Variante de la méthode

A. Plus de détails sur l'initialisation des matrices seront donnés dans la section10.2 décrivant les tests eectués durant nos travaux.

Pour assurer une bonne estimation des sources, on eectueT tests, et doncT initialisations de la matrice de séparationCt, car les résultats de l'optimisation de JBOCSS dépendent de cette initialisation. Il est donc nécessaire d'ajouter une étape de traitement des données à la n de ces T tests pour sélectionner une matrice de séparation représentative : c'est l'étape de clustering. Clustering La sous-section 10.1.1 prouvant la séparabilité de la méthode BOCSS a montré qu'il y avait deux solutions possibles, i.e. deux maxima globaux, au problème d'optimisation du critère JBOCSS. Cette possibilité de permutation des sourcess1 ets2 dans les signaux de sortie y₁ ety₂ peut être gérée de la manière suivante :

1. on regroupe la première et la seconde lignes de toutes les matrices C_t enregistrées dans une matrice globaleCglobal, correspondant aux coecients de séparation associés aux deux sorties y₁ ety₂ (voir équation (10.2)),

2. puis on garde les médianes des deux clusters obtenus en utilisant la méthode k-medians [Theodoridis and Koutroumbas, 2009]. Ces deux médianes forment les deux premières lignes de la matrice de séparation nale Cf inal.

Pour la troisième ligne de la matrice C_{f inal} correspondant à la troisième sortie y₃, on prend la médiane de toutes les troisièmes lignes des matrices C_t. Pour gérer l'indétermination du facteur d'échelle, les trois lignes nales sont divisées par leurs normes respectives.

Remarque : an d'eectuer un premier tri dans les Ct estimées après chaque maximisation de J_BOCSS, on vérie que l'inverse de cette matrice, i.e. la matrice de mélange estimée, est bien positive. En eet, cette propriété des données de télédétection permet d'éliminer une partie des estimations aberrantes (maxima locaux). Le pseudo-code 4résume la méthode BOCSS dans son intégralité.

10.1.3 Variante de la méthode

Une variante de la méthode BOCSS a également été développée an d'éliminer l'indétermina-tion du facteur d'échelle : on ajoute une contrainte sur la diagonale de la matrice de séparal'indétermina-tionC

10.2. Tests et résultats

Pseudo-code 4 Méthode de démélange BOCSS pour toutt= 1 à T faire

Initialiser la matrice de mélange _A˜^init

t

Ct=inv( ˜A^init_t )

AjusterC_t pour maximiser J_BOCSS déni par (10.4) siinv(C_t)≥0 alors

Enregistrer Ct dansCglobal

n si n pour ClusterCglobal

consistant à garder cette diagonale constante durant tout le processus de séparation. Cela permet également de réduire le nombre de coecients à optimiser de 9 à 6. La contrainte appliquée est choisie arbitrairement, et est dénie par :

ci,j = 1 quand i=j, (10.23)

on contraint donc les éléments sur la diagonale de C à 1.

Remarque : cette variante peut avoir un intérêt pour accélérer la convergence de l'algorithme puisqu'il y a moins de coecients à optimiser.

10.2 Tests et résultats

An d'évaluer l'ecacité de notre méthode, nous l'avons testée sur un mélange articiel fait à partir de deux sources réelles issues de la base de données hyperspectrales USGS [Kokaly et al., 2017]. Les deux spectres sélectionnés sont des spectres de réectance de deux sortes de roches ignées. Nous générons deux spectres sources articiels à partir de ces spectres réels, an de nous placer dans un cas dicile où les signaux contiennent peu d'échantillons spectraux : un échantillon des sources ainsi créé correspond à la moyenne de Léchantillons adjacents des vrais spectres. On a alors : sj(ind) = ¹ L ind∗L X m=(ind−1)∗L+1 s^reel_j (m) (10.24) avec L le nombre d'échantillons moyennés du spectre réel s^reel_j ,ind l'indice de longueur d'onde considéré etsj le spectre généré. Les spectres réels issus de la base USGS ont 2000 échantillons. Ce sous-échantillonnage nous permet de tester le cas multispectral où nous disposons d'une dizaine d'échantillons spectraux et le cas hyperspectral avec une centaine d'échantillons. En gure10.1, nous montrons les spectres générés pour L= 20, c'est-à-dire pour le cas hyperspectral avec 100 échantillons spectraux.

Il est important ici de vérier que ces sources générées respectent la condition2 portant sur l'indépendance linéaire des 8 vecteurss₁,s₂,s₁s₁,s₁s₂,s₂s₂,s₁s₁s₂,s₁s₂s₂, s₁s₁s₂s₂, pour valider la séparabilité des sources avec notre méthode. Pour cela on crée une matrice contenant ces 8 vecteurs et on calcule le rang de cette matrice. Si indépendance linéaire il y a, alors la matrice doit être de rang plein. Ici, le rang de la matrice est de 8, donc l'indépendance est bien respectée.

Création de la matrice de mélange Pour créer les observations à partir des sources dénies ci-dessus, nous construisons la matrice de mélange _A˜ de manière à respecter les propriétés des

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 indice de longueur d'onde

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 source générée 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

indice de longueur d'onde 0.2

0.4 0.6 0.8

1 source générée 2

Figure 10.1 Spectres des deux sources générées de 100 échantillons en fonction des indices de longueur d'onde

coecients de mélange décrites en sous-section 9.1:

• les coecients ai,j correspondant aux termes linéaires sont uniformément distribués dans [0,1], puis sont divisés pas leur somme an de respecter la contrainte de somme à 1,

• les coecientsb_i,j,k sont uniformément distribués sur[0,0.3]

Pour nos tests, les 3 spectres mélangés générés sont montrés en gure10.2.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

indice de longueur d'onde 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 spectres mélangés

Figure 10.2 Les 3 spectres observés utilisés pour les tests

Robustesse à l'initialisation Pour évaluer la robustesse de notre méthode à l'initialisation, nous testons plusieurs initialisations de la matrice de séparation C : on initialise cette matrice à l'inverse de la vraie matrice de mélange _A˜ et on ajoute du bruit uniforme proportionnel à 10, 20, 50 et 100%des valeurs considérées de inv( ˜A), tel que

Ct=inv( ˜A) +η_Ctinv( ˜A)B_Ct (10.25) avec inv( ˜A) la vraie matrice de séparation, ηCt le pourcentage de bruit ajouté et BCt le bruit uniforme sur l'intervalle−¹

2 à ¹

10.2. Tests et résultats

comme décrit au paragraphe 10.1.2.

Critère de performances Le critère utilisé pour évaluer la méthode est le NRMSE déni dans [Deville, 2015] par :

N RM SE = r min i6=j∈{1,2}(F_ij) p ks2 1k+ks2 2k (10.26)

avec sj les sources à estimer, i.e. les sources articielles que l'on a générées, et où Fij représente min 1=±1 ks1+1 ks1k ky_ik^yik 2 + min 2=±1 ks2+2 ks2k ky_jk^yjk 2