁺

→ 0), non seulement les caractéristiques connues d'un

écou-lement (prols de vitesse, de variance, etc.) sont bien retrouvées. Mais surtout que

l'écoulement ne comporte aucune accumulation non physique de particules uides

(phénomène de "spurious drift" [45]) i.e. que la concentration en particules uides

est uniforme dans tout l'écoulement. En d'autres termes, cela revient à respecter

l'équation de conservation de la masse dans tout le domaine. La validation par les

particules uides s'avère très utile dans le cas d'écoulements à géométrie complexe

où les statitisques de l'écoulement ne sont pas toujours connues.

Nous cherchons donc à assurer une répartition uniforme des particules uides

dans tout le domaine, notamment autour de l'interface. Sachant que les particules

qui traversent l'interface ont toutes la même masse car ce sont des particules uides,

la conservation de la masse autour de l'interface est assurée par l'égalité du ux de

particules uides issues du c÷ur de l'écoulement et pilotées par le MLG (F

₁→2

dans

la Figure 2.2) avec le ux de particules uides issues de la zone de proche paroi,

pilotées par le MPP (F

₂→1

dans la Figure 2.2).

Figure 2.2 Schéma des ux de particules traversant une interface entre deux

zones

De manière générale, le ux de particules se déplaçant d'une zone 1 vers une

zone 2 s'exprime de la manière suivante [53] :

F

1→2

=C

p

Z

+∞ 0

vp1(v) dv (2.1)

où C

_p

est la concentration volumique de particules et p

₁

la PDF de la vitesse des

particules uides dans la zone 1.

L'interface entre les deux modèles (à y

+

= 100) se situe dans la zone

loga-rithmique de la couche limite, et dans cette zone, les composantes du tenseur de

Reynolds sont constantes [61]. De ce fait, les paramètres du coecients de dérive

et de diusion du processusU

_s

sont constants (U

_s

est un processus d'Ornstein

Uh-lenbeck [57]). La PDF de la vitesse de uide vu du MLG est donc gaussienne et

s'écrit :

p1(v) = ¹

σ

₁

√

2π^exp

− ^v

2

2σ

₁2

(2.2)

oùσ

₁

est l'écart type du processus U

_s

dans le MLG :

σ

₁

=^phv

2

i=

s

kC

₀

1 + (3/2)C

₀

(2.3)

C

₀

est un paramètre actuellement xé à 2.1 et k représente l'énergie cinétique

tur-bulente du uide.

En réinjectantEq. (2.2) dans Eq. (2.1), on obtient l'expression du ux F

1→2

de

particules issues du MLG :

F

₁→2

=C

_p

√^σ

¹

2π ⁼

1

√

2π

s

kC

₀

1 + (3/2)C0 (2.4)

En procédant de la même manière [25] on obtient l'expression du ux F

₂→1

de particules issues de la zone de proche paroi et se dirigeant vers le coeur de

l'écoulement :

F

₂→1

=C

_p

1

2

τ

_s

τ

s

+τ

d

V

_s

+ ^τ

^d

τ

s

+τ

d

σ

₂

√

2π

(2.5)

où τ

_d

et τ

_s

représentent respectivement le temps caractéristique d'une phase de

diusion et d'une structure cohérente dans la zone externe de MPP. L'écart typeσ

₂

du processus U

s

dans une phase de diusion du MPP s'écrit :

σ

₂

=K

_ext

r

T

_L

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