2.6 Fronde magnétique
2.6.3 Vitesse de sortie pour un choc latéral
Nous pouvons procéder au même raisonnement pour un choc latéral. La figure 2.23 représente cette situation dans les repères R et R’. Le calcul étant très similaire à celui effectué au paragraphe précédent, nous donnons directement le résultat de la vitesse de sortie dans R :
Vin/R' Vout/R' Référentiel R Référentiel R' Vin/R Vout/R α U x y α'
Figure 2.23 – Schéma de l’interaction entre une goutte et un aimant dans le cas d’un choc
latéral, dans le référentiel du laboratoire (R) et dans le référentiel de l’aimant (R’).
Vout(α) =−U sin α +
q
U2sin2α + V2
in (2.27)
La solution n’est plus symétrique par rapport à α = 180◦. En effet, si la goutte
sort avec un angle α = 90◦, elle se retrouve avec une vitesse opposée à U alors qu’elle
sera dans le même sens si α = 270◦. L’équation 2.27 est représentée sur la figure 2.24
pour les conditions de l’expérience 2.18b (Vin = 11 cm/s et U = 7 cm/s).
0 90 180 260 360 0 5 10 15 20 25 Vin Vou t(cm/s) α (◦)
Figure 2.24 –Vitesse de sortie Voutdans le repère du laboratoire pour un impact latéral, calculé
à partir de l’équation 2.27 avec les conditions de l’expérience de la figure 2.18b (Vin= 11 cm/set
U = 7 cm/s).
L’équation 2.27 donne une vitesse de sortie de 20 cm/s pour une déflexion de
260◦, ce qui est relativement proche de notre mesure de Vout = 18 cm/s.
Le choc latéral est intéressant par rapport au cas frontal car la vitesse de sortie peut être inférieure à la vitesse d’arrivée dans certains cas (α < 180◦), comme on le
Vout(90◦) = q
U2+ V2
in − U (2.28)
Si la vitesse de l’aimant est très grande devant la vitesse de la goutte, celle-ci
peut être totalement arrêtée (Vout(90◦) = 0). Nous ne possédons pas de mesures pour
ce cas. Le cas le plus favorable pour l’accélération de la goutte est donc α = 270◦,
pour lequel la vitesse de sortie vaut : Vout(270◦) =
q
U2+ V2
in + U (2.29)
Dans la limite où U Vin, on retrouve la même vitesse de sortie Vout = 2U que
dans le cas frontal. Enfin, dans le cas où la goutte fait un demi-tour (α = 180◦),
la vitesse de sortie est égale à Vin. Ceci est vérifié expérimentalement, comme on
peut le voir sur la figure 2.25, où une goutte arrive à une vitesse Vin = 10.5 cm/s et
est défléchie de 186◦. On mesure une vitesse de sortie identique à la vitesse d’entrée
à 2% près. Comme nous l’avons déjà mentionné, l’effet fronde est utilisé pour le
Figure 2.25 –Chronophotographies d’une goutte millimétrique passant à proximité d’un aimant (de diamètre 1 cm) se déplaçant à vitesse constante U = 7 cm/s. la goutte arrive avec une vitesse Vin= 10.5 cm/sdevant l’aimant. Comme sur la figure 2.18b, elle passe derrière l’aimant, et dévie
ici de 186◦. La vitesse de sortie est identique à la vitesse d’entrée à 2% près. Intervalle de temps :
33 ms.
guidage et la propulsion d’engins spatiaux. Il peut aussi être utilisé, sous certaines conditions, pour les ralentir et les mettre ainsi en orbite autour de planètes loin- taine sans dépenser beaucoup de carburant. Un engin s’approchant d’une planète isolée ne pourra décrire que des hyperboles ou des paraboles autour de cet astre et ne ralentira donc pas dans le référentiel de la planète. Mais si la planète possède un satellite naturel en orbite autour d’elle, l’effet fronde peut être réalisé autour de ce dernier. L’engin ne décélère pas dans le référentiel de la lune mais décélère dans le référentiel de la planète. Cet effet assez subtil de mise en orbite peut être
2.7. CONCLUSION 57
effectivement retrouvé dans des problèmes à trois corps [48]. Cet effet pourrait ainsi expliquer pourquoi certains satellites de grandes planètes gazeuses, tel que Phoebé (un satellite de Saturne), sont si différents des autres satellites de la même planète. Comme on le remarque sur la figure 2.26, Phoebé ressemble beaucoup plus à un astéroïde qu’à une lune. Mais ce qui le rend surtout différent des autres satellites de Saturne est son orbite rétrograde : Phoebe tourne dans le sens contraire de rota- tion de Saturne et de la plupart des autres satellites. Il semble donc peu probable qu’il ait été formé de la même manière que ses voisins : il a vraisemblablement été « capturé » par l’une des lunes de Saturne.
Figure 2.26 – Cliché de Phoebé pris par la sonde Cassini en 2004 [49]. Le diamètre moyen est de 200 km
2.7
Conclusion
Nous avons montré qu’il est possible d’influer sur la trajectoire d’une goutte d’oxygène liquide en caléfaction se déplaçant sur un support horizontal à l’aide d’ai- mants. Les gouttes, se déplaçant de façon rectiligne et uniforme en l’absence de champ magnétiques, peuvent être déviées, ralenties, capturées ou même accélérées grâce à des aimants. Nous avons étudié de manière quantitative les trajectoires et nous avons montré qu’elles pouvaient être décrites en grande partie à l’aide d’un mo- dèle considérant la goutte comme une masse ponctuelle se déplaçant sans friction dans un potentiel magnétique. Ce modèle rends compte de la position du péricentre
des trajectoires, de leur déflexion avec une précision de l’ordre de 10◦, ainsi que ce
certaines situations de « mise en orbite » où la goutte se met à tourner autour de l’aimant à vitesse angulaire constante et vitesse radiale nulle. Nous avons montré que ces situations de captures peuvent apparaître dans des systèmes conservatifs à condition que le potentiel dans lequel évolue l’objet soit suffisamment raide (cette
situation n’est pas réalisable pour un potentiel du type gravitationnel en −r−1).
Enfin, nous avons réalisé des expériences où l’aimant se déplace à vitesse constante dans le référentiel du laboratoire et avons montré que les gouttes d’oxygène ren- contrant cet aimant peuvent alors être accélérées. Ces expériences reproduisent à l’échelle de quelques centimètres le phénomène utilisé par certaines sondes spatiales pour accélérer leurs trajectoires interplanétaires.
Figure 2.27 – Goutte d’oxygène de rayon 1.7 mm arrivant à 21 cm/s sur un aimant de 10 mm de diamètre. La flèche blanche indique la direction du mouvement. La goutte s’allonge lors de sa rotation et se fragmente en gouttelettes.
On peut imaginer bien d’autres questions sur ce système. Par exemple, on peut se demander quel est comportement de gouttes plus grandes que la longueur capillaire (a = 1.1 mm). La figure 2.27, montre une goutte de rayon R = 1.7 mm en rotation autour d’un aimant. On observe une élongation importante de la goutte, puis une fragmentation en deux gouttes secondaires et quatre gouttelettes satellites. Cette observation laisse penser que la force centrifuge est devenue plus importante que la tension de surface qui assure l’intégrité de la goutte. Dans la limite où l’aimant est petit devant la taille de la goutte, on pourrait également s’attendre à un gradient de force de part et d’autre de la goutte, entraînant une « force de marée » sur la goutte.
Chapitre 3
Mécanismes d’échange d’énergie
Sommaire
3.1 Introduction . . . 59 3.2 Expériences . . . 60 3.2.1 Expériences préliminaires . . . 60 3.2.2 Expériences avec un barreau aimanté . . . 61 3.3 Vitesse critique de capture . . . 64 3.3.1 Perte de vitesse en l’absence de friction . . . 65 3.3.2 Variation de la vitesse critique avec la distance à l’aimant 68 3.3.3 Déformation de la goutte . . . 70 3.4 Dissipation d’énergie dans le film de vapeur . . . 71 3.4.1 Épaisseur du film de vapeur . . . 72 3.4.2 Friction dans le film de vapeur . . . 74 3.5 Expériences préliminaires avec un solide en caléfaction . 75 3.6 Conclusion . . . 77
3.1
Introduction
Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, les trajectoires des gouttes d’oxy- gène dans un champ magnétique sont bien décrites en considérant la goutte comme un point matériel (indéformable) se déplaçant sans friction dans un potentiel ma- gnétique. Ce modèle permet notamment de rendre compte de la déviation des tra- jectoires avec une précision d’une dizaine de degrés. Il permet également d’expliquer certaines situations de capture, où la goutte ne parvient pas à s’échapper de l’at- traction de l’aimant et se met « en orbite » autour de lui avec une vitesse radiale nulle et une vitesse angulaire constante (fig. 2.4d). Cependant, ce modèle n’explique
pas toutes les situations de capture : ainsi, une goutte arrivant centrée sur l’ai- mant (b = 0 mm) devrait passer au dessus et ressortir du piège avec une vitesse quasi-identique à sa vitesse d’arrivée, et ceci quelle que soit sa vitesse initiale. Or on remarque que les gouttes sont toujours piégées lorsque leur vitesse initiale est inférieure à 15 cm/s, pour peu qu’elles soient à moins de 10 mm de l’aimant. Elles décrivent alors des trajectoires avec une vitesse radiale oscillante (fig. 2.4e) au des- sus de l’aimant. Il nous faut donc raffiner notre modèle pour rendre compte de ces situations de capture.
La friction sur les gouttes en caléfaction est extrêmement faible du fait de l’ab- sence totale de contact direct avec le solide, et provient principalement des frotte- ments de l’air. Cependant, un aspect important négligé jusque là est la déformation de la goutte le long de sa trajectoire. On s’attend notamment à ce qu’elle soit aplatie lorsqu’elle se trouve juste au dessus de l’aimant (chapitre 1). Il peut y avoir donc des transferts entre énergies cinétique, magnétique et superficielle.