La variance de Allan

Historiquement un périodemètre détectait le passage du signal par une valeur dénie comme un seuil. Seule la pente positive était détectable. On obtenait donc une mesure d'un temps équivalent à une période. On peut, à partir de ces  périodes , quantier le bruit de phase ou de fréquence et identier la nature de ce bruit. Notons enn l'importance de s'assurer qu'il n'y a pas de dérives importantes de la phase, dérive qui a des conséquences néfastes sur la fréquence d'un oscillateur.

La variance de Allan a été suggérée par le comité de référence de la communauté IEEE (Std 1139) comme le standard de la mesure de stabilité des oscillateurs dans le domaine temporel [7]. Son homologue dans le domaine spectral est Sy(f), la puissance spectrale de la déviation de fréquence instantanée fractionnelle y = Φ(t)^˙

2πν0. L'avantage majeur de la variance de Allan par rapport à la variance classique est, qu'en présence de certains types de bruit,14 la variance classique diverge alors que la variance de Allan converge pour tous les bruits généralement rencontrés. La variance de Allan est donc l'outil de choix des métrologistes pour la mesure de stabilité. Cependant, le grand intérêt de la variance de Allan réside dans le grand nombre d'études menées an de dénir, de façon précise et simple, la nature de processus stochastiques aectant les signaux [10, 7, 11].

Le temps minimum de mesure de la variance de Allan est la période θ du signal. La méthode de calcul de la variance de Allan est de construire des listes de  diérences nies  de temps sur des échelles de temps τi qui sont des multiples de la période. Le temps τi est donc égal à n périodes θi (τi = nθi) le long du signal. En résumé, quel que soit n, τ1 est la somme des n premiers θi; τ2 est la somme des n θi suivants etc. τ est ensuite déni comme la moyenne de la liste des temps τi, τ = hτii. La VA est alors la variance estimée de deux valeurs contiguës des τi, moyenné sur le temps τ, (voir la gure1.11).

σ²_y(τ ) = ¹

2τ2h(τi− τi+1)²i. (1.4.5)

Les chevrons hi indiquent une moyenne sur un temps inni ou une moyenne sur plusieurs mesures, d'après le théorème d'ergodicité. La variance de Allan est plus fréquemment

14. En présence de bruit icker ou de marche aléatoire la variance classique ne converge pas vers une valeur nie.

α Nature du bruit σ_y(τ ) ∼ τ^µ2 2 bruit blanc MP ^√a₂τ−3 2 1 bruit icker MP ^√a1τ−1 0 bruit blanc MF ^√a0τ−¹₂ -1 bruit icker MF ^√a−1τ0 -2 marche aléatoire MF ^√a₋₂τ¹2 Table 1.1  Valeurs de α et σy(τ ) telles que σ2

y(τ ) ≈ τ^µ et Sy(f) ≈ hαfα, pour les cinq sortes de bruit les plus communs.

dénie par la fréquence fractionnelle y mesurée par un périodemètre que par les τi, mais cela est moins approprié à notre situation15. σy(τ ) est en général une loi de puissance de τ :

σ_y²(τ ) ∼ τ^µ, 2πτf_{h ≫ 1.} (1.4.6)

f_h étant la fréquence de coupure de la mesure. On représente σ2

y de façon commode en échelle log/log. Un bruit gaussien aectant une source aura pour conséquence une diminution de σylorsque τ croît, selon une droite de pente négative dont l'origine est une réduction de la variance par moyennage sur des temps plus long. A l'opposé, une marche aléatoire aura pour conséquence de dégrader la cohérence du signal pour des temps longs. σy(τ ), en présence de marche aléatoire, présentera une droite de pente positive pour les temps longs. Les bruits périodiques sont aussi détectables par la variance de Allan. Le tableau 1.1 résume les diverses pentes µ que peut présenter la variance de Allan et la nature du bruit qui y est associé.

Les abréviations MP et MF désignent un bruit modulant soit la phase, soit la fré-quence. Les variables a1, 2.. sont les amplitudes des variances de Allan dans les dif-férents cas et ne nous sont pas utiles. Le coecient µ prend typiquement les valeurs −³2, −1, −¹2, 0,¹₂. On a déjà cité Sy(f) comme étant une mesure similaire à la variance de Allan. En présence de bruit aléatoire, la plupart des oscillateurs sont caractérisés par un spectre en loi de puissance de f,

Sy(f) ≈ hαfα. (1.4.7)

15. σ2 y(τ ) = 1

Le coecient α est aussi reporté dans le tableau 1.1 pour les divers types de bruit. Il existe une relation simple entre les coecients α et µ :

µ = −α − 1(−3 < α ≤ 1) et µ ≃ −2(α ≥ 1). (1.4.8)

La première égalité est applicable pour la majorité des oscillateurs (les oscillateurs à quartz ou encore les horloges atomiques). Le type de bruit le plus courant parmi ces oscillateurs est le bruit blanc de fréquence ; c'est-à-dire α = 0 et µ = −1.16 Ceci pour des échelles de temps allant jusqu'à quelques secondes. Dans ce cas, σy(τ0 = θ)est égale à la déviation standard. Notons que la densité spectrale Sy(f) que l'on peut déduire de σy(τ ) est reliée aux densités spectrales de phase et de fréquence par les relations :

Sy(f) = ( ¹ 2πν0 )²S_φ˙(f) (1.4.9a) = ( ¹ ν0 )2f2S_φ(f). (1.4.9b)

C'est donc encore une densité spectrale dans laquelle d'éventuelles uctuations d'am-plitude, dans les limites du raisonnables, ne contribuent pas, contrairement à ce qui se passe dans le cas de la PSD.

Revenons-en à l'utilité même de la variance de Allan. En eet, une fois la nature du bruit stochastique identié on peut alors déterminer la méthode optimale pour l'estima-tion de la fréquence qui nous intéresse. D'après le théorème central limite, la moyenne empirique (c'est-à-dire la somme des éléments divisés par le nombre d'éléments) est la meilleur estimation d'un processus de bruit blanc. Le cas contraire invaliderait toutes mesures moyennant les paramètres en jeux. Ainsi, la meilleure méthode pour estimer la fréquence dans le cas d'un bruit blanc de fréquence est la moyenne simple, tandis qu'un ajustement linéaire de la déviation du temps sera la meilleure estimation de la fréquence dans le cas d'un bruit blanc modulant la phase (BBP). Bien entendu dans ce dernier cas l'estimation de la phase est eectuée de façon convenable par la moyenne. En conséquence directe de ces faits, en présence d'une marche aléatoire la phase n'est pas dénie de manière simple. De ce fait, il faut rappeler que dans les années 60, il y eut de nombreux débats sur la question  Peut-on utiliser Sφ dans le cas d'une marche

16. Le cas de µ = −2, plus rare, est ambiguë car on ne peut discerner si le processus de bruit est du bruit icker modulant la phase (α = +1) ou du bruit blanc modulant la phase (α = +2).

Figure 1.12  La racine carré de la variance de Allan pour quelques oscillateurs de précision constituant l'état de l'art. Tiré de [12]

aléatoire ?  S_φ˙ est une grandeur similaire à Sφ mais qui permet de contourner le pro-blème de la phase. On constate cependant qu'il est important d'identier la nature du bruit avant de faire un choix quant à la méthode de caractérisation de ce bruit.

Quelques exemples classiques de variance de Allan sont présentés sur la gure1.12

où l'on distingue du bruit blanc de fréquence (pente de −1

2, un minimum au temps optimal de mesure et une marche aléatoire (pente positive) ou du bruit icker modulant la fréquence (pente nulle).