Validation par identification param´etrique

La deuxi`eme technique de validation que nous allons utiliser est bas´ee sur l’iden- tification param´etrique du mod`ele de Park ´equivalent au mod`ele g´en´er´e par le M´e- taMod`ele.

La technique d’identification que nous avons adopt´e est bas´ee sur l’algorithme par erreur de sortie, cette technique ne fait aucune hypoth`ese sur la lin´earit´e du mod`ele et elle fournit une estimation non biais´ee en boucle ouverte Bachir et al.

(2008).

3.4.3.1 Principe de l’algorithme d’identification du type erreur de sortie Consid´erons un syst`eme d´ecrit par le mod`ele d’´etat g´en´eral d’ordre n, d´ependant du vecteur param`etres θ :    ˙x = g (x, θ, u) y = f (x, θ, u) avec    dim(x) = n dim(θ) = N (3.51)

o`u y(t) et u(t) sont consid´er´es mono-dimensionnels uniquement pour simplifier la pr´esentation. On remarquera qu’aucune hypoth`ese de lin´earit´e n’est n´ecessaire : g et f sont des lois issues d’un raisonnement physique, qui en g´en´eral ne sont pas lin´eaires. On fera cependant l’hypoth`ese que le syst`eme est identifiable Walter et Pronzato (1997).

Soit ˆθ une estimation de θ. Alors grˆace `a u(t), connue aux instants d’´echantillon- nage uk, on obtient une simulation ˆyk de la sortie, soit

   b˙x = g  b x,θ, ub  b y = f x,b θ, ub  (3.52)

L’estimation optimale de θ est obtenue par minimisation du crit`ere quadratique :

J = K X k=1 ε2_k = K X k=1  y_k∗− ˆyk  uk, ˆθ 2 (3.53) o`u y∗

k est la mesure de la sortie perturb´ee par le bruit bk.

132 Chapitre 3. Validation et param´etrage d’un mod`ele une m´ethode de Programmation Non Lin´eaire (P.N.L.)Richalet et al.(1971). Ainsi, la valeur optimale du vecteur param`etre not´ee θopt est obtenue par un algorithme

d’optimisation it´eratif Himmelblau (1972).

L’algorithme de Marquardt Marquardt (1963) offre un bon compromis entre robustesse et rapidit´e de convergence. Les param`etres `a estimer sont r´eactualis´es selon la loi :

ˆ

θ_i+1 = ˆθ_i− {[J_θθ00 + λ I]−1· J_θ0}_θ=ˆˆ _θ

i (3.54)

Les algorithmes d’erreur de sortie diff`erent surtout par la fa¸con de g´erer l’optimi- sation. Pour notre part, nous avons opt´e pour le calcul du gradient par les fonctions de sensibilit´e param´etrique. On prend donc :

– J0 θ = −2 K P k=1 εkσk : gradient du crit`ere, – J00 θθ ≈ 2 K P k=1 σ<sub>k</sub>σT k : pseudo-hessien du crit`ere, – λ : param`etre de r´eglage, – σk,θ_i = ∂ ˆyk

∂θ_i : fonction de sensibilit´e param´etrique vis-`a-vis des sorties ˆyk.

La particularit´e essentielle de cette technique d’identification r´eside dans la si- mulation du mod`ele ybk sur la seule connaissance de l’excitation uk et du vecteur

param`etres θb: c’est cette simulation qui garantit l’absence de biais asymptotique si

le syst`eme fonctionne en boucle ouverte Trigeassou et al. (2003),Bazine (2008) ; en cons´equence, les r´esidus sont l’image de la perturbation affectant le syst`eme.

Les fonctions de sensibilit´e ∂ ˆyk

∂θ_i (qui sont l’analogue des variables explicatives de

la m´ethode des moindres carr´es) jouent elles aussi un rˆole essentiel dans la recherche de l’optimum : en effet, le gradient d´epend directement de leur calcul (ainsi que de la simulation du mod`ele ˆyk `a travers εk). On en d´eduit que si le calcul des σk,θ_i est

erron´e, il en sera de mˆeme du gradient et donc de l’optimum obtenu. 3.4.3.2 R´esultats d’identification

Le tableau 3.4 pr´esente les r´esultats de l’identification param´etrique du mod`ele de Park ´equivalent au Mod.C.324. Cette identification est faite avec l’excitation en tension introduite par le sc´enario 3.7.

3.5. Conclusion 133 Sc´enario 3.7 Excitation en tension `a vide et en pleine charge :

`a t=0s : On d´emarre avec les param`etres du tableau 3.2, `a t=0.3s : EM ax = [230.

√

2, 10, 10, 10, 10] (V ),

Fs = [50, 10, 20, 30, 40] (Hz),

`a t=2.3s : On applique un couple r´esistant Cr = 7Nm,

Tab. 3.4 – Estimation param´etrique du Mod.C.324

Param`etres En pleine charge `A vide

Rs (Ω) 9.343 9.298

Rr (Ω) 4.376 4.330

Lm (mH) 419.38 412.78

Lf (mH) 56.405 56.317

Le tableau 3.5 pr´esente les r´esultats de l’identification param´etrique de la M.AS.R´eelle, ces r´esultats sont obtenus en utilisant la mˆeme excitation en tension sur le banc d’essai.

Tab. 3.5 – Estimation param´etrique de la M.AS.R´eelle

Param`etres En pleine charge `A vide

Rs (Ω) 10.121 9.7774

Rr (Ω) 3.1363 3.8588

Lm (mH) 414.65 433.61

Lf (mH) 50.538 78.516

On remarque, que les param`etres estim´es issus de simulation et ceux issus de l’exp´erimentation sont assez comparables, nous remarquons aussi que Rs exp´eri-

mentale est toujours sup´erieure `a celle de simulation. Cette diff´erence est due en grande partie aux pertes fer dans la machine, que l’algorithme essaie de compenser par les pertes joule dans la r´esistance des enroulements.

3.5 Conclusion

Nous avons commenc´e ce chapitre par une pr´esentation de la topologie du bo- binage de la M.AS.R´eelle, puis nous avons expos´e les ´etapes emprunt´ees, par le

134 Chapitre 3. Validation et param´etrage d’un mod`ele M´etaMod`ele expos´e dans le chapitre 2, lors de la g´en´eration automatique du mod`ele correspondant `a cette topologie. Cette ´etape nous a permis de concr´etiser le d´eveloppement th´eorique du chapitre pr´ec´edent par un exemple, de bien exposer le principe de la prise en compte de la topologie ´electrique de la machine par des matrices de connexion, et de donner un aper¸cu du potentiel de cette technique de mod´elisation multi-niveaux (enroulement, bobine, phase et boucles de r´esolution).

Quelques r´esultats num´eriques issus de la plate-forme de simulation « IMSim- Kernel » d´evelopp´ee dans la cadre de cette th`ese, nous ont permis d’´etudier l’in- cidence de la variation de quelques param`etres ´electriques sur le comportement du mod`ele. Cette « exp´erimentation » nous a offert la possibilit´e de bien param´etrer le mod`ele, dans le but de rapprocher le point de fonctionnement du simulateur `a celui de la M.AS.R´eelle. Ce point de fonctionnement a une grande importance, surtout, au cours de la validation du comportement d´efaillant du mod`ele.

Une validation fr´equentielle et par identification param´etrique vient compl´eter la comparaison des signaux temporels, men´ee lors du choix des param`etres du simula- teur. L’analyse des courants statoriques de simulation montre la richesse harmonique de la mod´elisation adopt´ee. Celle-ci r´esulte de la prise en consid´eration de la topo- logie du bobinage de la machine, que ce soit au stator ou au rotor. La deuxi`eme technique de validation a montr´e que, vu par l’algorithme d’identification, les si- gnaux issus de l’exp´erimentation ou de la simulation sont assez similaires, et que le simulateur peut ˆetre utilis´e comme un outil d’exp´erimentation virtuel des techniques de d´etection et de localisation de d´efaillances.

Nous exposons dans le chapitre suivant, le principe avec lequel le M´etaMo- d`ele prendra en consid´eration l’apparition de certaines d´efaillances qui peuvent toucher la machine asynchrone.

Sommaire

4.1 Introduction . . . 137