num´erique th´eorique
CHAPITRE 4. EXTENSIONS POSSIBLES À D’AUTRES CAS D’ÉTUDES (Figure 4.9) et qui sont à une distance r i= v tidu récepteur :
4.3.2 Validation numérique
Dans ce paragraphe nous utilisons la méthode des éléments finis (logiciel Elmer) pour simuler la propagation de l’onde de flexion dans une plaque mince. Ici encore, nous modélisons des plaques d’aluminium de forme rectangulaire et d’épaisseur e = 3 mm. Deux états sont modélisés. Premièrement, nous considérons un état de référence (sans défaut) défini comme le cas où les propriétés des matériaux (le module de Young E, le coefficient de Poisson ν, la masse volumique ρ et de l’épaisseur e de la plaque) sont uniformes. Deuxièmement, un état de mesure avec un défaut simulé par une modification locale des propriétés du matériau. Dans l’exemple présenté le défaut est modélisé comme un trou circulaire non débouchant dans le matériau de rayon 2 cm et d’une profondeur de 1 mm. Dans ces deux cas, la taille des éléments du maillage est la même, le signal d’excitation est un cycle de sinusoïde d’une fréquence f = 20 kHz et les signaux récupérés par les récepteurs sont filtrés par cinq cycles de sinusoïdes pondérés par une fenêtre de Hanning à une fréquence centrale f0 = 10 kHz avant d’être traités.
Extraction des paramètres pour tracer la courbe théorique
Afin de pouvoir tracer la courbe théorique de l’équation (4.36) et la comparer avec le cas numérique il est nécessaire de caractériser la directivité du défaut. Pour cela, nous modélisons une première configuration avec une distribution circulaire du récepteurs (Figure 4.11). Les
S Rm d10 d20 r S Rm Défaut d1 d2 0 0 r0 . (a) (b)
Figure 4.11 – Dispositif pour calculer la directivité d’un défaut. (a) Les signaux émis par S sont enregistrés par les récepteurs Rm dans le cas d’une plaque saine. (b) Les signaux émis par S sont enregistrés par les récepteurs Rm dans le cas d’une plaque avec défaut.
dimensions de la plaque sont choisies suffisamment grandes et la source suffisamment proche du défaut pour éviter les chevauchements des premiers paquets d’ondes avec les paquets réfléchis. Dans un premier temps, les signaux ont été prélevés au niveau de chaque récepteur pour une plaque saine (Figure 4.11-a). Dans un deuxième temps, un défaut à été modélisé au centre du cercle qui contient ces récepteurs et les signaux sont également enregistrés (Figure 4.11-b). Nous calculons alors ∆hm par différence entre les signaux avec et sans défaut, pour chacun de ces récepteurs Rm de coordonnées polaires (r0, θm) (voir la figure 4.11).
Nous définissons la fonction de directivité du défaut α(θ) comme l’amplitude A∆hm du premier paquet d’onde des signaux différentiels ∆hm(t), normalisée par l’amplitude Ah0 du paquet incident h0(t) (pour θm = 0). Cette fonction de directivité est représentée pour le défaut simulé dans la figure 4.12. Nous avons pour ce défaut α0 = α(0) = 0, 42, qui correspond à la valeur maximale de la directivité.
D’après les équations (4.20) et (4.21), nous avons :
A∆hm = αd K √t 10t20 , (4.37) et Ah0 = √ K t10 + t20 . (4.38)
Nous en déduisons la réponse du défaut αd :
αd= α0 v u u t d10d20 vg0(d10 + d20), (4.39) avec d10 et d20 les distances source-défaut et défaut-récepteur, respectivement (voir figure 4.11).
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
θ (rad)
α
(θ
)
−3 dB
θ
dCHAPITRE 4. EXTENSIONS POSSIBLES À D’AUTRES CAS D’ÉTUDES
L’angle d’ouverture θd du défaut, évoqué plus haut, peut être défini à partir d’un critère à −3 dB sur la fonction de directivité. Nous obtenons ici θd = 0, 95 rad (voir la figure 4.12), qui nous permettra d’obtenir la valeur de grâce à l’équation (4.29).
Maintenant que les paramètres αd et intervenant dans l’équation (4.36) sont estimés pour ce défaut, nous simulons un cas réverbérant avec ce même défaut. Ceci a pour but de valider la relation (4.36).
Validation numérique
Ici nous modélisons une plaque à géométrie rectangulaire et de dimensions 1 m × 0, 6 m et d’épaisseur e = 3 mm (Figure 4.13). Le signal émis par le point S est 1 cycle de sinusoïde de fréquence 20 kHz. Le défaut présenté dans la figure 4.13-(b) est le même que celui pour lequel nous venons d’estimer les paramètres et αd.
S 1 m 0,6 m 1 cycle de sinusoïde récepteur S 1 m 0,6 m 1 cycle de sinuso défaut récepteur . (a) (b)
Figure 4.13 – Modélisation des plaques sans défaut (a) et avec défaut (b). Source d’excita-tion 1 cycle de sinusoïde, émise par un point S. Les étoiles rouges présentent les récepteurs aléatoirement repartis à la surface de la plaque. Le défaut est un trou de profondeur 1 mm et de rayon 2 cm.
Les signaux réverbérés sont récupérés sur 20 positions de réception, dans le cas d’état référence (Figure 4.13-a) et le cas avec défaut (Figure 4.13-b). Ils sont ensuite convolués par cinq cycles de sinusoïde pondérés par une fenêtre de Hanning à une fréquence centrale
f0 = 10 kHz avant d’être traités. Puis, la différence ∆hm(t) entre les signaux avec et sans défaut est calculée pour chacun des récepteurs Rm. La moyenne des enveloppes au carré des ∆hR
m(t) est tracée sur la figure 4.14. L’espérance mathématique donnée par l’équation (4.36) est également tracée pour comparaison.
La courbe théorique en pointillées rouges et la courbe simulée en bleu (ligne complète) de la figure 4.14 sont en bon accord. Ces premiers résultats numériques sont prometteurs. Ils laissent en effet espérer l’extraction de paramètres caractérisant le défaut par simple ajustement de la courbe sur les signaux réverbérés différentiels.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps (s) am p li tu d e n or m al is ´ee num´erique £|∆ ¯HR(t)|2¤ th´eorique E£|∆HR (t)|2¤
Figure 4.14 – Espérance mathématique des enveloppes au carré des différences des signaux réverbérés. La courbe numérique en bleu est simulée à partir de la moyenne de 20 réalisations.
4.4 Conclusion
Dans la première partie de ce chapitre, nous avons abordé l’étude statistique des ondes acoustiques se propageant dans des structures unidimensionnelles (1D). Comme pour le cas 2D, nous avons obtenu des relations théoriques entre les paramètres du milieu (longueur, vitesse de propagation des ondes) et les caractéristiques moyennes de réverbération. Les résultats de comparaisons théoriques et numériques sont satisfaisants et nous avons montré la faisabilité de l’estimation de la longueur sans mesure géométrique.
Dans la deuxième partie, nous avons démontré que les caractéristiques de réverbération des ondes élastiques qui se propagent dans une structure 2D peuvent être utiles pour la carac-térisation (éventuellement la localisation) d’un défaut. L’expression théorique de l’enveloppe moyenne des signaux différentiels (différence avec et sans défaut) est développée et justifiée à partir d’une approche numérique. Les résultats obtenus sont prometteurs.
Dans le chapitre suivant, dans une première partie, des études seront menées sur l’auto-corrélation des signaux réverbérés reçus par des récepteurs aléatoirement repartis à la surface d’une plaque, dans le but de caractériser la structure dans le cas où le signal d’excitation est un bruit continu. Dans la deuxième partie, des expressions théoriques sont développées pour élargir la zone de distribution des récepteurs sur une plaque, dans le but de pouvoir remonter au terme Ds (vu dans les chapitres 2 et 3) lié à l’énergie injectée par la source dans le milieu acoustique.