6.3.1 Représentation théorique et définition
Pour détecter et traiter une collision entre deux particules, la nouvelle méthode stochastique que nous avons élaborée nécessite de s’intéresser à la distance relative entre les colloïdes, donc à leur trajectoire relative. Cette trajectoire se construit à partir des trajectoires de cha-cune des particules, supposée purement diffusive. Pour chaque particule, la trajectoire prend la forme :
dXp=BposdWt. (6.8)
La trajectoire relative à deux particules, définie parXp,j−Xp,i, est alors également un
proces-sus de diffusion, qui suit :
dXp,ij=Bpos,ijdWt, (6.9)
en respectant la règle d’addition des variances pour donner le coefficient de diffusion :
Bpos2 ,ij=Bpos2 ,i+Bpos2 ,j. (6.10)
à la manière de ce que nous avons déjà fait dans la Section 5.3, ce qui défini le coefficient de diffusion de la trajectoire relative d’une paire de particules suivant chacune une trajectoire diffusive.
6.3 Notion de diffusivité relative
FIGURE6.2 – Comparaison des noyaux d’agglomération brownien et turbulent pour un taux de
dissipation de l’énergie cinétique turbulentemin= 10−5m2s−3.
FIGURE6.3 – Comparaison des noyaux d’agglomération brownien et turbulent pour un taux de
Ainsi, lorsque les trajectoires des particules isolées sont chacune des trajectoires diffusives, cette notion de diffusivité de paire ne pose aucun problème de construction. Mais que se passe-t-il lorsque le mouvement individuel des particules n’est pas soumis à une diffusion, comme c’est le cas pour les colloïdes dans un écoulement turbulent donné, par une DNS par exemple ? En effet, comme rappelé à la Section 6.1, la taille caractéristique des colloïdes étant bien
plus petite que l’échelle de taille des plus petits tourbillons de la turbulence,ηk(Eq. 6.2 et
Sys-tème 6.3), chacune des particules est transportée par un écoulement laminaire cisaillé. Ainsi, aucune diffusion qui serait due à l’influence de petites échelles sous-jacentes n’apparaît
direc-tement sur la trajectoire des particules isolées. Néanmoins le cisaillementΓk, qui caractérise
l’écoulement laminaire cisaillé existant sous la taille de Kolmogorov, fluctue au cours du temps
avec une échelle de temps de l’ordre deτk. Ces variations en temps et en espace créent une
diffusion relative pour les paires de particules colloïdales. Cette diffusivité relative est alors
dé-pendante de la distance qui sépare les centres des deux particules, que nous allons noterr.
De récents travaux (Brunk, Koch et Lion, 1997; Brunk, Koch et Lion, 1998) apportent une étude complète de ce coefficient de diffusion d’une paire de colloïdes dans laquelle les contraintes de tension et de rotation, ainsi que les forces d’interactions de Van der Waals sont considérées distinctement. Lorsque les effets hydrodynamiques sont négligés, la forme générale de ce co-efficient de diffusion de paire est :
Dlm(r) = Γkr 60 h 4ΓkτS rlrm r2 + (3ΓkτS+ 5ΓkτR)δlm−rlrm r2 i , (6.11)
oùletmdésignent les directions de l’espace. Dans cette expression (Eq. 6.11), les temps de
corrélations des taux de tension et de rotation sont distingués respectivement parτS et τR et
δlm désigne le tenseur identité.
À partir de cette expression générale, une équation simplifiée pour l’évolution de la distance de séparation moyenne dans une turbulence homogène isotrope (THI) est (Russel, Saville et Schowalter, 1989) : 1 2 d < r2> dt = (τSΓk)Γk 15 < r 2 >, (6.12)
il faut noter queτSΓkreprésente la contrainte totale, une constante qui caractérise l’écoulement
fluide. Comme le montre l’équation 6.12 le coefficient de diffusion relative, pour une paire de
particulesietj séparées par une distancer, se simplifie dans une THI en :
Dij(r) =(τSΓk)Γk 15 < r
2>, (6.13)
qui montre la dépendance cruciale de ce coefficient de diffusion relatif au carré de la distance qui sépare les centres des deux particules :
Dij ∝< r2> . (6.14)
Cette expression 6.14 indique une propriété assez intuitive physiquement : la diffusivité d’une paire de particules dépend directement de la distance qui sépare les centres des deux solides. Autrement dit, plus les particules s’éloignent, plus la diffusivité de la paire est grande.
Ces développements montrent qu’il est possible de définir la diffusivité d’une paire de par-ticules même lorsque chacun des partenaires ne suit pas individuellement une trajectoire pu-rement diffusive. Le processus diffusif de la paire représente alors la distance qui sépare les
6.3 Notion de diffusivité relative
centres des particules. Nous montrons également que dans le cas d’une turbulence homogène isotrope, la littérature apporte queDij ∝< r2>. Nous devons maintenant adapter ces dévelop-pements théoriques à notre méthode de traitement des collisions dans le cas d’un écoulement turbulent et brownien.
6.3.2 Diffusivité d’une paire de particules dans un écoulement turbulent
Dans le cas du mouvement brownien, par nature diffusif, la question de la construction du coefficient de diffusion relative ne s’est pas posée. En effet, chaque mouvement d’une particule isolée étant un processus de diffusion, le mouvement relatif de deux particules reste un pro-cessus de diffusion. Dans le cas de particules colloïdales dans un écoulement fluide turbulent, nous avons montré que, sous l’échelle de taille de Kolmogorov, chacune des trajectoires des colloïdes n’est pas nécessairement diffusive. Cependant, nous avons montré que les variations de l’écoulement induisent une diffusivité relative pour une paire de particules. Nous nous de-mandons maintenant comment utiliser ce coefficient dans la nouvelle méthode de traitement des collisions.
L’extension de la méthode de détection stochastique des collisions pour inclure ces phéno-mènes turbulents peut se construire en deux grandes étapes :
– la première étape consiste à supposer que la distance relative d’une paire de particules suit un processus de diffusion :
dXp,ij =Bpos,ij(Xp,ij)dWt, (6.15)
alors simplement, le coefficient de diffusion est directement relié à la diffusivitéDij qui a
été introduite précédemment parDij = 3B2
pos,ij (en trois dimensions).
– la seconde étape consiste à faire l’hypothèse que seule la valeur du coefficient de
diffu-sion qui correspond au seuil de détection des collidiffu-sions (r=ri+rj) est importante dans
la nouvelle méthode. Lorsque les particules sont monodispersées cela revient à choisir
r = dp dans l’expression générale de Bpos,ij(Xp,ij). En effet, la méthode de détection
qui a été présentée dans la Section 5.3 a été développée dans le cas de coefficients qui ne dépendaient pas explicitement de la distance et nous faisons ici la conjecture que
seule la valeur de ce coefficient évaluée à r = dp intervient véritablement. Une étude
mathématique approfondie sur ce point devra être menée afin de montrer que la prise
en compte de cette distance dp comme distance de référence dans toute la nouvelle
méthode de traitement stochastique est consistante. En d’autres termes, nous devons prouver par des développements stochastiques que dans notre algorithme de collision, la valeur des coefficients de diffusion des paires de particules peut être prise à la distance
seuil de la collision ri+rj, égale à dp dans le cas monodispersé. Cette démonstration
complexe reste ouverte et aucune étude bibliographique connue n’apporte de réponse jusqu’à ce jour, c’est pourquoi nous en resterons au stade de la conjoncture pour ce qui nous concerne dans ce travail.
Il s’agit ensuite de renseigner la valeur du terme que l’on dénomme "contrainte totale",
notéτSΓk, dans le coefficient de diffusion de paire de la littérature (Brunket al., 1997). Cette
contrainte totale est définie comme une constante. Nous fixons cette contrainte totale à la va-leur :
τSΓk=
r
270
Cette valeur numérique de la contrainte totale (Eq. 6.16) correspond bien aux estimations
don-nées dans les travaux de Brunket al.(1998) qui indiquent que le noyau de Saffman et Turner
(1956) est obtenu pour une contrainte totale de l’ordre deτSΓk '10.
Alors sous les hypothèses que nous venons de discuter, nous obtenons le coefficient de diffusion pour une paire suivant la relation :
Bpos2 ,ij= 1 3Dij(dp) = r 2 15πΓkd 2 p. (6.17)
Il est théoriquement valable pour modéliser la diffusion qui existe sur la distance relative entre deux particules colloïdales dans un écoulement turbulent, dans le cadre de la méthode de trai-tement stochastique des collisions que nous avons présentée (Chapitre 5).
À partir de cette valeur (Eq. 6.16) et en utilisant le noyau de collision théorique d’un ensemble de particules monodispersées donné par (Friedlander, 2000) :
Kth= 2πBpos,ij2 dp, (6.18) il est facile de retrouver le noyau de collision obtenu dans une turbulence homogène isotrope issu de la littérature (Saffman et Turner, 1956) pour un ensemble de particules monodispersées :
Kthturbulent= s 8π 15νfd 3 p, (6.19)
en utilisant comme gradient de vitesse de la turbulenceΓk =qν
f.
Nous venons de montrer que dans une turbulence homogène isotrope, il est possible de dé-finir une diffusivité de paire qui gouverne l’évolution de la distance relative entre deux particules. La valeur du coefficient de diffusion d’une paire de particules est donnée en s’appuyant sur la littérature existante pour une première analyse fonctionnelle. En précisant les termes issus de la littérature, comme la valeur constante de la contrainte totale, ainsi qu’en émettant l’hypothèse, non prouvée à ce jour, que la détection des collisions par la méthode stochastique nécessite de connaître ce coefficient de diffusion uniquement à la distance égale au seuil de rencontre des particules, nous pouvons donner une valeur utilisable dans les simulations pour la diffusion d’une paire de particules colloïdales. Même si cette valeur ne peut pas directement être utili-sée pour simuler la trajectoire diffusive d’un colloïde dans un écoulement fluide turbulent, elle peut être utilisée directement dans la méthode de traitement stochastique des collisions que nous avons exposée. Avec les résultats de cette section, cette approche permet de retrouver de manière exacte les résultats de Saffman et Turner (1956).