mousse au volume de calcul
Supposons que nous disposions de moyens informatiques suffisants pour repr´esenter et prendre en compte la totalit´e des bulles dans nos simulations d’expansion de mousse. Id´ealement, et mˆeme si la complexit´e de la physique mise en jeu nous impose quelques r´eserves sur ce sujet [68], nous serions `a mˆeme de d´eterminer la structure finale de la mousse, pourvu que l’on connaisse une distribution initiale de bulles, donn´ee par la germination, les propri´et´es du gaz et du polym`ere, et les conditions du proc´ed´e de fabrication.
Les r´eserves ´emises viennent du fait que la mousse est un mat´eriau `a m´emoire [68], pour lequel on ne connaˆıt jamais totalement l’´etat initial (germination h´et´erog`ene), voir mˆeme les conditions de fabrication, puisque l’on peut supposer que celles-ci ne sont pas enti`erement contrˆol´ees. De plus la mousse poss`ede diff´erentes ´echelles physiques, avec notamment la pr´esence d’agents tensioactifs agissant `a l’´echelle mol´eculaire. Ce qui implique que son comportement ne peut ˆetre simplement d´eduit du comportement du gaz et du polym`ere (voir chapitre 1).
Cependant, mˆeme en se mettant dans le cadre id´eal o`u tout est connu, les capacit´es informatiques actuelles n’offrent, loin s’en faut, ni les ressources m´emoire, ni la vi- tesse de calcul n´ecessaires `a une simulation de l’int´egralit´e de la structure. Ainsi, mˆeme s’il est difficile de donner une estimation du nombre de bulles pr´esentes dans une mousse, puisque celui-ci varie fortement selon les cas, nous fournissons, pour fixer les id´ees, l’´evaluation suivante, en nous basant sur [31] et [32] : entre 109 et
1015 bulles par m`etre cube...
La totalit´e de la structure ne pouvant ˆetre prise directement en compte, deux solu- tions s’offrent principalement `a nous :
– Mod´eliser et simuler une structure id´eale, par exemple p´eriodique, faite de cellules minimisant les interfaces liquide - gaz [42], [68], [69]. Ainsi, les cellules peuvent ˆetre mod´elis´ees par un empilement de sph`eres lorsque la fraction liquide n’est pas n´egligeable [59]. Dans ce cas, une m´ethode d’homog´en´eisation permet d’effectuer le passage micro - macro [8], [62].
– Mod´eliser et simuler une certaine fraction de la structure, et non la structure dans sa totalit´e, en consid´erant deux contraintes : cette fraction doit ˆetre suffisamment grande pour ˆetre repr´esentative de la structure de la mousse et du comportement du mat´eriau ; cette fraction doit ˆetre suffisamment petite pour ˆetre trait´ee par les moyens informatiques actuels.
C’est cette deuxi`eme approche que nous choisissons pour la suite. La fraction de la structure simul´ee s’appelle volume repr´esentatif. Nous allons expliciter cette notion.
3.3.1
D´efinition et existence d’un volume repr´esentatif
Le volume ´el´ementaire repr´esentatif (VER) est d´efini comme ´etant un volume V d’un milieu h´et´erog`ene, suffisamment grand pour ˆetre statistiquement repr´esentatif du mat´eriau, i.e. pour inclure toute la gamme des h´et´erog´en´eit´es microstructurales pr´esentes dans le mat´eriau [39].
3.3Du volume repr´esentatif de la structure d’une mousse au volume de calcul
La question centrale dans la d´efinition du VER est donc celle de sa taille. Celle-ci d´epend de la propri´et´e que l’on souhaite ´etudier sur le VER. Prenons l’exemple du taux de gaz G d’une mousse, d´efini comme le rapport entre le volume du gaz contenu dans la mousse et le volume total de cette mousse. Nous pr´elevons, successivement, des ´echantillons de mousse de volumes V croissants. Id´ealement, le taux de gaz G(V ) calcul´e dans ces volumes tend vers une limite G∞lorsque V augmente (Figure 3.18).
G∞ est le taux de gaz global de la mousse. Ainsi, pour l’´etude du taux de gaz, le
volume VV ER du VER est tel que :
∀V ⊂ mousse, V ⊃ VV ER, |G(V )−G∞| < ε (3.20)
La d´efinition de la taille du VER se fait donc `a une erreur donn´ee ε pr`es [39]. Remarquons ´egalement que (3.20) d´efinit l’´echelle macroscopique, `a cette mˆeme erreur pr`es. V∞ V2 V1 V3 V4
(a) S´election de plusieurs volumes. 0 1 Volume Taux de gaz V4 V1 V2 V3
(b) Taux de gaz par volume.
Fig. 3.18 – Notion de volume ´el´ementaire repr´esentatif (VER)
Par d´efinition, toute propri´et´e d’une mousse devrait ˆetre constante et ind´ependante de l’´echelle pour des volumes sup´erieurs `a VV ER. Or, dans le premier chapitre, nous
avons insist´e sur le fait que la mousse est un mat´eriau h´et´erog`ene `a toutes les ´echelles, depuis l’´echelle mol´eculaire (pr´esence de tensioactifs par exemple), jusqu’`a celle du proc´ed´e de fabrication, avec une germination h´et´erog`ene et des gradients de temp´erature entraˆınant des variations de propri´et´es sur toute la pi`ece. Dans ces conditions parler de volume ´el´ementaire repr´esentatif n’a pas toujours de sens. Ceci ´etant, l’impossibilit´e de d´efinir un VER en toute g´en´eralit´e pour une mousse ne change rien `a la n´ecessit´e de d´efinir un volume repr´esentatif. Sans cela, notre travail n’aurait plus lieu d’ˆetre. Nous d´efinissons donc un volume repr´esentatif V (X) comme ´etant un volume suffisamment grand pour d´ecrire la microstructure de la mousse au
3.3Du volume repr´esentatif de la structure d’une mousse au volume de calcul
voisinage d’un point X de celle-ci. Ainsi, dans l’exemple du taux de gaz, le taux global G∞ ne repr´esente plus la limite (au sens (3.20)) de G(V ) pour V assez grand
(voir Figure 3.19). Par contre, l’existence du volume repr´esentatif au point X revient `a dire que G(V ) pr´esente un plateau pour un V assez grand, centr´e en X. Ce plateau d´efinit la taille du volume repr´esentatif en X.
(a) H´et´erog´en´eit´es `a plusieurs ´echelles.
Taux de gaz
0 1
Volume
(b) Taux de gaz par volume.
Fig. 3.19 – Notion de volume repr´esentatif dans un milieu h´et´erog`ene.
3.3.2
Mod´elisation d’un volume repr´esentatif
Nous d´efinissons un domaine de calcul Ω contenant une matrice liquide et n bulles de gaz. Ω mod´elise le volume repr´esentatif V (X).
3.3Du volume repr´esentatif de la structure d’une mousse au volume de calcul
Volume repr´esentatif `a t2 Volume repr´esentatif `a t1
Mousse `a un istant t2> t1 Mousse `a un istant t1
Fig. 3.20 – Changement d’´echelle lors de l’expansion d’une mousse
Le processus qui nous int´eresse, l’expansion de mousse, n’est pas stationnaire. En particulier, le volume final de la mousse peut ˆetre jusqu’`a 30 fois celui du volume liquide initial (voir les sites web des entreprises productrices de mousse polym`ere, comme www.shopmaninc.com). Les dimensions physiques du volume repr´esentatif augmentent donc durant l’expansion de la mousse. Ainsi, la Figure 3.20 montre la mˆeme mousse `a deux instants, t1 et t2, avec t1 > t2. Entre ces deux instants il y a
expansion. Donc, le volume repr´esentatif valide `a l’instant t1, ne l’est plus `a t2. Il est
alors n´ecessaire de redimensionner ce volume pour qu’il soit `a nouveau repr´esentatif. Au vu de cet exemple, la taille du volume de calcul doit suivre l’expansion de la mousse au cours des simulations d’expansion.
Concernant l’´echelle physique du volume de calcul, les r´eflexions du paragraphe 2.6.2.1 sont toujours valides, `a savoir qu’a priori le volume de calcul n’a pas d’´echelle fix´ee. Ceci peut s’interpr´eter comme une propri´et´e d’auto-similarit´e de la structure : quelle que soit l’´echelle `a laquelle on la regarde on retrouve les mˆemes motifs. 3.3.2.1 Condition aux bords du domaine de calcul
La condition aux bords du domaine de calcul est, comme au chapitre pr´ec´edent, Equation 2.9, de type contrainte normale impos´ee : σn = −pextn. Cette condition
traduit la contrainte exerc´ee par le milieu ext´erieur (la mousse) sur l’´echantillon, consid´er´e. Il s’agit donc d’un couplage micro-macro rattachant le volume de cal- cul Ω `a un point X pr´ecis de la mousse, conform´ement `a la d´efinition du volume repr´esentatif.
Remarquons que les conditions p´eriodiques employ´ees pour simuler l’´evolution d’une mousse vers son ´etat d’´equilibre (voir paragraphe 1.3.3.1 et [68]), et permettant d’´eliminer tout effet de bord, ne sont ici pas viables, du fait d’une part de ce couplage micro - macro, et d’autre part de la simulation d’une expansion.
3.4Simulation de l’expansion d’un ´echantillon de mousse
La proposition 2.1 donnant la valeur moyenne de la contrainte sur le volume de calcul est toujours valable et se g´en´eralise ainsi, dans le cas o`u le gaz Ωg est constitu´e de
n bulles distinctes Ωgi : 1 |Ωl| Z Ωl σ = n X i=1 |Ωgi| |Ωl| (pgi−pext)I−pextI (3.21)