Fig. 2.1 Vecteur d'intervalle : deux dé nitions équivalentes.
Une autre façon de construire des distances entre intervalles consiste à considérer un intervalle comme un couple de réels. De manière générale, toute distance dist0 de R2
peut-être utilisée pour construire une distance entre intervalles (qui est notée avec le même symbole) :
dist0(x, y) = dist0 (inf x, sup x)T, (inf y, sup y)T
Ainsi, en utilisant la distance dist de R2 dé nie dans la chapitre 1, la distance entre
intervalles dist(x, y) est dé nie par max{| inf x−inf y|, | sup x−sup y|}. Cette expression coïncide avec la distance de Hausdor et est la distance habituellement utilisée pour les intervalles.
2.2 Vecteurs et matrices intervalles
2.2.1 Vecteurs d'intervalles
Un vecteur d'intervalles peut être dé ni de trois manières équivalentes : comme un vecteur dont les composantes sont des intervalles ;
comme le produit cartésien de n intervalles ; comme un intervalle de Rn.
Tout d'abord, les deux dernières dé nitions sont équivalentes. En eet, étant donnés a, b, x ∈ Rn
a ≤ x ≤ b ⇐⇒ ∀i ∈ [1..n], ai ≤ xi ≤ bi
Cette équivalence est illustrée par la gure 2.1. En n, le produit cartésien de n intervalles étant décrit par n intervalles, il est identi é à un vecteur dont les composantes sont ces intervalles. Un tel vecteur d'intervalle est aussi appelé une boite de Rn.
Exemple II.7. Soit l'intervalle de R2
x = [(0, 0)T, (1, 2)T] =x ∈ R2 | (0, 0)T ≤ x ≤ (1, 2)T . Nous avons aussi l'égalité suivante :
Cet intervalle s'écrit aussi comme un produit cartésien d'intervalles, i.e. x = [0, 1]×[1, 2], et comme un vecteur dont les composantes sont des intervalles, i.e. x = ([0, 1], [1, 2])T.
Remarque. La notation des vecteurs d'intervalles sous la forme de produit cartésien doit être utilisée avec prudence car elle entre en con it avec la notation de la multiplication de l'arithmétique des intervalles, cf. Section 2.5.2 page 32.
L'ensemble des vecteurs d'intervalles de dimension n est noté IRn. Les vecteurs d'in-
tervalles étant des parties de Rn, y sont dé nis l'appartenance, l'inclusion, l'intersection
et la réunion. Les opérations mid, rad, wid et | . | sont dé nies en appliquant leurs ver- sions dé nies dans IR composante par composante. Comme dans le cas des intervalles, l'intersection et la réunion ne sont pas en général des opérations internes à IRn. Ainsi,
l'intersection et la réunion de vecteurs d'intervalles sont dé nies comme dans le cas des intervalles en utilisant les bornes inférieures et supérieures de l'inclusion. Leur expression peut-être donnée en utilisant l'intersection et la réunion d'intervalles :
x V y = (x1V y1, . . . , xnV yn)T est dé nie si et seulement si x T y 6= ∅ ;
x W y = (x1W y1, . . . , xnW yn)T.
Il est facile de véri er que si x V y est dé nie alors x V y = x T y. De plus x W y = x S y si et seulement si x ⊆ y ou y ⊆ x. La distance entre vecteurs d'intervalles est dé nie de la manière suivante :
dist(x, y) = max
k∈[1..n]dist(xk, yk).
Cette distance coïncide avec la distance de Hausdor entre les ensembles de réels corres- pondant aux vecteurs d'intervalles.
2.2.2 Matrices d'intervalles
Comme dans le cas des vecteurs d'intervalles, une matrice d'intervalles M peut être dé nie de deux manières équivalentes :
étant données deux matrices réelles M ∈ Rn×m et M ∈ Rn×m,
M = [M , M ] =M ∈ Rn×m | M ≤ M ≤ M , i.e. M est un intervalle de matrices ;
étant donnés n×m intervalles mij, M = (mij), i.e. M est une matrice d'intervalles.
Les matrices carrées particulières suivantes seront utiles : M est régulière si ∀M ∈ M, M est régulière ;
M est à diagonale strictement dominante si pour tout i ∈ [1..n], hMiii ≥Pj6=i|Mij|;
M est une M-matrices si Mij ≤ 0 pour i 6= j et si il existe un vecteur u ∈ Rn tel
que Mu > 0.
La matrice de comparaison7 associée à une matrice M est notée hMi et dé nie par
hMiii = |M|ii et hMiij = − hMi pour i 6= j. Alors, les H-matrices sont dé nies de la
manière suivante :
M est une H-matrice si sa matrice de comparaison est une M-matrice.
Lorsque la matrice mise en jeux est dégénérée, les dé nitions précédentes coïncident avec les dé nitions correspondantes pour les matrices réelles. La dé nition suivante explicite une sous-classe des matrices d'intervalles régulières qui sera utile :
2.2. Vecteurs et matrices intervalles 27
Fig. 2.2 Un disque fermé possède une in nité d'approximations intérieures non- extensibles.
Dé nition II.2 (Neumaier[8]). La matrice d'intervalles A ∈ IRn×n est fortement
régulière si et seulement si (mid A) est régulière et si la matrice d'intervalles (mid A)−1A
est régulière, i.e. ne contient que des matrices réelles régulières.
De nombreuses propriétés de ces matrices d'intervalles sont décrites dans Neumaier[8].
2.2.3 Approximations d'ensembles quelconques
Les intervalles peuvent être utilisés pour approximer des sous-ensembles de Rn quel-
conques. L'idéal pour approximer un sous ensemble A de Rn serait de disposer de deux
intervalles x ∈ IRn et y ∈ IRn qui encadrent A, i.e. x ⊆ A ⊆ y. Ces intervalles x et
y sont alors appelés respectivement une approximation intérieure et une approximation extérieure de A. Une approximation intérieure de A est dite non-extensible si
(∀z ∈ IRn)( x ⊆ z ⊆ A =⇒ x = z ). Une approximation extérieure de A est dite non-rétractable si (∀z ∈ IRn)( A ⊆ z ⊆ x =⇒ x = z ).
L'approximation intérieure d'un sous-ensemble de Rnpose de nombreux problèmes, parmi
lesquels l'existence possible d'une in nité d'approximations intérieures non-extensibles diérentes, voir Figure 2.2, ou l'absence d'approximation intérieure non-extensibles. Par contre, l'approximation extérieure d'un sous-ensemble de Rn possède de meilleures pro-
priétés : tout sous-ensemble non vide de Rn qui est borné possède une unique approxi-
mation extérieure non-rétractable, qui est notée 2 A8.
Exemple II.8. Considérons E = {0, 1}, E0 = {(x, y)T ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1} et E00 =
{(x, y)T ∈ R2|x2+ y2< 1}. Alors,
E a deux approximations intérieures non-extensibles : [0, 0] et [1, 1]. L'unique ap- proximation extérieure non-rétractable de E est 2 E = [0, 1].
E0 a une in nité d'approximations intérieures non-extensibles : chaque boite
([− cos t, cos t], [− sin t, sin t])T, t ∈ [0, π/2]
est une approximation intérieure non extensible (voir Figure 2.2). L'unique approxi- mation extérieure non-rétractable de E est 2 E0 = [−1, 1] × [−1, 1].
E00 n'a aucune approximation intérieure non-extensible. En eet toute approxima-
tion intérieure de E00 peut être étendue car E00 est ouvert. L'unique approximation
extérieure non-rétractable de E00 est 2 E00= [−1, 1] × [−1, 1].