Méthodes eulériennes

A la différence des méthodes lagrangiennes, les méthodes eulériennes utilisent un maillage fixe sur lequel l’interface peut librement évoluer. L’interface n’est plus une condition aux limites du domaine de calcul mais devient une inconnue supplémentaire. Ainsi, puisqu’une cellule de calcul peut contenir plusieurs fluides, les équations de bilan local et instantané ne peuvent plus être utilisées directement. Il importe de considérer les phases comme un milieu diphasique qui doit être décrit par une autre formulation des équations de bilan. On parle alors de "modèle à un fluide" (modèle présenté plus bas). L’écoulement diphasique est alors représenté par un seul fluide dont les propriétés physiques varient brusquement lorsque l’on passe d’une phase à une autre. Cette variation se fait sur une épaisseur de quelques mailles afin de rendre stable le schéma numérique utilisé. Cependant, plusieurs approches existent dans la manière de localiser l’interface.

Méthode "Front Tracking"

Pour connaître avec précision la position de l’interface, cette approche consiste à ajouter un second maillage localisé à l’interface. Ainsi, le premier maillage est fixe et décrit le domaine de calcul tandis que le second, mobile, suit l’interface dans son mouvement. Cette méthode, intro-

duite parUnverdi & Tryggvason(1992), permet d’évaluer précisément les contraintes visqueuses

et la force capillaire à l’interface. Cependant, cette méthode est limitée aux écoulements où l’in- terface ne subit pas de rupture ou de reconnexion : la gestion du maillage mobile se révèle alors difficile.

L’étude du mouillage à l’aide de cette méthode a été entreprise parDuquennoy (2000) puis

développée par Mathieu (2003) pour l’analyse de la croissance d’une bulle de vapeur sur une

50 Chapitre 2 : Le code JADIM

θ

Fluide 1

Fluide 2

Fig. 2.3 – Maillages fixe et mobile dans la méthode Front Tracking (Tryggvason et al. (2001b) -

A droite : angle de contact à la paroi (Duquennoy(2000)).

est décrite par le modèle de Dussan étendu au changement de phase. Khenner (2004) a adapté

le code développé dans l’équipe de Trygvason pour introduire un angle de mouillage constant. L’avantage de cette méthode est de connaître précisément la position de l’interface à la paroi. Aussi est-il aisé de contrôler l’angle de contact.

Méthodes "Front Capturing"

Dans cette famille de méthodes, une fonction est utilisée comme indicatrice de phase et définie sur un seul maillage fixe. Cette fonction, pour la méthode "Level Set", est la distance à l’interface et, pour la méthode "Volume of Fluid", la fraction volumique de la phase considérée dans la maille considérée.

Méthode "Level Set". Nous renvoyons à l’ouvrage deSethian(1996) pour une présentation

de cette méthode. La méthode "Level Set" utilise une fonction lisse et régulière pour décrire la position de l’interface. Elle est positive dans une phase et négative dans l’autre, la valeur "zéro" permettant ainsi de localiser l’interface. En chaque point, une valeur est attribuée qui correspond à la distance entre ce point et l’interface. C’est pourquoi cette fonction est dite de distance signée. Une difficulté liée à cette méthode est la modification de la pente de la fonction indicatrice de phase par un écoulement non-uniforme. Cette pente est égale normalement à l’unité mais parfois modifiée par l’écoulement. Une étape de "réinitialisation" est alors nécessaire mais elle a tendance à modifier la position de l’interface et pose ainsi un problème de conservation de la masse.

Depuis les premiers développements de cette méthode parOsher & Sethian(1988), son utili-

sation se trouve dans les domaines aussi variés que les écoulements multiphasiques ou l’imagerie

médicale (Osher & Fedkiw(2001)). Des récents développements concernant le mouillage ont été

Simulation du mouillage : méthodes numériques 51

Méthode "Volume of Fluid". Une autre approche (présentée en détail plus bas) consiste à

utiliser une fonction qui indique la quantité de phase considérée dans chaque maille d’un seul maillage fixe. Cette fonction "Volume of Fluid fonction" ou taux de présence de phase est définie dans tout le domaine de calcul. Cette méthode est particulièrement bien adaptée pour simu- ler des écoulements diphasiques à topologie d’interface complexe. Cependant, pour maîtriser la diffusion numérique de l’interface, celle-ci est généralement reconstruite à chaque pas de temps. Cependant, ce choix n’a pas été retenu dans le code JADIM, ce qui permet de simuler de manière plus directe des situations avec changements complexes de topologie comme les ruptures et les coalescences d’interface.

Fig. 2.4 – Reconstruction de l’interface -Renardy et al.(2001)

Renardy et al. (2001) ont choisi de reconstruire l’interface à chaque itération (figure 2.4).

Cette étude porte sur l’étalement d’une goutte sur une paroi sans gravité, en imposant un angle d’équilibre constant. Elle utilise une formulation des équations du type "Différences finies" sur un maillage décalé. Le schéma numérique présente encore quelques restrictions : la conservation de la masse n’est pas assurée et l’étude est limitée au cas 2D. La dynamique de l’angle de contact ainsi que l’hystérésis ne sont pas décrits.

Cette rapide présentation a permis de montrer les différentes stratégies possibles pour décrire numériquement le mouillage. Pour cette étude nous utilisons le code JADIM développé à l’IMFT. Le code de calcul JADIM utilise une méthode de suivi d’interface de type VoF sans reconstruction d’interface. Développé à l’origine pour l’étude des écoulements à bulles, il est ici utilisé pour la simulation du mouillage.

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Fig. 2.5 – Exemple d’étalement d’une goutte en l’absence de gravité - Renardy et al.(2001)