6 Migration de gouttes dans un canal 3D de pile
6.2 Bilan : capture ou migration ?
6.2.3 Vitesse de migration
Une des questions posées par ces simulations concerne la caractérisation de la vitesse d’avan- cée U de la goutte suite au passage de la discontinuité du mouillage. L’évolution temporelle de la
vitesse de déplacement horizontal de la ligne triple pour La = 18000 et ∆θ = θGDL− θw = 70o
est reportée sur la figure6.12. On constate que la goutte atteint quasiment instantanément une
vitesse maximale qui décroît ensuite de manière exponentielle. Le même type d’évolution est
observé dans tous les cas de migration. La figure6.12reporte le maximum de vitesse en fonction
de ∆θ pour les différentes situations étudiées dans la section précédente. On constate que le maximum de vitesse croit avec ∆θ tout en étant sensiblement dépendant de la viscosité de la goutte. Celle-ci est de l’odre de 0, 5m/s pour les conditions de mouillage considérées.
L’analyse de ce problème est rendue délicate par la géométrie de la transition qui s’effectue dans un angle et non pas sur une ligne plane. Rappelons que dans cette approche la dynamique de l’angle de contact n’est pas prise en compte, pas plus que ne l’est l’hystérésis. Nous sommes dans la situation d’une interface dont l’angle de mouillage θ est constant pour une paroi donnée. Nous discutons dans la suite l’estimation de la vitesse de migration de la goutte.
Approche énergétique globale
Cette approche consiste à calculer la variation de l’énergie de surface entre une goutte placée à l’équilibre sur la GDL et sur la paroi bipolaire. Une première estimation consiste à supposer
154 Chapitre 6 : Migration de gouttes dans un canal 3D de pile
Fig. 6.12 – Evolution temporelle de la vitesse horizontale de la goutte après le passage de l’arête
formée par la GDL et la paroi bipolaire La = 18000 et ∆θ = θGDL− θw = 70o
que cette variation est responsable de la migration de la goutte. Ainsi en négligeant les effets visqueux aux premiers instants de la migration, il est possible d’en déduire l’énergie cinétique de la goutte c’est à dire sa vitesse. Un tel bilan fera donc intervenir un nombre de Weber. Nous considérerons la forme de la goutte à l’équilibre qui est celle d’une calotte sphérique. Son volume
Vg est sa surface Sg sont donnés par les relations (6.2) et (6.1) en fonction de l’angle de mouillage
de la paroi.
La conservation du volume permet d’exprimer la variation du rayon de courbure de la goutte et d’en déduire la variation de l’énergie de surface de la goutte entre la GDL et la paroi bipolaire
caractérisées respectivement par les angles θGDL et θw :
∆Eσ = EσGDL (1 − cos θGDL)1/3(2 + cos θGDL)2/3 (1 − cos θw)1/3(2 + cos θw)2/3 − 1 ! (6.8)
L’évolution de ∆Eσ/EσGDL est reportée sur la figure6.14en fonction de la différence de mouilla-
bilité ∆θ = θGDL− θw pour θGDL = 130o correspondant à la mouillabilité considérée dans ce
chapitre ainsi que pour θGDL= 145o qui est la mouillabilité mesurée sur une échantillon de GDL
au chapitre 4.
Bilan : capture ou migration ? 155
Fig. 6.13 – Vitesse de migration de la goutte après le passage de l’arête formée par la GDL et la paroi bipolaire. et migration jusqu’à la paroi opposée pour La = 40000 et La = 128000. N
arrêt avant le contact avec la paroi opposée pour La = 128000. − relation (6.11) pour La = 18000.
−−relation (6.11) pour La = 128000.
pour atteindre un minimum. On note ensuite que ∆Eσ augmente sous l’effet de l’étalement de
la goutte qui accroît l’énergie de surface. Il est possible de considérer l’évolution de ∆Eσ pour
des différences modérées de mouillabilité. A partir de (6.8) on obtient
∆Eσ ' EσGDL
cos θGDLsin θGDL
(1 − cos θGDL)(2 + cos θGDL)
∆θ (6.9)
On remarque que le signe de ∆Eσ est directement lié à la valeur de cos θGDL. Il est ainsi négatif
(diminution d’énergie de surface) pour une paroi de GDL hydrophobe.
En considérant que la diminution d’énergie de surface est responsable de la migration, l’énergie cinétique transmise à la goutte sur la paroi bipolaire s’écrit alors :
1 2ρVgU 2= EGDL σ |cos θGDL| sin θGDL (1 − cos θGDL)(2 + cos θGDL) ∆θ (6.10)
ce qui fait apparaître un nombre de Weber de migration d’où l’on peut exprimer la vitesse de migration : U = r 12 σ ρR0 p|cos θGDL| sin θGDL (1 − cos θGDL)(2 + cos θGDL) ∆θ1/2 (6.11)
On constate ainsi que la vitesse de migration induite par la différence de mouillabilité évolue
156 Chapitre 6 : Migration de gouttes dans un canal 3D de pile
Fig. 6.14 – Evolution de la différence relative d’énergie de surface ∆Eσ/EσGDL en fonction de la
différence de mouillabilité ∆θ. — : relation (6.8) pour θGDL = 145o. − − − : relation (6.8) pour
θGDL = 130o. −. − .− relation (6.9) pour θGDL = 130o.
permet d’avoir une estimation très intéressante de la vitesse de la ligne triple. On constate également qu’il ne permet pas de décrire les variations observées avec le nombre de Laplace qui varie essentiellement via les variations de la viscosité.
Malgré le très bon accord donné par la relation (6.11), on constate que ce bilan d’energie
pose problème si l’on regarde l’évolution de l’énergie de surface pour les grandes différences de
mouillage (figure 6.14) alors que pour de grands contrastes de mouillabilité il est bien entendu
que la migration est toujours présente.
Rupture de barrage capillaire
Pour mieux comprendre la mise en mouvement de la ligne triple nous reportons ici une simulation 2D qui avait été faite au préalable par curiosité après l’implémentation numérique de l’angle de contact statique. La configuration regardée est celle d’une goutte dont la forme initiale est un demi-disque et qui est positionnée à cheval sur une discontinuité de mouillage sur une
paroi plane dans un champ de gravité nul. Les angles sont ici de 30oà gauche et de 150o à droite.
L’interface a donc initialement un angle de 90o qui est hors équilibre dans les deux situations.
Les paramètres physiques sont ρ = 1000kg/m3, µ = 0, 01P a.s, σ = 0, 072N/m, g = 0m/s2,
Bilan : capture ou migration ? 157
La figure6.15présente l’évolution de la goutte à partir de cette condition initiale jusqu’à sa
position d’équilibre. La goutte est initialement un demi-disque (rayon R0) et la pression interne
est imposée par le saut de pression capillaire qui est en 2D σ/R0. La goutte est déposée sur une
paroi sur laquelle l’interface est hors équilibre. Elle évolue de manière instantanée pour rétablir l’angle d’équilibre. La courbure de l’interface est alors changée au niveau du point de contact et ne peux plus localement résister à la pression capillaire générant la propagation de l’interface de
manière analogue à la propagation de l’onde de rupture instantanée de barrage. La figure 6.15
montre que durant les premiers instants le front avance avec une interface qui respecte l’angle imposé par la paroi et qui présente la particularité d’être plane c’est à dire sans courbure. Le tracé de l’évolution temporelle de la position du front montre que celui-ci évolue de manière linéaire dans le temps montrant la propagation à une vitesse constante de l’ordre de 0, 15m/s.
Dans le cas de la rupture de barrage l’évolution temporelle du front de l’onde est donnée
par x(t) = 2√gHt où H est la profondeur initiale du réservoir (de Saint-Venant (1871)). Ainsi
en notant PH = ρgH la pression hydrostatique au fond du réservoir, la célérité de l’onde est
c = 2pPH/ρ. Dans la situation considérée, une analogie simple peut être réalisée en considérant
que la charge initiale est imposée par la pression capillaire induite par la courbure de l’interface
soit PH = σ/R0 générant une propagation à la célérité capillaire :
U = 2 r
σ
R0ρ
L’expression précédente donne pour les paramètres de la simulation U = 0, 17m/s ce qui est en bon accord avec la simulation numérique pour laquelle U ' 0, 15m/s.
Pour la situation 3D qui est l’objet de ce chapitre, la "charge" capillaire initiale est donnée
par PH = 2σ/R0, conduisant à une célérité capillaire :
U = 2r 2σ
R0ρ (6.12)
Pour les simulations reportées dans ce chapitre, on trouve U ' 0.48m/s ce qui est également
cohérent avec les valeurs numériques reportées sur la figure6.13.
6.2.4 Synthèse
Les deux approches présentées ci-dessus ont permis de proposer une expression pour la vitesse de propagation de la ligne triple après avoir franchi la discontinuité de mouillage des paroi. On observe ainsi que la vitesse de propagation est proportionnelle à la célérité d’une onde capillaire :
U ∼ r
σ
ρR0
f (θGDL, θw)
Ce résultat aurait pu être trouvé directement à l’aide de l’analyse dimensionnelle en identifiant la longueur caractéristique impliquée dans la propagation de la ligne triple. Les simulations
158 Chapitre 6 : Migration de gouttes dans un canal 3D de pile
Fig. 6.15 – Evolution du goutte 2D initialement à cheval sur une discontinuité de mouillage. De haut en bas t = 0s, t = 0, 0125s, t = 0, 025s, t = 0, 0375s, t = 0, 05s, t = 0, 125s, t = 0, 25s et t = 0, 5s
reportées ici pour la migration dans l’arête d’un canal de pile et pour la migration d’une goutte 2D sur une plaque plane montrent que la longueur d’onde de cette onde capillaire est le rayon de
Conclusion 159
courbure de la goutte initiale. On note au passage que le déplacement de la ligne triple n’est pas artificiellement imposé par la propagation d’ondes capillaires à l’échelle de la maille qui donnerait alors une célérité d’un ordre de grandeur supérieur.
6.3
Conclusion
Ce chapitre a été consacré dans un premier temps à la description de l’effet des principaux paramètres sur la migration des gouttelettes formées sur la GDL dans les conditions d’utilisations de la pile : position initiale de la goutte, gravité, mouillabilité des parois du canal, température et coalescence entre goutte. Il apparaît clairement que la gravité ne joue aucun rôle dans la dynamique des gouttes produites par la GDL. Les gouttes peuvent être soit piégées dans l’arête en contact avec la GDL ou dans l’arête opposée.
Les quelques résultats reportés dans ce chapitre ont également permis d’initier la discussion sur la vitesse de migration de goutte soumise à une discontinuité de mouillage. Les gouttes migrent toujours de la paroi non mouillante vers la paroi mouillante avec une vitesse donnée par la célérité de l’onde capillaire de longueur d’onde imposée par le rayon initial de la goutte. Remarquons que cette vitesse de migration est d’autant plus grande que la taille de la goutte est petite conduisant à des vitesses de migration largement supérieures à la vitesse de croissance de la goutte dans un canal de pile. L’étude doit être maintenant complétée pour préciser l’effet de la différence de mouillabilité dans cette migration.
Chapitre 7
Remplissage quasi-statique d’un canal
de pile
7.1
Introduction
Nous nous intéressons ici au remplissage quasi-statique d’un canal de pile par l’eau produite. L’analyse des débits de production d’eau par la pile présenté en introduction montre qu’un canal de pile à combustible se remplit progressivement de liquide au point de présenter éventuellement un engorgement du canal en son extrémité. Nous souhaitons étudier dans ce chapitre la répar- tition spatiale des phases dans une section pour un taux de remplissage donné. Etant donné les propriétés de mouillage des parois, mais aussi le rapport de forme de la section, les configu- rations possibles peuvent présenter un intérêt important pour le dimensionnement des canaux. En effet, il importe d’évacuer une quantité importante de liquide tout en maximisant la surface non-mouillée de la GDL de manière à avoir un taux de transfert de gaz réactif optimal entre le canal et la zone de diffusion.
Comme nous l’avons montré dans le chapitre1, la vitesse d’introduction de liquide à travers
la paroi de la GDL VH2O,in est de l’ordre de ∼ 10µm/s, alors que la vitesse moyenne débitante
du liquide à la sortie du canal ULS est de l’ordre de ∼ 10cm/s. Ainsi, VH2O,in est très faible par
rapport à ULS, ce qui permet d’affirmer qu’à l’échelle des dizaines de centimètres de canal, le
remplissage est un phénomène qui peut être considéré comme quasi-statique. Dans ces conditions, étudier l’évolution spatiale des phases d’un canal 3D peut être ramené à un problème 2D dans chaque section. Dans cet esprit, nous étudions ici les différentes répartitions spatiales possibles des phases dans une section du canal pour différentes quantités de liquide. L’intérêt de ce type d’approche est d’analyser l’influence des angles de contact et du rapport de forme de la section.