V - CADRES THÉORIQUES DIDACTIQUESCADRES THÉORIQUES DIDACTIQUES
Dans ce chapitre, nous présentons les principales caractéristiques des outils didactiques que nous utilisons, tout en précisant l’intérêt de chacun dans cette étude.
V.1 -
V.1 - NNOTIONOTIONDEDEREGISTREREGISTRE
Duval appelle registre de représentation sémiotique « tout système de représentation qui a ses propres contraintes de signifiance et de fonctionnement » (Duval, 1991). En mathématique, on manipule ainsi plusieurs types de registres : numérique, graphique, algébrique, géométriques, fonctionnel etc. D’après Duval, un registre permet d’accomplir trois activités cognitives inhérentes à toute représentation sémiotique :
• « De constituer une trace ou un assemblage de traces perceptibles qui soient identifiables comme une représentation de quelque chose dans un système déterminé ». Par exemple dans le registre algébrique, x2
+2 x est conforme, mais pas 2 (4x-1 .
• « De transformer les représentations par les seules règles propres au système de façon à obtenir d’autres représentations pouvant constituer un apport de connaissance par rapport aux représentations initiales » ; c'est ce que Duval appelle le traitement. Par exemple dans le registre algébrique, la règle
(a +b)2=a2+2 ab+b2permet d’écrire ce développement :(x+1)2=x2+2 x+1 . • « De convertir les représentations produites dans un système en
représentations d’un autre système, de telle façon que ces dernières permettent d’expliciter d’autres significations relatives à ce qui est représenté » ; Duval appelle cala conversion. Exemple, on a l’identité remarquable
(a +b)2
=a2
+2 ab+b2 dans le registre algébrique, correspond au dessin suivant dans le registre figures géométrique.
Figure 1. Illustration géométrique de (a +b)2
=a2
Selon Duval, le point fondamental dans une activité mathématique est la capacité à passer d’un registre (sémiotique) à un autre registre. Cette coordination des registres est une condition nécessaire de la compréhension (Duval, 1991).
Dans notre recherche, nous utilisons le terme « registre » selon Duval en ce qui concerne les registres numériques, algébrique, géométrique et graphique.
Mais, on a besoin d’identifier aussi la nature des objets sur lesquels portent ces registres. Par extension, on parlera de « registre discret » ou « registre continue » selon les méthodes choisies pour la résolution du problème.
Notre recherche est centrée sur l’étude de situations d’enseignement qui permettent le passage entre les registres arithmétique et géométrique, parallèlement aux registres continu et discret.
V.2 -
V.2 - SSITUATIONITUATIONDIDACTIQUEDIDACTIQUE – S – SITUATIONITUATIONADIDACTIQUEADIDACTIQUE
La théorie des situations didactiques (TSD) de G. Brousseau (1986) propose des modèles (situation didactique/situation adidactique) pour construire et analyser des situations d’enseignement.
Certaines situations didactiques, comportent en elles-mêmes des situations partiellement libérées d’interventions directes de l’enseignant. Elles sont nommées situations adidactiques par Brousseau. En pratique, l’intention d’enseigner est bien présente dans une situation adidactique. Mais, elle n’est pas explicitée par l’enseignant. Pour Brouseau, « la
situation adidactique est une sorte d’idéal vers lequel il s’agit de converger : l’enseignant doit sans cesse aider l’élève à dépouiller dès que possible la situation de tous les artifices didactiques et lui laisser la connaissance personnelle et objective » (Brousseau, 1986).
La TSD différencie aussi les situations suivant l’activité de l’élève (action, formulation, validation, institutionnalisation).
Nous utiliserons aussi le concept de variable didactique. C’est un élément de la situation sur laquelle l’enseignant peut agir. Elle provoque des changement qualitatif dans les procédures de résolution de l’élèves. Elle provoque aussi une modification dans l’apprentissage.
On va utiliser ce cadre théorique pour construire des situations, pour la classe, susceptibles de mettre en jeu l’ensemble des types d’activités des élèves décrites dans la TSD. Autrement dit, une situation qui produit les changements d’activités (action, formulation ou validation) au fur et à mesure de la résolution.
V.3 -
V.3 - SSITUATIONITUATIONDEDERECHERCHERECHERCHEPOURPOURLALACLASSECLASSE (S (SIIRC)RC)
Nous reprenons ici la caractérisation d'une SiRC développée dans Grenier et Payan (2003) :
─ Une « situation recherche » s’inscrit dans une problématique de recherche professionnelle. Elle doit être proche de questions non résolues. Il y a l’hypothèse que cette proximité à des questions non résolues — non seulement pour les élèves, pour l’ensemble de la classe, mais aussi pour l’enseignant, les chercheurs — va être
─ La question initiale est facile d’accès : la question est « facile » à comprendre. Pour cela, le problème doit se situer hors des mathématiques formalisées et c’est la situation elle-même qui doit «amener » l’élève à l’intérieur des mathématiques.
─ Des stratégies initiales existent, sans que soient indispensables des prérequis spécifiques. De référence, les connaissances scolaires nécessaires pour initier la résolution sont élémentaires.
─ Plusieurs stratégies d’avancer dans la recherche et plusieurs développements sont possibles, aussi bien du point de vue de l’activité (construction, preuve, calcul) que du point de vue des notions mathématiques en jeu.
─ Une question résolue renvoie très souvent une nouvelle question. La situation n’a pas de « fin ». Il n’y a que des critères de fin locaux. L'objectif premier est donc la résolution (au moins partielle) d'une question dont on ne connaît pas la réponse, et non l'apprentissage ou le travail d'une notion mathématique désignée. Une “bonne” SiRC va conduire l'élève à pratiquer les savoir-faire transversaux décrits ci-dessus. Les pistes de résolution peuvent diverger et donc mettre en jeu des concepts mathématiques différents.
Trois aspects fondamentaux sont présents dans nos SiRC, qui sont peu présents, voire absents, dans la classe usuelle.
─ L’ « enjeu de vérité ». En classe, usuellement, ce qui est à prouver est la plupart du temps annoncé comme vrai (« démontrer que »), il n’y a pas d’enjeu de vérité. Ou bien, lorsque la question est ouverte, la réponse est évidente (« que constatez-vous ? », en regardant une figure, par exemple).
─ L’aspect « social » de l’activité. Dans une SiRC, il peut y avoir un vrai enjeu social de production mathématique, même s’il est local (groupe + professeur et/ou chercheur).
─ L’aspect « recherche ». Dans les manuels et les pratiques enseignantes, il est explicitement déclaré que, pour résoudre un problème et aussi pour prouver, « on ne doit utiliser que les propriétés du cours ou celles d'une liste donnée ». Cette consigne est contradictoire avec l’activité du chercheur et avec la démarche scientifique.
L’une des raisons importantes qui nous fait choisir ce modèle est qu’il est adapté à l’étude et l’analyse de situations suffisamment ouverte pour permettre des interactions entre registres mathématiques différents. De plus, ce type de situations favorise la mise en œuvre de savoirs transversaux relatifs au raisonnement et à la preuve. Notamment ceux identifiés en arithmétiques dans les travaux didactiques antérieurs (Battie,2003 ; Garde, 2010 ; Godot, 2006).