Le champ de d´eformation (2.33), valable, rappelons-le, pour un profil de concentration quel- conque, pr´esente la propri´et´e remarquable suivante. Le calcul de la moyenne de la d´eformation donne
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 1 3 x 0.2
var. relative de masse
v ar . r ela tiv e de v olum e
Fig. 2.18 – Influence d’un seuil de gonflement (aucun gonflement jusqu’`a une prise d’eau de 2%) sur la prise de volume calcul´ee num´eriquement dans le cas classique (loi de Fick et conditions aux limites fixes), avec un coefficient de gonflement de 0, 2. Comparaison entre la courbe de prise d’eau de la plaque avec seuil (en trait continu), la loi de gonflement du polym`ere correspondant (en trait interrompu) et la prise d’eau de la plaque sans seuil (en pointill´es), identique alors `a celle du polym`ere.
`a tout instant hεxxi = hεxxi = hεxxi = ηc(t), donc ∆V (t)/V = 3ηc(t), c’est-`a-dire que le gon-
flement global de la plaque suit la loi de gonflement du polym`ere, bien que la prise d’eau n’y soit pas uniforme. Cette propri´et´e permet donc de mesurer le coefficient de gonflement de fa¸con globale par pes´ee de la plaque et mesure de son volume en cours de sorption, sans attendre l’´equilibre `a saturation et n’avoir alors qu’un point de mesure par taux d’humidit´e de l’environnement.
Il s’agit l`a d’une propri´et´e plus g´en´erale qui d´ecoule du fait que si toutes les surfaces qui d´elimitent un solide sont libres d’efforts, alors la moyenne hσ(x)i des contraintes (en ´equilibre) sur tout le volume du solide est nulle, ce qui est un cas particulier d’un r´esultat dˆu `a Hill en 1963. Dans ces conditions, si en chaque point du solide s’applique la relation σ(x) = C : [ε(x) − ηc(x)i] analogue `a celle de la thermo´elasticit´e (voir par exemple (2.33)), o`u C est le tenseur des modules suppos´e uniforme et i le tenseur identit´e du second ordre, alors hσ(x)i = 0 entraˆıne imm´ediatement la relation entre moyennes hεi = ηhcii, c’est-`a-dire la propri´et´e annonc´ee. Trois hypoth`eses interviennent donc pour y aboutir : le coefficient de gonflement est constant, le solide a un comportement ´elastique et celui- ci est homog`ene (pour l’extraire de la moyenne). Par cons´equent cela suppose aussi que l’eau n’a pas d’influence sur les constantes d’´elasticit´e du polym`ere (sans quoi l’´elasticit´e ne pourrait y ˆetre homog`ene avant saturation de la plaque). Afin de tirer au mieux profit des mesures de changement de volume et de masse dans nos exp´eriences, examinons dans quelle mesure la propri´et´e mentionn´ee reste valable si le gonflement du polym`ere suit une loi non lin´eaire ou si l’eau influe sur ses propri´et´es ´elastiques.
Le premier cas peut ˆetre trait´e num´eriquement `a l’aide du programme aux diff´erences finies r´ealis´e au cours de ce travail et nous avons consid´er´e un gonflement du polym`ere pr´esentant un seuil,
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
var. relative de volume
var. relative de masse
Fig. 2.19 – Loi de gonflement globale d’une plaque calcul´ee en prenant en compte une influence de la teneur en eau sur le module d’Young : module r´eduit de 50% (trait interrompu) ou module s’annulant (pointill´es). Le cas de r´ef´erence avec module constant est indiqu´e en trait continu.
comme cela est parfois mention´e dans la litt´erature : aucun gonflement jusqu’`a 2% de teneur en eau, gonflement lin´eaire avec un coefficient de 0, 2 au-del`a. Notons qu’utiliser Abaqus en assimilant la teneur en eau `a une temp´erature, mˆeme avec le maillage tr`es simple d´ecrit plus bas, n’aurait pas ´et´e commode : s’il est en effet possible d’y consid´erer des variations du coefficient de dilatation avec la temp´erature, traiter le cas d’un gonflement avec seuil correspondrait `a une variation hyperbolique du coefficient de dilatation au del`a du seuil puisqu’il se d´eduit du rapport entre dilatation et ´el´evation de temp´erature. Comme le montre la figure 2.18 (pour une prise d’eau de 6%, E = 3, 65 GPa et ν = 0, 36) la loi de gonflement apparent de la plaque a une forme diff´erente de celle du polym`ere, avec une croissance progressive au d´ebut et non un seuil. On peut toutefois d´eduire la loi du polym`ere d’une extrapolation arri`ere de la partie rectiligne obtenue en fin de sorption, mais ceci illustre n´eanmoins qu’il n’y a pas n´ecessairement co¨ıncidence entre la variation globale de volume de la plaque et la loi locale de gonflement.
Pour traiter le deuxi`eme cas, on peut consid´erer `a titre indicatif que seul le module d’Young varie avec la teneur en eau, et qu’il le fait de fa¸con lin´eaire. Les calculs peuvent facilement ˆetre effectu´es `a l’aide du code Abaqus en simulant un probl`eme de conduction de la chaleur, la temp´erature rempla¸cant alors la teneur en eau, et en incluant une d´ependance de E vis-`a-vis de la temp´erature. Les sym´etries de la plaque autorisent un maillage tr`es simple `a l’aide d’une seule rang´ee de 100 ´el´ements axisym´etriques `a travers la demi-´epaisseur, en imposant que tous les noeuds d’une g´en´eratrice aient le mˆeme d´eplacement dans la direction radiale pour simuler l’extension lat´erale infinie de la plaque, et une analyse de type COUPLED TEMPERATURE-DISPLACEMENT est alors peu coˆuteuse. Puisque nous sommes dans les conditions de la solution analytique pour la partie diffusion, la prise de masse est d´eduite directement de (2.12). Nous avons d’abord v´erifi´e que la loi de gonflement globale de la plaque, calcul´ee en laissant le module d’Young fixe, suivait tr`es fid`element la solution exacte. Nous
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
var. relative de volume
var. relative de masse
Fig. 2.20 – Loi de gonflement globale d’une plaque calcul´ee en prenant en compte une influence de la teneur en eau sur le coeficient de Poisson, l’annulant `a saturation (trait interrompu). Le cas de r´ef´erence avec coefficent de Poisson constant est indiqu´e en trait continu.
avons ensuite consid´er´e le cas o`u le module d’Young chute lin´eairement jusqu’`a 50% si la teneur en eau atteint la valeur `a saturation, et le cas extrˆeme o`u il devient alors pratiquement nul (en fait un centi`eme du module initial, un module d’Young nul faisant diverger les calculs). Comme le montre la figure 2.19, cela induit une d´eviation de la loi de gonflement de la plaque par rapport `a celle du polym`ere, mais elle reste tr`es faible et ne pourra sans doute pas ˆetre discernable sur des courbes exp´erimentales.
Lorsque l’effet de la concentration porte seulement sur le module d’Young il a une influence identique, en proportion, sur les modules de cisaillement et de compression. Afin d’´evaluer l’effet de variations diff´erentes entre ces deux modules, un calcul a ´et´e effectu´e dans lequel le module d’Young ´etait constant mais o`u le coefficient de Poisson chutait lin´eairement jusqu’`a une valeur nulle `a saturation. Il a conduit `a des effets du mˆeme ordre que ci-dessus, bien qu’un peu plus visibles en d´ebut de sorption, comme le montre la figure2.20.