Variables indépendantes de contrainte (Bishop, Alonso)

Suite aux nombreuses difficultés rencontrées par les chercheurs qui ont essayé de décrire le comportement des sols non saturés à l’aide d’une seule variable de contrainte, l’idée a été proposée de considérer séparément les contraintes totales et la succion.

Le premier à suggérer cette idée est Coleman (1962) : il propose de représenter l’état de contrainte en conditions triaxiales en utilisant des variables de contraintes dites réduites :

a p 

1

 , ₃p_a et p_wp_a. Par la suite, plusieurs auteurs ont proposé d’autres variables assez proches qu’ils font intervenir dans des relations empiriques.

Le concept de variables indépendantes a atteint son développement le plus poussé avec Alonso (1990) qui a élaboré avec son équipe un modèle appelé modèle de Barcelone reproduisant les principaux phénomènes des sols non saturés et basé sur une approche en variables indépendantes. Il s’agit d’un des modèles les plus aboutis à ce jour et qui traduit le mieux les particularités des sols non saturés.

La grande innovation du modèle d’Alonso est qu’il adopte un critère de plasticité permettant notamment de modéliser le phénomène d’effondrement.

En ce qui concerne le choix des variables indépendantes, que ce soit pour le comportement élastique ou plastique, le tenseur des déformations du sol est considéré comme gouverné par le couple de contraintes (ζij + p_gzδij, p_c).

2.2.3.1.Chargement isotrope

Sous chargement isotrope, le couple de variables indépendantes est composé de :

- la pression moyenne nette p   ( p_gz) avec p_gz la pression du mélange gazeux constitué d’air et de vapeur d’eau. En condition isotropes,  correspond à la contrainte moyenne totale : ¹

3 ⁱⁱ    .

- la pression capillaire p_c définie comme la différence entre la pression de gaz et la pression de liquide : p_c  p_gz p_w

L’état de déformation du sol est représenté par e l’indice des vides (où v = 1+e est le volume spécifique).

 Chargement isotrope à pression capillaire pc constante : de (p_c)^dp

p



^

 

41

Lors d’expériences de chargements isotropes à pression capillaire constante, on obtient des droites dans le plan [log(p)×e], ce qui permet d’établir la relation (2.5). λ dépend de la pression capillaire choisie. Mais après charge/décharge, le sol est élastique avec une pente constante κ. Les paramètres λ et κ sont basés sur les mêmes principes que les paramètres du modèle classique Cam-Clay. Par analogie avec la partition des déformations élastiques et plastiques, on peut ici aussi partager l’indice des vides en une partie élastique et une partie plastique. La partie élastique de^e est donnée par :

e

dp

de

p

 ^

 



^(2.6)

Comme nous l’avons dit précédemment, la particularité de ce modèle est la prise en compte du phénomène d’effondrement (loading collapse). Alonso traduit ce phénomène en introduisant une courbe appellée courbe de « loading collapse » et notée p_LC (p_c, p₀). Cela permet de définir le domaine d’évolution de p qui est compris entre – kpc et pLC (pc, p0). La partie plastique de l’indice des vides est alors définie par les règles suivantes :

0



p

de

si p = p_LC et dp" > 0

0



p

de

si p = - kp_c et dp" = 0 (2.7)

0



p

de

sinon

Le paramètre p0 remplit le rôle de paramètre d’écrouissage et est gouverné par l’indice des vides plastique.

 Chargement en pression capillaire à contrainte moyenne nette p" constante :

atm c c s

p

p

dp

de





 

(2.8)

On applique la même démarche que précédemment. Lorsque la pression capillaire atteint la valeur maximale déjà atteinte auparavant, il y a apparition de déformations irréversibles. Le comportement est assimilable à une droite dans le plan [log(p_c+p_atm)×e], ce qui permet d’obtenir la relation (2.8). Le domaine d’élasticité est limité par : pc s₀, avec s0 paramètre d’écrouissage gouverné par l’indice des vides plastique. L’indice des vides est alors défini par : atm c c s e

p

p

dp

de





 

0



p

de

si p = s0 et dpc > 0 (2.9) p

0

de

sinon

En résumé, en plus des règles d’écoulement et des règles d’écrouissage sur p0 et s₀, le comportement volumique du sol sous chargement isotrope est défini par l’ensemble d’équations suivant : Elasticité : ^e s ^c c atm

dp

dp

de

p p p

 ^ 

  

 

^(2.10)

Critère de plasticité (limite élastique) :

kp

_c

 p

_c

 p

_LC

(p

_c

, p

₀

)

42 2.2.3.2.Chargement triaxial

Sous chargement triaxial, le modèle décrit précédemment est ici généralisé au cas où l’on applique un déviateur de contraintes q = ζ1 – ζ3, avec ζ3 = ζ2. La pression nette est alors

donnée par ¹(2 _{3 1})

3

p    .

Il est à noter que, selon la volonté de ses auteurs, lorsque l’on se place à pression capillaire nulle (S_w = 1), la formulation coïncide avec celle du Cam-Clay modifié.

Dans le plan [p×q], à pc constante, la surface elliptique du domaine d’élasticité passe par les deux points limites (–kp_c,0) et (p_LC,0). De plus, une courbe d’état critique de pente M (q=Mp), précisant les conditions de rupture en cisaillement, est définie pour chaque valeur de pc

(Figure 2.6). L’équation de l’ellipse s’écrit alors :

0

)

)(

²(

²M pkp

_c

p p

_LC



q

(2.11)

Figure 2.6 : Domaines d’élasticité dans le plan [p×q] à pc constante (Dangla, 2002)

Pour définir complètement le domaine d’élasticité dans le plan [p×q×pc], la surface de charge est fermée par le plan p_c = s₀ (Figure 2.7).

43

En généralisant cette démarche à des états de contraintes quelconques, on peut retrouver au choix les critères de Tresca ou de Von Mises ((3J2)^^1/2).

Comme nous l’avons déjà dit, le modèle d’Alonso est aujourd’hui une référence en ce qui concerne la compréhension du comportement des sols non saturés. Mais ce modèle présente toutefois des inconvénients. Etant donné les essais réalisés jusqu’à ce jour dans le cadre de ces travaux, ce modèle n’est d’abord validé que dans le cas des sols peu cohésifs, et donc non généralisable a priori aux roches. Ensuite, malgré la volonté des auteurs de le relier à des modèles déjà existants, en particulier le Cam-Clay modifié, le fait qu’une nouvelle formulation soit imposée par rapport aux modèles classiques des matériaux saturés pose des problèmes de continuité entre les domaines saturés et non saturés.

Toutefois, de nombreux chercheurs essaient actuellement de généraliser le modèle d’Alonso pour le rendre le plus compatible possible avec les modèles saturés. Les travaux de Coussy & Dangla (2001) proposent ainsi une approche énergétique de ce modèle.

Dans le document Modélisation hydromécanique du comportement des ouvrages souterrains avec un modèle élastoviscoplastique (Page 42-45)