4. Cadre théorique
4.6. La voxélisation
4.6.1. Calcul de l’indice de densité relative (IDR)
Le voxel est un pixel en trois dimensions (3D), c’est-à-dire un cube qui contient une ou plusieurs valeurs (Hosoi &Omasa 2006). L’ensemble des voxels forme une grille 3D dans laquelle chacun à une coordonnée (X, Y, Z) dans un repère cartésien (Côté et al., 2011; Béland et al., 2011). L’indice de densité relative (IDR) pour chaque voxel est le quotient du nombre de rayons retournés dans un cube sur le nombre de rayons qui passent à travers ce cube (Durrieu et al., 2008). Pour évaluer cet indice dans chaque cube, la grille de voxels doit être parcourue à quatre reprises pour chaque position de scan. Une première fois pour compter le nombre de points retournés à l’intérieur du voxel (figure 13.a). Une deuxième fois pour calculer le nombre de rayons théoriques maximum qui pourrait passer dans chaque voxel (figure 13.b). Une troisième fois pour comptabiliser les rayons précédemment interceptés sur le chemin entre le voxel et le scanner (figure 13.c). Enfin, une dernière fois pour calculer l’IDR qui utilise les trois précédents paramètres (figure 13.d).
Figure 13 - Schéma du calcul L-Vox pour déterminer l’indice de densité relative (IDR) de matériel dans un voxel (tiré de Durrieu et al. 2007).
4.6.2. Calcul de la DST par voxel
Dans cette étude, la loi de Beer-Lambert détaillée dans le partie 4.4.1 est appliquée mais à l’échelle du voxel (figure 14) pour en déduire la DST par voxel. La dimension de ce dernier est choisie par rapport à l’envergure moyenne des feuilles de manière à considérer l’indice de groupage Ω(θ)=1, c’est-à-dire avec un feuillage réparti de manière aléatoire à l’intérieur du voxel. De plus, la distribution angulaire du feuillage à l’intérieur du voxel est considérée comme une orientation
sphérique (tableau A1), c’est-à-dire avec angle de visée zénithale moyen ̅̅̅ = 57.3° ce qui 𝜃1 implique 𝐺(𝜃) = 0,5. D’autre part, dans le cas de voxels cubiques de dimension Δh, le calcul de probabilité de trouée prend en compte la surface projetée du voxel Aproj dans un plan perpendiculaire à la direction des rayons par rapport au volume du voxel Vvol (𝑉𝑣𝑜𝑙 = 𝛥ℎ3). Cette surface projetée et perpendiculaire aux rayons incidents permet de déduire la distance de parcours des rayons à l’intérieur du voxel 𝑑𝑣 (en bleu sur la figure 14) avec le rapport : 𝑑𝑣 = 𝑉𝑣𝑜𝑙
𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗 =
𝛥ℎ3 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗 (Béland et al. 2014a) ou 𝑑𝑣(𝜃) ≈ 𝛥ℎ
cos(𝜃).
Figure 14 - Schéma d'application de la loi de Beer-Lambert à l'échelle du voxel.
De plus, en l’absence de distinction entre le bois et le feuillage, l’équation de l’ISF est généralisée en IST. Sachant que pour un voxel cubique l’𝐼𝑆𝑇 = 𝐷𝑆𝑇𝑣× 𝛥ℎ, inverser cette équation permet de retrouver le 𝐷𝑆𝑇𝑣 pour un voxel (Béland et al. 2014a; Piboule 2005) :
𝑃(𝜃) = 𝑒𝑥𝑝 [−𝐺(𝜃).Ω(𝜃).(𝐷𝑆𝑇𝑣.𝛥ℎ)
𝑐𝑜𝑠(𝜃) ] (6)
𝑃 = exp(−0,5. 𝐷𝑆𝑇𝑣. 𝑑𝑣) (7)
𝐷𝑆𝑇𝑣 = −𝑑log(𝑃)
𝑣⨯0.5 (8)
Pour finir, l’inverse de la loi de probabilité P qu’un rayon passe à travers un voxel, revient à calculer la probabilité qu’il soit intercepté, soit 1 − 𝑃. L’algorithme L-Vox décrit dans la partie 4.6.1 procure un IDR qui est correspond à la proportion normalisée de rayons interceptés dans un voxel. C’est pourquoi la relation 𝐼𝐷𝑅 = 1 − 𝑃 peut être appliquée, ce qui donne :
𝐷𝑆𝑇
𝑣= −
log(1−𝐼𝐷𝑅)𝑑𝑣⨯0.5 (9)
4.6.3. Effet de l’occlusion
Le calcul des voxels pour chaque point de vue (scan lidar-t) énoncé en 4.6.1 a pour inconvénient de ne pas donner un indice de densité directement corrigé. En effet, il y encore des imprécisions à cette étape du calcul (Durrieu et al., 2008). Le principe d’occlusion apparaît au fur et à mesure de l’éloignement à la source laser. Plus la distance augmente et plus il est probable que chaque faisceau ait rencontré sur sa trajectoire au moins un élément de la végétation (milieu homogène) (Durrieu et al., 2008). Dès lors, le nombre de rayons interceptés sur l’ensemble des voxels déjà parcourus augmente. Par conséquent, le nombre de rayons restant pour détecter la végétation diminue si bien que la quantité de rayons retournés diminue indépendamment de la densité réelle du matériel présent (Van der Zande et al., 2006). L’impact de l’occlusion sur le calcul de l’IDR est illustré par la figure 15 à travers 3 cas représentatifs : absence d’occlusion, occlusion partielle et occlusion totale.
Figure 15 - Schéma sur l'effet de l'occlusion (tiré de Durrieu et al. 2008).
Les trois encadrés noirs symbolisent trois voxels vus en coupe qui décrivent trois cas représentatifs des effets de l’occlusion. Le voxel de gauche représente le cas sans occlusion dans lequel une tige verticale (en gris clair au milieu de l’encadré) retourne 3 faisceaux lidar sur les 9 émis par le capteur. Le voxel central montre la même tige qui retourne aussi les trois mêmes rayons lidar mais seulement 6 rayons ont atteint le voxel, car 3 des 9 rayons émis ont été interceptés avant d’atteindre ce voxel. C’est le cas de l’occlusion partielle du voxel. Pour finir, le voxel de droite ne retourne aucun faisceau bien qu’il contienne la même tige que les deux premiers voxels et qu’il y ait eu les mêmes 9 faisceaux d’émit. C’est le cas de l’occlusion totale. Légende retournés 3 théoriques 9 - 0 Densité 3/9 = 33% non retourné retourné théorique (dedans) = théo (max) - ret (avant)
théorique max = 9 obstacle zone occluse voxel retournés 3 théoriques 9 - 3 Densité 3/6 = 50% retournés 0 théoriques 9 - 3 Densité 0/6 = 0%
4.6.4. Combinaison des points de vue
La solution pour diminuer significativement ce problème d’occlusion s’appuie sur le choix stratégique de la position des scans dans la placette. Une fois le problème d’échantillonnage inégal résolu (étape précédente), ces balayages multiples deviennent précieux pour lutter contre l’occlusion. Chaque scan a permis de calculer une grille de voxels. Pour générer une seule grille finale il faut donc sélectionner, pour chaque voxel, la valeur de densité la plus juste entre toutes les grilles concurrentes. Par ailleurs, chaque voxel contient trois paramètres liés à la proportion d’interception des rayons (figure 13). Il est donc possible de sélectionner les meilleures valeurs de densité en combinant ces paramètres de manière à créer un indicateur d’occlusion. Plusieurs théories s’affrontent entres les méthodes de sélection. La plus courante consiste à prendre la valeur de densité maximale en gardant un seuil minimum des rayons restants. Une seconde prend la valeur de densité du voxel si son nombre de rayons restants est le plus élevé, c’est-à-dire si sa quantité de rayons précédemment interceptés est minimum.