Divisibilité dans Z

3) PPCM et PGCD de deux entiers relatifs 4) Nombres premiers

Toutes les notions du programme sont abordées dans le manuel. Du point de vue des choix de définitions des notions (par exemple PGCD, PPCM,...), l’aspect existence et unicité sont prises en compte. Les propriétés sont en général justifiées. Les théorèmes de Bézout et Gauss sont donnés avec preuves. Par contre, les preuves sont peu commentées, avec parfois beaucoup d’implicite. Ce choix didactique de CIAM peut rendre son contenu mathématique moins accessible aux élèves. Nous précisons que ce manuel est à la fois pour l’enseignant et l’élève.

Concernant le principe par récurrence, la présentation pose question pour sa compréhension effective. Le manuel propose une formulation algorithmique pour son application :

Figure 3. Principe de récurrence du manuel CIAM Terminal SM (éd. 1999)

Le « si » de la proposition conditionnelle globale n’est pas écrit, le « Alors » non plus. Le quantificateur « il existe » pour le rang n₀(initialisation) est implicite. Ce quantificateur est pourtant indispensable pour la compréhension du principe (Grenier, D., 2012). Aussi, doit-on comprendre que le n₀est toujours une donnée pour pouvoir appliquer la récurrence ? Les exercices portant sur la récurrence débutent tous par « démontrer que ... ». Cela induit que le principe de récurrence s’appliquerait uniquement à des propriétés déjà vraies.

Les autres exercices sont essentiellement de types de tâches « calculatoires » sur les notions du cours : pratique de la divisions euclidienne, calcul du PGCD et du PPCM, changement de base de numération, résolution d’équation dans Z2 , application du test de primalité etc.

Parmi les 86 exercices du chapitre « Arithmétique », celui de la Figure 4 est le seul qui fait un lien avec la géométrie. Il porte sur une interprétation géométrique de solutions d’une équation dans N×N .

Figure 4. Exercice du manuel CIAM (p.30)

L’exercice est placé dans la partie « Approfondissement ». Pour les auteurs, il est donc supposé moins accessible aux élèves de ce niveau d’enseignement. Pour autant, les savoirs notionnels mobilisables pour sa résolution sont bien abordés.

Nous faisons l’hypothèse que ce type de problème est probablement absent dans les pratiques de classes.

III.2 -

III.2 - PPROGRAMMEROGRAMMEETET M MANUELSANUELS FRANÇAISFRANÇAIS

Nous nous sommes intéressés en particulier au niveau Lycée. L’arithmétique est enseignée en Terminale S (spécialité mathématiques). Notre étude porte sur les programmes en vigueur (B.O, 2011).

Les contenus d’enseignement sur l’arithmétique se présentent dans cet ordre : ─ Divisibilité dans Z ;

─ Division euclidienne ;

─ Congruence dans Z ; PGCD de deux entiers ; ─ Entiers premiers entre eux ;

─ Théorème de Bézout ; ─ Théorème de Gauss ;

─ Nombres premiers ; Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.

Dans les commentaires du programme, il est assigné à l’arithmétique, une fonction d’apprentissage de l’algorithme et des raisonnements mathématiques.

Nous avons regardé les manuels de Terminales S (spécialité mathématique) Indice (2012), Symbole (2012), Transmath (2012). Nous précisons que le choix des manuels n’est pas lié à de critères spécifiques.

Du point de vue de l’organisation didactique, Indice et Transmath sont structurés en séquences, les contenus prennent appui sur des résolutions de problèmes (voir Tableau 4 ci-après). Dans la même idée, Symbole introduit ses chapitres par des exercices de vérification des connaissances antérieures et des activités de découverte des notions. Ces choix didactiques ont particulièrement attiré notre attention, le manuel CIAM ne propose pas d’activités introductives ou de découvertes de notions.

Indice Symbole Transmath

- Avant de commencer, se tester avec…

- Problèmes - Cours

- Exercices pour démarrer - Exercices pour s’entraîner - Travaux pratiques

- Cap vers le BAC

- Exercices pour aller plus loin

- Vérifier ses acquis

- Activité d’introduction - Le cours et les capacités attendues - Travaux pratiques - Exercices - Préparer le BAC - Accompagnement personnalisé - Résolution de problèmes - Synthèse des notions - Exercices d’application - Activités de recherche - Exercices

d’entraînement - Le jour du BAC - Pour aller plus loin

Tableau 4. Organisations didactiques des manuels indice (2012),

Du point de vue de l’organisation mathématique des notions, les choix sont aussi différents (voir Tableau 5). Les manuels Symbole et Transmath proposent des progressions qui correspondent à celle du programme. Tous les contenus d’enseignement du programme sont abordés dans les trois manuels. Indice et Transmath rajoute même la notion de PPCM qui n’apparaît pas dans le programme.

Indice Symbole Transmath

- Divisibilité et division euclidienne - Nombres premiers - Congruence et critères de divisibilité - PGCD de deux entiers - Entiers premiers entre eux - PPCM et Petit théorème de Fermat - Divisibilité dans Z - Division euclidienne - Congruence - PGCD de deux entiers - Entiers premiers entre eux - Théorème de Bézout - Théorème de Gauss - Nombres premiers - Décomposition en produit de facteurs premiers - Divisibilité et division euclidienne - Congruence - PGCD de deux entiers naturels - Théorème de Bézout - Théorème de Gauss - Nombres premiers - Décomposition en produit de facteurs premiers

Tableau 5. Organisations mathématiques des manuels indice (2012), Symbole (2012),

Transmath (2012)

Par rapport aux types de problèmes traités ou proposés, on trouve : ─ de types technique opératoire sur les propriétés des nombres ;

─ des exercices d’application de la récurrence, les algorithmes et des problèmes pratiques sur les utilisations des notions dans la vie courante ;

─ Quelques exemples de problèmes mettant l’arithmétique en lien avec la géométrie et l’analyse.

Les exercices résolus, les TP (travaux pratiques) et les exercices proposés, montrent particulièrement que les manuels mettent en avant l’aspect algorithmique de l’arithmétique et l’usage des Technologies de l’information et de la Communication dans l’enseignement (TICE). Ce choix des manuels trouve une justification dans les commentaires du programme qui indique : «les thèmes abordés sont particulièrement propices à

l’utilisation des outils informatiques (logiciels de calcul, tableur) et à la mise en œuvre d’algorithmes » (B.O, 2011).

A noter que ces manuels présentent une autre spécificité par rapport au manuel CIAM.

Indice et Transmath utilisent notamment des pictogrammes pour désigner les contenus de

pages ainsi que les problèmes qui les utilisent un mode de raisonnement mathématique. Quand à Symbole, il propose à la suite du cours, des problèmes portant sur des preuves de quelques propriétés du Cours.

III.3 -

III.3 - CCONCLUSIONONCLUSION

L’analyse de programmes et des manuels s’est portée particulièrement sur le niveau lycée. Nous nous sommes appuyés sur l’organisation mathématique des notions et les types de

tâches, afin d’identifier ce qui est abordé sur l’arithmétique et la géométrie discrète.

L’étude montre que l’arithmétique occupe peu de place dans les enseignements dans les deux pays, qu’il n’y a aucune référence à la géométrie discrète. Le théorème de Pick n’apparaît pas. Les types de tâches proposés en arithmétique, sont essentiellement des « techniques calculatoires » sur les propriétés des nombres : calculer, utiliser, appliquer, résoudre, programmer... En ce qui concerne le théorème de Bézout, il est énoncé, dans le « Cours », avec une preuve et son utilisation est restreinte à une application calculatoire dans les résolutions d’équations entières.

La récurrence est mentionnée. Elle est le mode de raisonnement mis en avant, mais, encore une fois, sa mise en œuvre reste une application d’une technique opératoire de type algorithmique. Ce constat est à mettre en contraste avec les résultats en didactique sur l’arithmétique où il est montré que c’est un domaine pertinent pour l’enseignement du raisonnement et de la preuve (voir Battie, 2003 ; Gardes, 2010 ; Godot, 2006). De plus, il existe des ingénieries le permettant (voir Gardes, 2010 ; Godot, 2006).