passant par le centre de la source sur la figure6.8 montre un bon accord entre les deux courbes. Nous voyons seulement une petite erreur d’amplitude et un léger décalage de phase à l’aval de la source entre le modèle de Galbrun et le code potentiel visible principalement sur la composante verticale de v.
Ensuite, nous déterminons l’écart relatif en norme L2(ΩR) entre vgal et vpotles vitesses issues respectivement du code de Galbrun et du code potentiel
δ = 2kvgal− vpotk0,ΩR
kvgal+ vpotk0,ΩR. (6.18)
Le calcul fournit un écart δ ≈ 0.0782, soit une erreur de moins de 10%. Sur la figure 6.7, nous constatons effectivement de légères différences entre les deux solutions dans la zone proche du bord rigide, ce qui peut s’expliquer par un traitement différent de la condition à la limite d’une méthode à l’autre. Une autre raison possible de ces écarts est liée aux termes sources fgalet fpotqui ne sont peut-être pas dans une zone où l’écoulement est complètement uniforme. Rigoureusement, les relations (6.16) et (6.17) ne sont valables qu’en écoulement uniforme.
Finalement, ce test montre que notre approche est capable de retrouver correctement la so-lution du problème de propagation dans la configuration d’un écoulement potentiel avec source acoustique.
6.3 Validations en écoulement rotationnel
Nous voulons maintenant tester notre méthode dans des configurations rotationnelles, c’est-à-dire dans des configurations où l’acoustique est couplée avec des effets tourbillonnaires. Le premier objectif de ce paragraphe est de valider notre approche dans de telles situations. Nous voyons deux façons d’introduire de la rotationnalité dans le système, soit en choisissant une source à rotationnel non nul, soit en considérant un écoulement non potentiel. Dans le premier cas, les tourbillons sont directement introduits pas la source. Par contre lorsque l’écoulement est rotationnel, un couplage complexe a lieu entre la propagation acoustique et les effets hydrodynamiques, comme nous l’avons déjà vu auparavant. Nous n’avons pas à notre disposition d’autres méthodes capables de traiter ce type de situation et sur lesquelles nous pourrions nous appuyer pour valider notre approche. Néanmoins, l’indicateur a posteriori permet de contrôler la validité des résultats. De plus, la mesure des longueurs d’ondes acoustiques et hydrodynamiques et leurs comparaisons avec les valeurs théoriques donnent de l’information sur la cohérence des solutions numériques.
6.3.1 Source tourbillonnaire dans un écoulement potentiel
Nous considérons l’écoulement potentiel du cas 1. Le but de ce paragraphe est d’une part de valider notre approche dans le cas d’une source tourbillonnaire, et d’autre part d’observer l’impact d’une telle source sur la solution obtenue. Pour cela, nous simulons, le rayonnement de la source
frot qui, contrairement aux tests précédents, n’est pas purement acoustique. Son expression est donnée par la formule (6.4) où nous avons pris g(x1, x2) = g2(x1, x2) avec g2 définie par (6.6). Elle vérifie donc rot frot6= 0. L’écoulement associé au cas test 1 étant potentiel, le choix de cette
source tourbillonnaire permet d’introduire de la vorticité dans le système.
Les résultats présentés sur les figures 6.9,6.10, 6.11 et6.12 sont obtenus pour une pulsation
ω = 3. Le domaine de calcul et les paramètres de l’écoulement sont pris identiques à ceux choisis
au paragraphe6.2.3sauf la valeur de la vitesse à l’infini qui vaut maintenant v∞= 0, 4. La source est centrée en (x1,s, x2,s) = (−1, 1) et son rayon vaut rs = 0.3. Les paramètres s1 et s2 valent
s1 = 10 et s2 = 0.1. Ce choix de paramètres rend possible la visualisation simultanée du signal acoustique et du signal tourbillonnaire.
Tout d’abord, nous avons validé le résultat numérique fourni par notre méthode. Nous avons vérifié que la solution est bien nulle à l’extrémité des couches PML et que celles-ci ne renvoient pas
Fig. 6.6: Rayonnement d’une source acoustique dans un écoulement potentiel (cas 1) : valeurs de l’indicateur a posteriori ˜e = | rot u − ψ|2 (où la borne supérieure de l’échelle des couleurs est saturée : on a 1.7 × 10−10≤ ˜e ≤ 8.3 × 10−2).
Fig. 6.7: Rayonnement d’une source acoustique dans un écoulement potentiel (cas 1) : isovaleurs de <e v1 à partir du modèle de Galbrun (gauche) et du modèle potentiel (droite).
Fig. 6.8: Rayonnement d’une source acoustique dans un écoulement potentiel (cas 1) : comparai-son des valeurs de <e v1 et <e v2 obtenues par la méthode de Galbrun augmentée et par le code potentiel le long de la droite horizontale passant par le centre de la source (x2 = x2,s).
6.3. Validations en écoulement rotationnel 133
de signal parasite dans le domaine physique. Nous avons aussi vérifié que la solution reste stable si on diminue le pas de maillage et si on change les paramètre des PML. Enfin, ˜e = | rot u − ψ|2
l’indicateur a posteriori, que nous avons représenté sur la figure6.9, prend globalement des valeurs proches du zéro machine ce qui montre que nous avons bien obtenu la solution du problème de Galbrun initial. Nous remarquons que les écarts entre rot u et ψ se creusent dans le sillage de la source. Dans cette zone, la longueur d’onde n’est pas beaucoup plus petite que celle des modes acoustiques et ne nécessite pas a priori de raffiner la maillage (contrairement au cas du paragraphe précédent où ψ oscillait beaucoup). Cependant l’amplitude du sillage qui arrive dans la couche PML aval est élevée par rapport à l’onde acoustique (les échelles de couleurs de la figure6.10ont été saturées). Le maillage dans les PML doit être très fin pour pouvoir absorber proprement ce signal sur la courte épaisseur de la PML. Il faudrait donc pour cette raison diminuer le pas de maillage dans le sillage de la source et dans la PML à l’aval. Ces observations nous permettent néanmoins de valider notre approche dans le cas d’une source tourbillonnaire.
Fig. 6.9: Rayonnement d’une source tourbillonnaire dans un écoulement potentiel : valeurs de l’indicateur a posteriori ˜e = | rot u − ψ|2 (où la borne supérieure de l’échelle des couleurs est saturée : on a 7.4 × 10−11≤ ˜e ≤ 0.11).
Maintenant, observons le comportement de la solution calculée. La figure 6.10représente les composantes horizontales et verticales de u. Nous remarquons d’une part l’onde acoustique amont qui se propage vers la gauche. Les axes gradués permettent de vérifier que, loin de Γ∞ dans la zone où l’écoulement est pratiquement uniforme, la longueur d’onde mesure 1.25 unités et vérifie bien les relations (6.8) et (6.9). Le mode aval n’est pas visible sur la figure car sa longueur d’onde mesure environ la moitié de la taille du domaine (et son amplitude est peut-être négligeable par rapport à celle des autres modes).
D’autre part, nous voyons un signal qui part de la source et qui est transporté vers l’aval par l’écoulement. Il s’agit d’un sillage hydrodynamique induit par la source. En effet, nous constatons sur l’image que la longueur d’onde de cette partie du signal est approximativement égale à 0.8, ce qui correspond à la longueur théorique de l’onde de vorticité donnée ponctuellement par
λvort= 2π|v0|
ω . (6.19)
De plus, la vitesse eulérienne décrit un phénomène semblable avec cependant une amplitude du mode hydrodynamique un peu plus faible. L’image de gauche de la figure6.11montre clairement la convection des tourbillons introduits par la source. L’image de droite prouve que nous sommes bien en présence de phénomènes de vorticité puisque dans le sillage des tourbillons le rotationnel de v est non nul.
Enfin, nous pouvons montrer que le code potentiel ne permet pas de prendre en compte cette contribution rotationnelle. Nous calculons la vitesse eulérienne par cette méthode en prenant
comme second membre la partie acoustique de la source, c’est-à-dire
fpot(x1, x2) = −iωg2(x1, x2) + v0∂g2
∂x1(x1, x2),
où g2 est la fonction définie par (6.6). La vitesse obtenue par le code potentiel est représentée par la première image de la figure6.12. Elle contient uniquement le mode acoustique. La comparaison avec la vitesse issue du modèle de Galbrun (figure 6.11) montre que même la forme de l’onde acoustique est légèrement différente dans la zone où se trouve le support de la source. De plus, l’amplitude du front d’onde amont (celui qui se propage vers la gauche) est un peu plus faible.
La deuxième image représente la différence entre les composantes horizontales de la vitesse calculée à l’aide du modèle de Galbrun et du modèle potentiel. Cette différence est presque nulle sauf dans la zone du sillage tourbillonnaire de la source où nous retrouvons la convection du mode hydrodynamique propre à la solution de Galbrun. L’apport du modèle de Galbrun réside donc dans ce mode de vorticité que le modèle potentiel ne peut pas prendre en compte.
Ce résultat numérique nous a donc permis de valider l’approche de Galbrun dans le cas d’une source tourbillonnaire. Il propose également une illustration des phénomènes hydrodynamiques qui consistent en la convection de modes hydrodynamiques.
Fig. 6.10: Rayonnement d’une source tourbillonnaire dans un écoulement potentiel : isovaleurs des champs <e u1 et <e u2 obtenus par le modèle de Galbrun.
Fig. 6.11: Rayonnement d’une source tourbillonnaire dans un écoulement potentiel : isovaleurs de <e v2 (à gauche) et <e rot v (à droite) obtenus à partir du modèle de Galbrun.
6.3.2 Rayonnement en écoulement rotationnel
Une deuxième façon d’introduire de la vorticité consiste à prendre en compte un écoulement dont la vitesse est à rotationnel non nul. Le cas du jet analytique qui a déjà été introduit au