Utilisation des signes dans l’étude de la variance

Comme dans la partie 5.4.1 relative à la moyenne des vitesses des amas de galaxies, nous utiliserons les amas issus du catalogue MaxBCG. Comme pour les amas MCXC, si nous calculons la variance directe, on obtient des résultats avec des barres d’erreurs très importantes par rapport à la valeur attendue, c’est-à-dire −4 286 000 km².s⁻² avec

5.4. Analyse statistique ¹⁰⁹

Figure 5.12 – Histogramme de la variance des vitesses radiales particulières estimées sur l’ensemble des amas de galaxies MCXC non-masqués pour les 101 positions considé-rées dans chaque carte contenant des amas. La ligne verticale pointillée rouge correspond à la variance des vitesses particulières des amas MCXC, estimée en moyennant les sor-ties du FAMC au centre des amas, c’est-à-dire à la position réelle des amas (d’après X. I. I. I. Planck Collaboration (2013), sur des résultats FAMC).

une erreur statistique de mesure égale à 1 746 500 km².s⁻². On rappelle que la variance théorique attendue est de l’ordre de 10⁵ km².s⁻². L’erreur équivalente sur la déviation standard est alors de l’ordre de 700 km.s⁻¹ pour une mesure d’environ 300 km.s⁻¹.

Pour aller au-delà de ces calculs directs, nous avons cherché à inclure des données extérieures à Planck pour la mesure de la variance. À cet effet, nous nous servons d’une carte SZC construite par Jens Jasche à partir des données SDSS. Cette carte est basée sur un champ de densité en trois dimensions, reconstruit à partir du sondage principal de SDSS utilisant la technique totalement non-linéaire, non-gaussienne et bayésienne HADES (Hamilton Density Estimation et Sampling). Cette méthode permet de déduire un champ de densité précis dans le régime non-linéaire en prenant en compte les systématiques ob-servationnelles et les incertitudes statistiques (voir Jasche & Kitaura (2010); Jasche et al. (2010)). Sous l’hypothèse de la théorie linéaire de perturbation, ces cartes permettent d’estimer le champ de vitesse à grande échelle, et l’on peut alors estimer le signal SZC sur le ciel en résolvant l’intégrale correspondante sur la ligne de visée. Pour l’instant, la

Figure 5.13 – Reconstruction de l’effet SZC couvert par l’expérience SDSS. Les cartes sont données en unité ∆T /T . Gauche : La carte crée par Jens Jasche à partir des données SDSS. Droite : Reconstruction de l’effet SZC à grande échelle utilisant les vitesses issues du FAMC obtenues sur les données Planck. Les cartes ne sont pas présentés dans le plan galactique, mais tourner de 90 en direction du nord.

théorie linéaire limite les calculs aux grandes échelles. Cependant, la prochaine génération d’expériences devrait permettre d’accéder aux plus petites échelles. Pour cela, il faudra employer dans les calculs des ordres de perturbation supérieurs et plusieurs modèles phé-noménologiques pour pouvoir accéder à des régimes moyens et à des vitesses non-linéaires. La carte SZC obtenue par cette technique est donnée dans la figure 5.13 à gauche. A titre de comparaison, nous avons reconstruit le champ SZC obtenu par le FAMC à grande échelle sur les données Planck DX7. Pour chaque pixel couvert par SDSS, nous avons calculé le signal SZC moyen pondéré contenu dans un cercle de rayon 5^◦. La valeur moyenne est alors donnée au pixel central de ce cercle. Le résultat est visible dans la figure 5.13 à droite. Si certaines structures positives semblent être présentes sur les deux cartes comme en bas et en haut du champ, à l’opposé, certaines structures n’existent pas conjointement dans les deux, comme au milieu du bord droit, où il y a une structure positive dans le champ Planck non visible dans le champ SDSS. Il est important de noter que le champ Planck est saturé par rapport à l’échelle de couleurs de la carte SDSS, montrant que la carte Planck est clairement dominée par le bruit.

Pour calculer la variance, en utilisant, en plus des données Planck, les données issues du SDSS, nous allons déduire des données SDSS le signe local du signal SZC. L’effet SZC "stacké" n’est pas censé avoir un intéret cosmologique puisque, de fait, la moyenne des vitesses des amas de galaxies est nulle. Cependant, s’il est possible d’identifier le signe de chaque vitesse, on peut maintenant "stacker" les vitesses avec le signe approprié. Cette sommation avec signe permet directement d’estimer la déviation standard intrinsèque des vitesses des amas de galaxies suivant la formule suivante :

σSZC =

r

π

2

Pnclus−1

i=0 sign(Vtrue,i) ¹

σ2 mes,i Vmes,i Pn_clus−1 i=0 _σ2¹ mes,i , (5.10)

où σ_SZC est la déviation standard intrinsèque des vitesses d’amas de galaxies, V_mes correspond à la vitesse individuelle mesurée ici par le FAMC ; σ_mes est l’erreur associée à cette vitesse ; sign(V_true) correspond aux signes des vitesses obtenus soit par la carte SZC venant du SDSS, soit du catalogue en entrée dans le cas du PSM. Nous avons testé cette

5.4. Analyse statistique ¹¹¹

Type de calcul PSM+signe catalogue entrée DX7+signe SDSS DX7+signe SDSS 2σ

Nombre d’amas 13 322 12 087 1 240

σ_SZCkm.s⁻¹ 181.6 ± 69.9 2.75 ± 65.4 248.3 ± 167.6

Table 5.10 – Ce tableau donne la déviation standard calculée sur les cartes brutes Planck et sur le PSM en utilisant les signes issus des cartes SZC de SDSS ou du catalogue en entrée de la simulation.

formule à la fois sur les données Planck/SDSS réelles, mais également sur une simulation PSM. Cette simulation contient tous les éléments des données Planck, à l’exception des sources ponctuelles. Les effets SZT et SZC sont simulés en incluant les amas MaxBCG. Les vitesses des amas suivent la distribution théorique présentée dans la partie 2.3.1, avec une moyenne nulle et une déviation standard égale à ∼ 270 km.s⁻¹.

Comme nous pouvons le voir dans le tableau 5.10, d’après les données de la simulation, si la totalité des signes est correcte, alors Planck devrait être capable de mesurer la variance des amas de galaxies à plus de ∼ 4σ. En effet, la déviation mesurée est alors de 181.6 ± 69.9 km.s⁻¹, valeur compatible avec la déviation standard en entrée de ∼ 270 km.s⁻¹. En reproduisant la mesure sur plusieurs réalisations, on remarque que les valeurs mesurées sont un peu plus faibles que celles attendues ; ceci est dû au biais de projection que nous avons présenté plus haut. En utilisant un Monte-Carlo, nous avons testé l’impact sur la mesure de la déviation standard des erreurs sur le signe ; si p % des signes sont faux, alors le signal est, lui aussi, diminué de p %.

Nous avons également appliqué la formule 5.10 sur les données issues des cartes DX7 pour les vitesses et les signes issus de la carte SZC de SDSS. Pour trouver le signe des vitesses à partir des cartes SDSS, nous avons pris celui de la carte SDSS à la position de chacun des amas. Par ailleurs, comme la carte SDSS ne couvre pas la totalité des positions du catalogue MaxBCG, le nombre d’amas que nous pouvons utiliser est réduit à 12087 amas. Dans ce cas, nous obtenons σ_SZC = 2.75 ± 65.4 km.s⁻¹. Nous pouvons tout d’abord remarquer que l’erreur sur la déviation standard, obtenue avec les données, est du même ordre de grandeur que celle obtenue par la simulation. Par ailleurs, le résultat important est que, d’après cette mesure, la déviation standard mesurée est compatible avec zéro. Deux conclusions sont alors possibles :

– soit la déviation standard est réellement plus petite que 134 km.s⁻¹ (95 % CL) , en contradiction avec les prédictions ΛCDM de ∼ 270 km.s⁻¹.

– soit les signes issus de la carte SDSS ne correspondent pas aux signes réels de la vitesse des amas de galaxies.

A priori, la seconde explication est la plus probable au vu des fortes non-linéarités à petites échelles, qui ne sont pas, à l’heure actuelle, prises en compte dans les cartes à grande échelle. Cette perte de signal semblerait indiquer que plus de 50 % des signes issus de la carte seraient faux. Par ailleurs, nous avons réappliqué la même formule, mais cette fois en restreignant la carte KSZ/SDSS aux endroits où le signal sur bruit est supérieur à 2. Dans ce cas, on obtient σ_SZC = 248.3 ± 167.6 km.s⁻¹, valeur compatible avec la valeur prédite, ce qui correspond à une déviation standard inférieure à 584 km.s⁻¹ (95 % CL). La barre d’erreurs est ici augmentée du fait de la perte de statistique au niveau des amas, venant du fait que l’on se restreint aux zones avec un signal sur bruit supérieur à 2 (seulement 1240 amas). La figure 5.14 présente la déviation standard obtenue pour ces différents cas. Si, pour l’instant, les résultats ne sont pas concluants à cause des problèmes sur les signes, ces résultats sont de bonne augure quant à la possibilité future de mesure à ∼ 4σ.

Figure 5.14 – σSZC en fonction de la masse obtenue en combinant les informations sur les signes et les amplitudes des vitesses. Les divers points ont été légèrement décalés sur l’axe x pour plus de clarté. Les erreurs sont les erreurs statistiques à 1σ. La droite solide correspond à la prédiction ΛCDM .