Simulation de l’expansion d’une cellule

Fig. 2.16 – Domaine de calcul sph´erique utilis´e lors de la simulation de l’expansion d’une bulle de gaz. 40000 noeuds, 210000 t´etra`edres

Nous simulons `a pr´esent l’expansion isotherme d’une bulle de gaz dans une matrice polym`ere en utilisant la m´ethodologie d´evelopp´ee au paragraphe 2.2. Nous choisis- sons un volume de calcul Ω sph´erique de diam`etre 1.10−3 _{m. Nous le discr´etisons}

par un maillage compos´e d’´el´ements t´etra´edriques (Figure 2.16). Nous d´efinissons deux domaines : un domaine liquide Ωl et une bulle de gaz Ωg plac´ee au centre de

Ω. Les simulations pr´esent´ees sur la Figure 2.17 ont ´et´e r´ealis´ees avec les donn´ees suivantes :

– R0 = 10−4 m

– p_g0= 200 Pa – pext= 0 Pa

2.6Expansion d’une bulle de gaz dans une matrice liquide

– η0 = 1000 Pa.s

auxquelles s’ajoutent, dans le cas o`u la viscosit´e η du liquide suit une loi de Carreau (2.24), le temps caract´eristique λ et l’indice de pseudo-plasticit´e m suivants : – λ = 3, 1489.10−3 s

– m = 0, 7

Rappelons que la bulle croˆıt par diff´erence de pression pg − pext, et que la mati`ere

s’´ecoule librement `a travers la fronti`ere ∂Ω du domaine de calcul. Avant de pr´esenter les r´esultats, nous pr´ecisons deux points : l’´echelle du domaine Ω, et le calcul du pas de temps.

2.6.2.1 Echelle spatiale - ´´ Echelle temporelle

Le mod`ele analytique d´evelopp´e au paragraphe 2.6.1 ´etablit une relation entre la vitesse d’expansion ˙R d’une bulle, donc le temps d’expansion, et les fluctuations ∆p = pg − pext. Ces fluctuations d´ependent de la position consid´er´ee au sein de la

mousse (plus ou moins loin du front de mati`ere, par exemple). pg− pextest donc une

donn´ee mesurable ext´erieure `a notre mod`ele (en ce sens qu’elle rel`eve d’une approche macroscopique de la mousse) qui fixe l’´echelle temporelle de nos simulations. Pour fixer l’´echelle spatiale nous pouvons utiliser un argument physique en consid´e- rant une densit´e de bulle dans une mousse r´eelle. Cette densit´e fournit un nombre de bulles par m`etre cube. Notre volume de calcul ne contenant qu’une bulle, nous en d´eduisons ses dimensions. Utilisant cet argument, l’´echelle du volume de calcul d´epend du nombre de bulles qu’il contient : plus ce nombre est ´elev´e, et plus l’´echelle est grande.

Cependant, le raisonnement reste valide si la densit´e de bulles fournit un nombre de bulles par unit´e de volume. La dimension des bulles et de l’espace les s´eparant n’est alors pas fix´e. Dans nos calculs, et tant que nous consid´erons des cas isothermes, la dimension d’espace, mˆeme avec une densit´e de bulles, n’est d´efinie qu’`a un facteur pr`es. Ceci revient `a consid´erer l’invariance de la structure par changement d’´echelle. 2.6.2.2 Calcul du pas de temps

La m´ethode Galerkin discontinu d´evelopp´ee au paragraphe 2.4 ´etant implicite, le choix du pas de temps n’est pas li´e `a une condition de stabilit´e, mais d´epend de la pr´ecision souhait´ee sur les r´esultats et des ph´enom`enes physiques mis en jeu. Il se peut ´egalement que le temps caract´eristique des ph´enom`enes simul´es varie entre le d´ebut et la fin d’une simulation. Une telle simulation n´ecessite alors une variation du pas de temps pour s’effectuer en un temps optimal. Ainsi, lors de la croissance d’une bulle, la vitesse d’expansion est beaucoup plus importante dans les premiers instants, lorsque la diff´erence pg − pext est importante, qu’`a la fin, lorsque cette

diff´erence tend `a s’annuler. Nous souhaiterions donc avoir des petits pas de temps en d´ebut d’expansion, afin d’ˆetre pr´ecis lors du calcul de l’´evolution de la bulle. Par contre, en fin d’expansion, la mˆeme pr´ecision peut ˆetre obtenue avec des pas de temps plus grands, puisque l’expansion est plus lente.

2.6Expansion d’une bulle de gaz dans une matrice liquide

Soit un intervalle de temps I. Nous connaissons la vitesse v et le volume _|Ωg| de la

bulle sur cet intervalle. Consid´erons l’intervalle de temps suivant, I+_{. Nous voulons}

d´eterminer la longueur de cet intervalle de fa¸con `a contrˆoler la variation du volume |Ωg|, i.e. `a avoir :

||Ωg|_|I+−|Ωg|_|I| = εV|Ωg|_|I (2.122)

o`u εV est un param`etre donn´e.

Nous ne connaissons pas explicitement le volume de la bulle sur I+_{. Ce volume est}

en effet d´eduit de la fonction caract´eristique de la bulle, dont les valeurs sur I+

d´ependent du pas de temps _|I+_{| !}

Il est par contre possible de pr´evoir le volume de la bulle sur I+_{. En se r´ef´erant `a}

l’Annexe B nous avons :

d|Ωg| dt = Z ∂Ωg v_{· n} = Z Ωg ∇ · v (2.123)

Nous basant sur (2.123), nous obtenons :

|Ωg|_|I+ ≈ |Ωg|_|I+|I+|

Z

Ω_{g |I}∇·v

(2.124) En tenant compte de l’expression (2.124) dans (2.122), nous avons la formule suivante nous donnant le pas de temps |I+_{| :}

|I+_{| =} |Ωg|_|I ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z Ω_{g |I}∇ · v ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ εV (2.125)

Cette approche fournit un pas de temps croissant au fur et `a mesure que l’expan- sion ralentit. Dans la pratique nous limitons, `a chaque incr´ement, l’augmentation du pas de temps afin que celui-ci ne prennent pas des valeurs inconsid´er´ees en fin d’expansion. En effet, en fin d’expansion, le raisonnement ci-dessus ne peut plus ˆetre appliqu´e, vu que le volume _|Ωg| ne peut pas augmenter de la fa¸con exprim´ee par

l’Equation (2.122). 2.6.2.3 R´esultats

Nous avons trac´e, sur la Figure 2.17 l’´evolution du rayon de la bulle lors de son expansion. Quatre simulations ont ´et´e r´ealis´ees : deux consid´erant une pression du gaz constante et, successivement, un liquide newtonien (c.f. Figure 2.17(a)) et un liquide dont la viscosit´e suit une loi de Carreau (Figure 2.17(b)) ; deux consid´erant

2.6Expansion d’une bulle de gaz dans une matrice liquide 0.00015 0.00025 0.00035 0.00045 5 10 15 20 25 30 Radius (m) Time (s) Simulation Analytical solution

(a) Pression du gaz constante et liquide newtonien

0.00015 0.00025 0.00035 0.00045 0.00055 0.00065 0.02 0.04 0.06 0.08 Radius (m) Time (s)

(b) Pression du gaz constante et loi de Carreau

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0 100 200 300 400 500 600 Radius (m) Time (s)

With mesh r-adaptation

Without mesh r-adaptation

Analytical solution

(c) Loi des gaz parfaits et liquide newtonien

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Radius (m) Time (s)

(d) Loi des gaz parfaits et loi de Carreau

Fig. 2.17 – Simulation de l’expansion d’une bulle : rayon en fonction du temps. Courbes du haut : pression du gaz constante, liquide newtonien (gauche, avec com- paraison `a l’expression (2.118)) et liquide pseudo-plastique (droit). Bas : pression du gaz suivant la loi des gaz parfaits, liquide newtonien (gauche, avec comparaison `a l’expression (2.121)) et liquide pseudo-plastique (droit)

un gaz parfait et faisant les mˆemes distinctions pour le liquide (Figures 2.17(c) et 2.17(d)).

Remarquons que le rayon final de la bulle exc`ede celui du domaine de calcul. Ceci vient du fait que nous utilisons une technique d’expansion du domaine de calcul que nous d´ecrirons au prochain chapitre. Disons seulement que le domaine de calcul croˆıt en mˆeme temps que la bulle de mani`ere `a pr´eserver la quantit´e de liquide qu’il contient.

Les simulations `a pression du gaz constante (Figures 2.17(a) et 2.17(b)) fournissent un rayon de la bulle d´ependant du temps de fa¸con exponentielle comme pr´evu par

2.6Expansion d’une bulle de gaz dans une matrice liquide 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 1 10 100 1000 Pressure (Pa) Time (s) Simulation Analytical solution

Fig. 2.18 – Simulation de l’expansion d’une bulle dans un liquide newtonien : pres- sion du gaz en fonction du temps, avec ´echelle logarithmique en temps. Comparaison entre mod`ele analytique et simulation

le mod`ele analytique (Equation 2.118). De plus, lorsque le liquide est newtonien, une bonne concordance est obtenue entre le rayon pr´edit par la simulation (Figure 2.17(b)) et le rayon du mod`ele analytique (Equation 2.118).

Les simulations o`u la pression de la bulle ob´eit `a une loi des gaz parfaits (Figures 2.17(c) et 2.17(d)) montrent un rayon de la bulle d´ependant du temps `a l’exposant 1/3, conform´ement au mod`ele analytique (2.121). Dans le cas newtonien, une bonne concordance est trouv´ee entre valeurs simul´ees et valeurs du mod`ele analytique, comme indiqu´e sur la Figure 2.17(c). Cette Figure montre ´egalement que l’adaptation de maillage ne perturbe pas l’expansion de la bulle. La diff´erence trouv´ee en fin de simulation avec le mod`ele analytique est due `a la pr´esence de la fronti`ere ∂Ω du domaine de calcul. L’´evolution de la pression de la bulle durant cette expansion est pr´esent´ee sur la Figure 2.18.

Remarquons enfin que dans les simulations 2.17(b) et 2.17(d), la d´ependance de la viscosit´e du liquide au taux de cisaillement entraˆıne une diminution du temps d’ex- pansion. La viscosit´e du liquide ob´eissant `a une loi de Carreau est en effet inf´erieure `a la consistance η0 utilis´ee dans les cas newtoniens. Le taux d’expansion est maxi-

mal durant les premiers instants de la croissance, lorsque la norme du tenseur des vitesses de d´eformation est maximale et la viscosit´e du liquide minimale.

Pour conclure, nous pr´esentons sur la Figure 2.19(a) l’´evolution du rayon de la bulle, lorsque celle-ci croˆıt dans un liquide newtonien, que sa pression suit une loi des gaz parfaits, et que, contrairement aux cas pr´ec´edents, pextest non nulle. Ici pext= 50P a.

Dans ce cas le rayon atteint une valeur maximale Rmax= R0(p_g0/pext)1/3. Une bonne

concordance est trouv´ee entre l’´evolution du rayon de la bulle simul´ee et l’expression analytique du rayon (2.120).

2.7Couplage thermo-m´ecanique 0.00011 0.00012 0.00013 0.00014 0.00015 0.00016 0.00017 0.00018 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Radius (m) Time (s) Simulation Analytical value (a) Rayon 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Pressure (Pa) Time (s) Simulation (b) Pression

Fig. 2.19 – Simulation de l’expansion d’une bulle dans un liquide newtonien avec pression ext´erieure non nulle : rayon et pression de la bulle en fonction du temps.