On considère l’équation linéaire homogène du second ordre(E) :y′′+py′+qy= 0, oùp, qsont des fonctions (l’équation n’est donc pas à coefficients constants).
Soient y1 et y2 deux solutions de (E). On définit leur wronskien W(y1, y2) par W(y1, y2) =y1y2′ −y2y1′ (s’il n’y a pas d’ambiguité, on noteW au lieu deW(y1, y2)).
Alors le wronskienW possède de nombreuses propriétés fondamentales : – W vérifie l’équation différentielle linéaire du premier ordreW′+pW = 0, – W est la fonction nulle si et seulement si elle s’annule,
– y1ety2sont des solutions indépendantes si et seulement siW(y1, y2)6= 0.
application : on peut utiliser le wronskien pour, connaissant une solution d’une équa-tion différentielle linéaire du second ordre sans second membre, en déterminer toutes les solutions. En effet, siy1est une solution connue de(E)et siydésigne une autre solution, le wronskienW = W(y1, y)vérifieW′ +pW = 0. On sait donc déterminerW, et par conséquent aussi y, qui est par définition deW solution de l’équation du premier ordre y1y′−y1′y=W.
Guillaume Laget - http ://maths.tetras.org/ 40/50 VII - 5 Equations linéaires du second ordre à coefficients constants
Là encore, cette méthode à le mérite d’exister...mais les calculs sont souvent très lourds, et il faut de plus connaître une solution pour en déterminer d’autres.
Guillaume Laget - http ://maths.tetras.org/ 41/50 VII - 5 Equations linéaires du second ordre à coefficients constants
Huitième partie
Vecteurs
1 Rappels sur les vecteurs
Un vecteur~u=AB~ est défini par :
– sa direction (la direction de la droite(AB)), – son sens (deAversB),
– sa norme (la longueurAB).
Le physicien rajoute souvent une origine : si le vecteur représente une force, l’origineA deAB~ correspond au point d’application ; en revanche, pour le mathématicien, siABDC est un parallélogramme, les vecteursAB~ etCD~ sont égaux.
Deux vecteurs qui ont même direction sont dits colinéaires.
Deux vecteurs dont les directions sont des droites orthogonales sont dits orthogonaux.
Entre deux vecteurs, on peut considérer :
- l’angle géométrique (ou non orienté), compris entre 0 etπ(ou 0 et 180˚),
- ou bien l’angle orienté, dans]−π, π](ou plus généralement, réel, défini à2πprès).
Les angles géométriques formés par(~u, ~v)et par(~v, ~u)sont égaux, alors que les angles orientés sont opposés.
Deux vecteurs sont colinéaires si leur angle orienté est multiple deπ.
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur angle orienté vaut±π/2 + 2kπ,k∈Z. On sait additionner et soustraire deux vecteurs géométriquement ; on sait multiplier un vecteur~vpar un nombre réelλ:λ~vest de même direction que~v, de même sens (siλ >0) ou de sens opposé (siλ <0), et de norme multipliée par|λ|.
2 Bases et repères
Deux vecteurs non colinéaires du plan~iet~j(ou trois vecteurs non coplainaires de l’es-pace~i,~jet~k) forment une base.
Alors tout vecteur peut s’écrire de façon unique comme combinaison linéaire ~u = a~i+b~j+c~kde~i,~jet~k:(a, b, c)sont les coordonnées deudans la base(~i,~j,~k).
De même, la donnée d’un pointOet d’une base de vecteurs définit un repère de l’es-pace : les coordonnées d’un pointM dans le repère(O;~i,~j,~k)sont alors celles du vecteur OM~ dans la base(~i,~j,~k).
Un repère est ditorthogonalsi les vecteurs(~i,~j,~k)sont deux à deux orthogonaux, et orthonormé si les vecteurs(~i,~j,~k)sont deux à deux orthogonaux et sont de norme 1.
3 Le produit scalaire
On définit le produit scalaire de deux vecteurs~uet~vpar la formule
~u.~v=||~u||.||~v||.cos(~u, ~v).
cosétant paire, on a pour tous~u, ~v:~u.~v=~v.~u (le produit scalaire est commutatif).
On voit que le produit~u.~vest nul si et seulement si~u= 0ou~v = 0oucos(~u, ~v) = 0, ce que l’on peut résumer en :
~u.~v= 0si et seulement si~uet~vsont orthogonaux.
On admet que le produit scalaire est distributif par rapport aux combinaisons linéaires : (a~u+b~v). ~w=a~u. ~w+b~v. ~w.
Si une base(~i,~j,~k)est fixée, on peut ainsi calculer le produit scalaire des vecteurs~uet
~vde coordonnées(a, b, c)et(a′, b′, c′): on a~u=a~i+b~j+c~ket~v=a′~i+b′~j+c′~k, donc
~u.~v=aa′~i.~i+ab′~i.~j+ac′~i.~k+ba′~j.~i+bb′~j.~j+bc′~j.~k+ca′~k.~i+cb′~k.~j+cc′~k.~k.
Si la base(~i,~j,~k)est quelconque, le calcul s’arrête là. Mais si la base est orthonormée,
~i.~i =~j.~j = ~k.~k = 1et~i.~j = ~j.~i =~i.~k =~k.~i =~j.~k = ~k.~j = 0, et l’expression se simplifie :
si dans une base orthonormée on a
~u(a, b, c)et~v(a′, b′, c′), alors~u.~v=aa′+bb′+cc′. en particulier, en prenant~u=~v,
||~u||2=a2+b2+c2.
Il existe donc deux méthodes pour calculer un produit scalaire : une méthode géomé-trique utilisant la définition (il faut connaître la norme de chaque vecteur et l’angle qu’ils forment entre eux) et une méthode analytique basée sur les coordonnées des vecteurs.
application : déterminer l’équation du plan(P)de vecteur normal~n(a, b, c)et passant par un pointA(x0, y0, z0).
M(x, y, z)est dans le plan normal à~npassant parAsi et seulement siAM~ et~nsont orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement siAM .~n~ = 0.
On obtient donc l’équation(P) :a(x−x0) +b(y−y0) +c(z−z0) = 0.
Guillaume Laget - http ://maths.tetras.org/ 42/50 VIII - 3 Le produit scalaire
4 Le produit vectoriel
Comme son nom l’indique, le produit scalaire de deux vecteurs est un réel. On va défi-nir un autre produit de deux vecteurs, le produit vectoriel, dont le résultat est cette fois un vecteur ; pour cela il suffit de définir sa direction, son sens et sa norme :
si~uet~vsont deux vecteurs, on définit leur produit vectoriel~u∧~vpar :
~u∧~vest de direction orthogonale à celles de~uet~v, le sens de~u∧~vest tel que le trièdre(~u, ~v, ~u∧~v)soit direct,
||~u∧~v||=||~u||.||~v||.|sin(~u, ~v)|.
remarque : le trièdre formé par trois vecteurs(~u, ~v, ~w)est dit direct si, au choix : - quand on place le majeur de la main droite dans le sens de~u, la paume de la main tournée dans le même sens que~v, alors le vecteurw~ a le même sens que le pouce.
- quand on place (sur la main droite) le pouce dans le sens de~u, l’index dans le sens~v, alors le majeur indique le sens dew.~
Comme pour le produit scalaire, la condition de nullité du produit vectoriel est simple :
~u∧~v= 0si et seulement si~uet~vsont colinéaires.
Citons une application pratique du produit vectoriel :
||~u∧~v||est l’aire du parallélogramme dont les côtés sont construits sur~uet~v
Si l’on échange~uet~v, ni la direction ni la norme ne changent, en revanche le sens est changé en son opposé :~u∧~v=−~v∧~u(le produit vectoriel est anti-commutatif).
On admet que le produit vectoriel est distributif par rapport aux combinaisons linéaires : (a~u+b~v)∧w~ =a~u∧w+b~v~ ∧w. Alors si une base~ (~i,~j,~k)est fixée, on peut ainsi calculer le produit scalaire des vecteurs~uet~vde coordonnées(a, b, c)et(a′, b′, c′):~u=a~i+b~j+c~k et~v=a′~i+b′~j+c′~k, donc~u∧~v=aa′~i∧~i+ab′~i∧~j+ac′~i∧~k+ba′~j∧~i+bb′~j∧~j+ bc′~j∧~k+ca′~k∧~i+cb′~k∧~j+cc′~k∧~k.
Si la base(~i,~j,~k)est quelconque, le calcul s’arrête là. Mais le plus souvent on tra-vaille dans une base orthonormée directe, et alors comme~i∧~i =~j ∧~j = ~k∧~k =~0,
~i∧~j =−~j∧~i=~k,~k∧~i=−~i∧~k=~jet~j∧~k =−~k∧~j=~i, l’expression se simplifie en(bc′−b′c)~i+ (ca′−ac′)~j+ (ab′−ba′)~k. Ainsi,
si dans une base orthonormée directe on a
~u(a, b, c)et~v(a′, b′, c′),
alors~u∧~v= (bc′−b′c)~i+ (ca′−ac′)~j+ (ab′−ba′)~k.
calcul pratique : pour calculer une coordonnée de~u∧~v, on « oublie » les coordonnées correspondantes dans les vecteurs~uet~v, et on calcule le déterminant
des coordonnées restantes, en rajoutant un signe - pour la deuxième coordonnée.
Par exemple, si~u
Comme son nom l’indique, le produit mixte est un produit entre trois vecteurs qui fait intervenir à la fois le produit scalaire et le produit vectoriel :
Si~u,~vetw~ sont trois vecteurs,
on définit leur produit mixte[~u, ~v, ~w]par~u.(~v∧w).~
Le produit mixte ne change pas si l’on permute circulairement les vecteurs :[~u, ~v, ~w] = [~v, ~w, ~u] = [w, ~u, ~v]. En revanche, si l’on échange deux vecteurs, le signe change :~ [~u, ~v, ~w] = −[~v, ~u, ~w]. Pour les autres règles de calcul, on se ramènera à la définition et aux règles de calculs des produits scalaire et vectoriel. On retiendra surtout la propriété :
|[~u, ~v, ~w]|est le volume du pavé dont les côtés sont construits sur les vecteurs~u, ~vetw.~ En particulier,[~u, ~v, ~w] = 0si et seulement si le pavé est plat,
c’est-à-dire si~u, ~vetw~ sont coplanaires.
Guillaume Laget - http ://maths.tetras.org/ 43/50 VIII - 5 Le produit mixte
6 Espaces vectoriels
6.1 définition
définition : un espace vectoriel réel est un ensemble constitué de vecteurs, qui reste stable par addition des vecteurs et multiplication d’un vecteur par un scalaire (un élément deR).
exemples :
1. le pointO, la droiteR, le planR2et l’espaceR3 2. dansR2, toute droite passant par(0,0)
3. dansR3, toute droite, tout plan, passant par(0,0,0)
4. plus abstrait : l’ensemble des fonctions, l’ensemble des polynômes, . . .,
5. l’ensemble des solutions d’une équation différentielley′′+α(x)y′+β(x)y= 0 définition : une combinaison linéaire des vecteurs~uet~vest un vecteur de la forme λ~u+µ~v, avecλ,µréels.
On considère de même des combinaisons linéaires de 3, 4, ... vecteurs.
exemple : le vecteur~v = (1,2,−1)est combinaison linéaire des vecteurs~i = e~1 = (1,0,0),~j =e~2= (0,1,0),~k=e~3= (0,0,1): il s’écrit~v=e~1+ 2e~2−e~3.
Plus généralement, dans R3, tout vecteur est combinaison linéaire des vecteurs
~
e1, ~e2, ~e3, et cela de façon unique.