L’implémentation de cet algorithme dans un code de calcul mérite d’être validée par des calculs tests, du fait de la complexité de la méthode. La démarche qui nous semble la plus na-turelle consiste à valider en premier lieu le code sur un cas test de la théorie cinétique des gaz, domaine idéal de la dynamique moléculaire. Ensuite, l’algorithme sera utilisé dans le cadre d’un écoulement représentatif de l’agglomération des colloïdes : celui de particules submicroniques dans un fluide au repos agitées par les forces aléatoires browniennes. Comme nous l’avons expliqué dans la Section 2.4, nous considérons un algorithme comme valide lorsqu’il réussit à calculer les taux de collision théoriques décrits dans le Chapitre 2.
3.2.1 La théorie cinétique des gaz
Cette simulation doit retranscrire la dynamique moléculaire à l’origine de la pression au sein d’un gaz. Les molécules du gaz se déplacent dans le vide, sous l’effet de l’énergie thermique, et
les collisions qu’elles rencontrent définissent la pression du gaz comme la grandeurP =nkBθ
L3 ,
avec Ln3 la concentration en molécule dans le volumeL3.
La modélisation
La physique représentée est celle des molécules d’un gaz parfait, modélisées par des sphères dures, qui se déplacent dans le vide. Cela signifie que la vitesse de ces molécules est constante dans le temps et qu’aucune force extérieure ne vient perturber leur déplacement, comme la force de traînée par exemple. Aussi, la viscosité est nulle et donc ces molécules ont un temps de relaxation infini. Le modèle de déplacement est intégré par un schéma d’Euler
d’ordre1pour donner :
(
Xp(t+ ∆t) =Xp(t) +Up(t)∆t,
Up(t) =cste. (3.3)
Ceci montre que le régime de déplacement pour chaque simulation est le régime balistique
pur puisque nous aurons, dans tous les cas,∆t τp (Section 1.3.1). Néanmoins, la vitesse
constante de chaque particule doit respecter une distribution de Maxwell, qui pour chacune des
directions de l’espace (l= 1,2,3) prend la forme (Reif, 1965) :
F(Up,l) = r mp 2kBθexp −mpU 2 p,l 2kBθ ! . (3.4)
Cette distribution est illustrée sur la figure 3.5.
Le point crucial dans cette représentation est relatif à l’étude des collisions. En respectant cette dynamique, il apparaît que les trajectoires rectilignes des particules ne sont modifiées que par les collisions. La fréquence de collision théorique est alors donnée par (Reif, 1965) :
fc= n L3πd2p s 16kBθ πmp n 2, (3.5)
3.2 Validation numérique de l’algorithme dérivé de la dynamique moléculaire
FIGURE3.5 – Distribution de Maxwell pour les vitesses initiales des molécules d’Hélium pour chacune des directions de l’espace.
et de fait, le noyau de collision théorique est (Section 2.3) :
Γth= 2n2d2p
s
πkBθ
mp . (3.6)
Ce noyau de collision théorique est calculé de manière exacte pour les gaz parfaits, ce qui permet d’établir des simulations sur plusieurs molécules différentes afin de prouver l’indépen-dance en diamètre et en pas de temps des simulations.
Les simulations numériques
Dans la théorie cinétique des gaz, les molécules des gaz parfaits sont considérées comme des sphères dures. La meilleure approximation existante pour cette modélisation est de
repré-senter ces molécules comme des sphères de rayonrV dW, le rayon de Van der Waals. Ce rayon
définit la sphère la plus petite incluant entièrement la molécule choisie. Le tableau 3.1 expose les caractéristiques des gaz parfaits testés.
La variété des diamètres disponibles pour les tests permet de montrer que l’algorithme im-plémenté est indépendant à cette caractéristique sur la phase dispersée. En effet, le taux de collision estimé par la simulation adimensionnée par le taux de collision théorique (Eq. 3.6)
évolue autour de l’unité, comme le montre la figure 3.6. Les tests sont effectués avecn= 250
molécules dans un volume de contrôle de dimensionL3 avecL = 10nm à une température
θ= 300K. Les collisions sont des collisions élastiques parfaites. Le pas de temps de cette si-mulation est choisi de sorte que le libre parcours moyen d’une molécule sur un pas de temps,
donné parUm∆t(avecUmla vitesse moyenne des molécules), reste très inférieur à la
dimen-sion caractéristique du volume de contrôleL. De fait, avecUm = q8kBθ
πmpm.s−1 (Reif, 1965),
TABLEAU 3.1 – Grandeurs caractéristiques des gaz parfaits testés dans la détection des colli-sions de la théorie cinétique.
Gaz Masse molaire (g) Rayon de Van der Waals (pm)
Helium 4 140
Neon 20 154
Argon 40 188
Krypton 83,3 202
Xenon 131,3 216
FIGURE3.6 – Noyau de collision adimensionné en fonction du temps pour différents gaz parfaits - indépendance en diamètre de l’algorithme de type MD.
remplit toutes les conditions requises.
Il s’agit maintenant de montrer que le choix de ce pas de temps global pour la simulation, n’affecte en rien la détection des collisions. Pour ce faire, le pas de temps de la simulation est fixé à plus ou moins un ordre de grandeur par rapport au pas de temps précédemment choisi,
qui était ∆t = 10−14s. Dans les mêmes conditions de simulation et pour des pas de temps
globaux différents, la figure 3.7 démontre que l’implémentation n’est pas affectée par ce choix.
Un fois l’implémentation validée sur le cas balistique pur correspondant à la théorie cinétique des gaz, nous pouvons à présent tester son efficacité dans un cadre représentatif de l’agglo-mération que l’on étudie, celui de particules colloïdales soumises à un mouvement brownien pur.
3.2 Validation numérique de l’algorithme dérivé de la dynamique moléculaire
FIGURE3.7 – Noyau de collision adimensionné en fonction du temps pour l’Hélium - indépen-dance en pas de temps de l’algorithme de type MD.
TABLEAU3.2 – Paramètres constants utilisés dans les simulations.
Variable φ L(m) ρp
ρf Ncth ∆τt
p θ(K) µf (Pa.s) kB (SI)
Valeur 10−4 10−4 1000 500 101 296,15 1,83245×10−5 1,3806503×10−23
3.2.2 L’algorithme de collision type MD appliqué à un mouvement
brow-nien pur
Pour compléter la validation de l’implémentation de notre algorithme de type MD, nous avons choisi de le tester dans l’un des cas les moins éprouvés de la littérature : celui du mouvement
brownien pur appliqué à des particules colloïdales. Le fluide est donc au reposUs(t) = 0,∀t,
les particules sont monodispersées et les autres paramètres utilisés sont retranscrits dans le tableau 3.2.
Le schéma numérique utilisé est celui donné dans la Section 1.3.2 avec ∆t
τp = 1
10, donc
dans le régime de déplacement balistique. La validation recherchée étant le taux de collision théorique du mouvement brownien dans le régime continu (Eq. 2.11). Le noyau estimé adimen-sionné par cette valeur théorique est donné pour différents diamètres sur les figures 3.8, 3.9 et 3.10.
Comme le montrent les résultats obtenus, cet algorithme est capable de traiter la collision des colloïdes soumis à un mouvement brownien pur. Il s’agit maintenant d’analyser son effica-cité en terme de coût de calcul numérique afin de valider ou non le choix d’un tel algorithme.
FIGURE3.8 – Cas test brownien/MD,dp= 0,75µm;n= 453;τp= 1,70µs;Kn= 0,1795.
FIGURE3.9 – Cas test brownien/MD,dp= 1µm;n= 191;τp= 3,03µs;Kn= 0,1346.
3.3 Tests numériques des algorithmes de collision dans le régime diffusif