fert Rationnelle
Avant de pr´esenter les m´ethodes de d´emodulation, il serait int´eressant d’´etudier la perti- nence de l’utilisation d’un mod`ele de canal bas´e sur des fonctions de transfert rationnelles. Comme nous sommes habitu´es, en traitement du signal, `a travailler avec la r´eponse im- pulsionnelle discr`ete des canaux, la question qui peut se poser est si le mod`ele par fonction rationnelle arrive `a bien approcher les canaux r´eels ou ceux utilis´es souvent dans la litt´erature. Notons que cette question de la pertinence du mod`ele RII a d´ej`a ´et´e pos´ee dans la litt´erature, `a propos du probl`eme de l’annulation d’´echos acoustiques en t´el´econf´erence [Mbo92].
Si l’on s’en tient `a l’interpr´etation physique (superposition de trajets multiples avec des att´enuations et des retards diff´erents) habituellement donn´ee au ph´enom`ene de propagation dans les canaux de communication mobiles, on peut difficilement justifier la pr´esence de pˆoles dans la mod´elisation de tels canaux. Cependant, notre objectif est simplement d’avoir une description math´ematique du comportement global entr´ee-sortie de ces canaux.
L’´etude de quelques exemples nous donne raison, mais il faut tenir compte de certain d´etails. Il n’est pas possible d’approcher, par une fonction rationnelle, un canal discret RIF qui introduit un retard consid´erable, comme, par exemple, celui montr´e `a la figure 4.1. Cela
est dˆu au fait qu’un tel retard s’exprime, dans le domaine de la transform´ee de Laplace, par la
multiplication de la fonction de transfert par e−trs, o`u t
r est le retard. Comme cette fonction
n’est pas rationnelle, l’approximation devient impossible.
0 10 20 30 40 50 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t/T h(n)
Figure 4.1: R´eponse impulsionnelle d’un canal avec retard initial
Pour trouver une fonction de transfert rationnelle en temps continu qui soit une bonne approximation d’un canal en temps discret, avec une r´eponse impulsionnelle donn´ee par des coefficients r´eels, nous avons suivi la proc´edure ci-dessous:
• Calcul de la r´eponse en fr´equence du canal discret.
• Recherche d’une fonction de transfert rationnelle en temps continu qui approche cette
r´eponse, en minimisant kb − RHak2 o`u RH est la r´eponse en fr´equence souhait´ee et
b et a sont les vecteurs des coefficients du num´erateur et du d´enominateur du filtre
recherch´e pour un ordre M et N donn´e. Il est clair qu’il faut tenir compte du fait que la r´eponse en fr´equence du canal de d´epart sera donn´ee en fonction des radians par ´echantillon, tandis que la r´eponse en fr´equence de la fonction de transfert recherch´ee sera donn´ee en fonction des radians par seconde.
• Nous retiendrons le filtre correspondent `a un ordre M et N minimal qui donne des r´esultats satisfaisants, c’est-`a-dire, avec une r´eponse en fr´equence semblable `a l’originale. Partons donc d’un canal obtenu `a partir de mesures r´eelles. Nous avons pris la partie r´eelle des coefficients du canal num´ero 1 de la base de donn´ees de Cornell (disponible sur internet `a l’adresse http://bard.ece.cornell.edu/downloads) et nous avons coup´e sa r´eponse impulsion- nelle pour que le coefficient le plus puissant soit le premier, c’est-`a-dire, pour ´eliminer le retard initial. La r´eponse impulsionnelle du canal consid´er´e est montr´ee dans la figure 4.2. Ce canal a ´et´e obtenu avec un taux d’´echantillonnage de T /2, ce qui correspond `a deux fois la cadence des symboles.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t/T h(n)
Figure 4.2: R´eponse impulsionnelle du canal consid´er´e
En suivant la proc´edure d´ecrite ci-dessus, nous obtenons la fonction de transfert rationnelle suivante:
G(s) = 1.075s
4+ 6.084s3+ 50.84s2+ 118.1s + 304.8
s4+ 7.614s3+ 47.78s2+ 113.3s + 279.2
La figure 4.3 compare les r´eponses en fr´equence du canal de d´epart et de G(s), tandis que la figure 4.4 montre la sortie de ces canaux, pour un mˆeme signal d’entr´ee. Le signal d’entr´ee utilis´e ´etait un bruit blanc. Nous pouvons donc conclure que le canal RIF discret consid´er´e peut ˆetre bien approch´e par une fonction de transfert en temps continu, G(s), avec des valeurs d’ordre du num´erateur et du d´enominateur raisonnables.
Ensuite nous avons suivi la mˆeme proc´edure pour le canal sugg´er´e par [Pro95] (item c, page 616), dont la r´eponse impulsionnelle, ´echantillonn´ee `a la cadence des symboles, est donn´ee par h(n) = [0.227 0.460 0.688 0.460 0.227]. Notez que ce canal introduit un retard de deux p´eriodes symbole, mais nous verrons que, comme ce retard n’est pas tr`es important, nous arrivons `a bien l’approcher par une fonction de transfert rationnelle.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Fréquence normalisée Amplitude Canal discret G(s)
Figure 4.3: R´eponses en fr´equence de h et de G(s) 0 5 10 15 20 25 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Temps (s) x(t)
Sortie du canal de départ Sortie du filtrage par G(s)
Figure 4.4: Signal de sortie des canaux
La fonction de transfert en temps continu, obtenue comme une approximation de la r´eponse en fr´equence de h(n), est:
G(s) = 1.135s
4+ 0.03706s3+ 10.61s2+ 0.2848s + 24.64
s5+ 3.498s4+ 12.75s3+ 22.29s2+ 25.05s + 12.07
Les figures 4.5 et 4.6 montrent les r´eponses en fr´equences des deux filtres et le signal de sortie obtenu `a partir du filtrage par chacun des deux canaux. Encore une fois, nous pouvons voir que G(s) est une bonne approximation de h(n).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 Fréquence normalisée Amplitude Canal discret G(s)
Figure 4.5: R´eponses en fr´equence de h(n) et de G(s) 0 10 20 30 40 50 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Temps (s) x(t) Sortie de h(n) Sortie de G(s)
Figure 4.6: Signal de sortie des canaux
Ces exemples montrent que l’on peut mod´eliser correctement des canaux de communi- cations mobiles `a l’aide de fonctions de transfert rationnelles. Il est vrai que parfois cette
mod´elisation peut ˆetre difficile, comme dans les cas des canaux qui introduisent des retards, mais cela ne diminue pas l’int´erˆet d’utiliser un tel mod`ele, puisqu’il permet la repr´esentation d’une grande quantit´e de filtres.