Union ` a constructeurs partag´ es

I.4 Modularit´ e des quasi-interpr´ etations

I.4.2 Union ` a constructeurs partag´ es

a diviser un programme en sous-programmes ayant des ensembles de symboles disjoints,

puis à itérer cette division autant que faire se peut. Si nous parvenons à diviser un

programme en unions disjointes de k sous-programmes ayantn_j variables pour j de 1

`

a k, alors la complexité de la synthèse de quasi-interprétation décroˆıt de 2⁽^Pk

j=1

n

)

`

a

Pk

j=12ⁿ

^αj

, pour une constante arbitraireα.

I.4.2 Union `a constructeurs partag´es

Deux programmes hVar₁,Cns₁,Fct₁,R₁i et hVar₂,Cns₂,Fct₂,R₂i ont des

construc-teurs partag´es si :

Fct1∩Fct2 =Fct1∩Cns2=Fct2∩Cns1 =∅

En d’autres termes, deux programmes ont des constructeurs partag´es si leurs seuls

sym-boles partagés sont des symboles de constructeur. L’union à constructeurs partagés de

deux programmeshVar1,Cns1,Fct1,R1iethVar2,Cns2,Fct2,R2iposs´edant des

construc-teurs partag´es est d´efinie comme le programme suivant :

hVar1,Cns1,Fct1,R1i^GhVar2,Cns2,Fct2,R2i=hVar1∪Var2,Cns1∪Cns2,Fct1∪Fct2,R1∪R2i

La s´emantique d’un tel programme est bien d´efinie puisque la confluence est modulaire

pour l’union à constructeurs partagés de systèmes de réécriture linéaires gauche [Rao95].

Proposition I.70 (Modularit´e de ≺_rpo). Supposons que p₁ et p₂ soient deux

pro-grammes ordonn´es par ≺_rpo alors p₁F

p₂ est aussi ordonn´e par ≺_rpo, avec le mˆeme

statut.

Nous allons démontrer un résultat négatif concernant la modularité des quasi-interpr´

e-tations dans le cas d’une union `a constructeurs partag´es :

Proposition I.71. La propriété d’avoir une quasi-interprétation additive n’est pas

mo-dulaire relativement à l’union à constructeurs partagés.

Démonstration. Nous démontrons cette proposition à l’aide d’un contre-exemple. À

cet effet, consid´erons deux programmes p₀ et p₁. Les deux ensembles de symboles

de constructeur correspondant Cns₀ et Cns₁ sont choisis comme étant égaux à {a,b},

Fct₀ = {f₀} et Fct₁ = {f₁}. Enfin, les d´efinitions des deux programmes sont les

sui-vantes :

f0(y) =Casey of a(x)→_f₀(f₀(x))

b(x)→a(a(f₀(x)))

f₁(y) =Casey of b(x)→f₁(f₁(x))

a(x)→b(b(f₁(x)))

p₀ etp₁ admettent les quasi-interpr´etations additives _L−_M0 and _L−_M1 d´efinies par :

La_M0(X) =X+ 1 _La_M1(X) =X+ 2

LbM0(X) =X+ 2 _LbM1(X) =X+ 1

Lf_0M0(X) =X _Lf_1M1(X) =X

Nous allons raisonner par l’absurde en d´emontrant quep₀F

p₁ n’admet pas de

quasi-interpr´etation additive. Supposons qu’il admette la quasi-interpr´etation additive _L−_M.

Puisque _L−_M est additive, on supposera que _La_M(X) =X+k_a et que _Lb_M(X) =X+k_b,

avec k_a, k_b ≥ 1. Afin de simplifier la preuve, supposons que le polynˆome _Lf0M s’´ecrive

sans utiliser l’opération max. Pour la première définition de p₀, la quasi-interprétation

Lf0M doit vérifier l’inégalité suivante :

Lf0M(X+ka)≥_Lf0M(_Lf0M(X))

`

A présent, supposons que_Lf0M(X) s’écrive de la formeαX^d+Q(X), avecQun polynôme

de degré strictement inférieur àdet avec une constanteα6= 0. On constate que_Lf0M(X+

k_a) se réécrit en un polynôme de la forme αX^d+R(X), avec R un polynôme de degré

strictement inférieur àd, et que_Lf0M(_Lf0M(X)) est égal à un polynôme de la formeα2Xd

+

S(X), oùS est un polynôme de degré strictement inférieur àd². Pour des valeurs de X

choisies suffisamment grandes, l’in´egalit´e ci-dessus implique qued≥d², ce qui implique

que la constante d est ´egale `a 1. Maintenant, nous comparons les coefficients de plus

haut degr´e de ces polynˆomes et on obtient,α≥α². Ainsi, la constanteα est, elle aussi,

´

egale à 1 et, nous en concluons que_Lf0M(X) =X+k. Par symétrie, le même résultat est

valable pour la quasi-interpr´etation def1 qui s’´ecrit alors_Lf1M(X) =X+k⁰.

Les deux dernières définitions du programme impliquent les inégalités suivantes :

kb+k≥2ka+k

ka+k⁰ ≥2kb+k⁰

Par cons´equent, k_a = k_b = 0, ce qui contredit le fait que k_a, k_b ≥ 1. Pour conclure,

l’union `a constructeurs partag´es des deux programmes n’admet pas de quasi-interpr´

eta-tion.

Exemple 8 (Codage et d´ecodage). Consid´erons le programme p=p₁F

p₂ obtenu par

union à constructeurs partagés des programmes p₁ etp₂ définis ci-dessous :

code1(z) =Case z of 0(x)→1(code1(x))

nil→nil

shuffle1(z, w) =Casez, w of 1(x),1(y)→1(1(shuffle₁(x, y)))

1(x),0(y)→1(shuffle₁(x,code1(0(y))))

nil, y →code₁(y)

code₀(z) =Case z of 1(x)→f(0(0(code₀(x))))

nil→nil

f(z) =Case z of 0(0(x))→0(x)

shuffle0(z, w) =Casez, w of 0(x),0(y)→0(0(shuffle0(x, y)))

0(x),1(y)→0(shuffle0(x,code0(1(y))))

nil, y →code0(y)

Les deux symboles de fonctioncode0 etcode1 calculent des fonctions r´eciproques sur les

mots binaires{0,1}^∗. En effet, on a _Jcode0(code₁)(0ⁿ(nil))_K=0ⁿ(nil) et inversement.

De plus, les programmesp₁ et p₂ admettent les quasi-interpr´etations respectives _L−_M1 et

L−_M₂ d´efinies par :

LnilM1 = 0 _LnilM2 = 0

L0_M1(X) =X+ 1 _L0_M2(X) =X+ 1

L1_M1(X) =X+ 1 _L1_M2(X) =X+ 2

Lcode1M1(X) =X _Lcode0M2(X) =X

Lshuffle₁_M1(X, Y) =X+Y _Lshuffle₀_M2(X, Y) =X+Y

LfM2(X) =X

Raisonnons par l’absurde en supposant quep₁F

p₂ admet une quasi-interpr´etation

addi-tive _L−_M telle que_L1_M(X) =X+k1 et_L0_M(X) =X+k0, aveck1, k0≥1. Les d´efinitions

deshuffle0 et de shuffle1 de la forme :

shufflei(i(x),j(y))→i(shufflei(x,codei(j(y))))avec i,j∈ {0,1},i+j=1

pour une constantedarbitraire. En effet, par d´efinition des quasi-interpr´etations, on a :

Lshufflei(i(x),j(y))_M=_LshuffleiM(X+ki, Y +kj)

≥_Li(shufflei(x,codei(j(y))))_M

=k_i+_LshuffleiM(X,_LcodeiM(Y +k_j))

Il en r´esulte que le programme n’admet pas de quasi-interpr´etation additive et

polyno-miale _LshuffleiM si _LcodeiM(X) est supérieur à X+d, avec une constante d fixée. Les

premières définitions de p₁ et de p₂ fournissent les inégalités suivantes :

Lcode1(0(x))_M=X+d+k0≥X+d+k1=_L1(code1(x))_M Pour p₁

Lcode0(1(x))_M=X+d+k1≥_Lf(0(0(code0(x))))_M Pour p₂

≥X+d+ 2×k0 Sous-terme

La combinaison des deux in´egalit´es implique que k₀ ≥ 2×k₀, ce qui est incompatible

avec la contrainte k0 ≥1. Ainsi,p n’admet aucune quasi-interpr´etation. Finalement, il

nous reste `a remarquer que les deux sous-programmes terminent par ≺_rpoavec un statut

lexicographique.

Cependant, les bornes de complexité demeurent polynomiales même si l’union à

con-structeurs partagés n’admet pas de quasi-interprétation. Nous commen¸cons par établir

que le lemme fondamentalI.23 est encore valide :

Th´eor`eme I.72. Etant donn´^´ es deux programmes p₁ = hVar1,Cns1,Fct1,R1i et p₂ =

hVar2,Cns2,Fct2,R2i admettant des quasi-interpr´etations additives, il existe un

poly-nˆomeP tel que pour toute expressiont dep₁F

p₂ ayant n variablesx₁,· · ·, x_n, et pour

toute substitution σ v´erifiant xiσ=vi, on ait :

|_Jtσ_K| ≤P^|^t^|( max

i=1..n|vi|)

D´emonstration. La preuve est une cons´equence directe du lemme I.23. Observons tout

d’abord qu’il n’y a aucun appel entre deux programmesp₁ etp₂ d’une union `a

construc-teurs partag´esp₁F

p₂. Le lemme fondamental est valide pour chacun des programmesp₁

et p₂ avec des polynˆomes respectifsP1 et P2. D´efinissons P = max(P1, P2). Pour toute

s´equence de valeurs v₁,· · · , v_n ∈ T(Cns₁ ∪Cns₂), l’expression f(v₁,· · · , v_n)→^∗ v, avec

f ∈ Fctj, est évaluée en utilisant uniquement des définitions de hVarj,Cnsj,Fctj,Rji.

On applique donc le lemme fondamental I.23, obtenant l’in´egalit´e suivante :

|v| ≤Pj( max

i=1..n|vi|)≤P( max

Il suffit d´esormais de terminer la preuve par une induction structurelle sur un termet. Le

cast=xest trivial. Pourt=g(t₁,· · · , t_n), on combine l’inégalité précédente avec le fait

que la composition de deux fonctions deMax-Poly reste polynomialement born´ee.

Puisque≺_rpoest modulaire dans le cas d’une union `a constructeurs partag´es, le th´

eo-r`eme I.72implique que :

Corollaire I.73 (_tempset_espacepour l’union `a constructeurs partag´es).

– L’ensemble des fonctions calculées par une union à constructeurs partagés de deux

programmes additifs ordonnés par ≺_rpo où chaque symbole de fonction possède un

statut produit est exactement l’ensemble des fonctions calculables en temps

polyno-mial.

– L’ensemble des fonctions calculées par une union à constructeurs partagés de deux

programmes additifs ordonn´es par≺_rpoest exactement l’ensemble des fonctions

cal-culables en espace polynomial.

Le th´eor`eme I.72 permet d’analyser plus de programmes comme le contre-exemple

fournit dans l’exemple8. En effet, il existe de nombreux algorithmes bas´es sur des

pro-cédures de codage et de décodage qui n’étaient pas capturés par le théorèmeI.36et qui

sont désormais capturés en divisant le programme en deux sous-programmes à

construc-teurs partagés. Tout programme peut être partagé entre une union à constructeurs

par-tagés de lui-même et d’un programme sans symbole de fonction mais avec le même

ensemble de symboles de constructeur. La caract´erisation en espace ´etablie ci-dessus

est donc intensionnellement plus puissante que la caractérisation du théorème I.36. La

stratégie évoquée dans la section précédente pour la synthèse de quasi-interprétation se

trouve elle-même améliorée puisque l’union disjointe de deux programmes n’est

finale-ment qu’un cas particulier d’union à constructeurs partagés. On peut donc synthétiser

les quasi-interprétations de manière plus flexible en divisant un programme donné en

une union à constructeurs partagés de deux sous-programmes, puis itérer cette division

autant que possible.

Dans le document Analyse de la complexité des programmes par interprétation sémantique (Page 57-61)

I.4 Modularit´ e des quasi-interpr´ etations

I.4.2 Union ` a constructeurs partag´ es

a diviser un programme en sous-programmes ayant des ensembles de symboles disjoints,

puis à itérer cette division autant que faire se peut. Si nous parvenons à diviser un

programme en unions disjointes de k sous-programmes ayantnj variables pour j de 1

`

a k, alors la complexité de la synthèse de quasi-interprétation décroˆıt de 2(Pk

n

)

`

a

Pk

j=12n

, pour une constante arbitraireα.

I.4.2 Union `a constructeurs partag´es

Deux programmes hVar1,Cns1,Fct1,R1i et hVar2,Cns2,Fct2,R2i ont des

construc-teurs partag´es si :

Fct1∩Fct2 =Fct1∩Cns2=Fct2∩Cns1 =∅

En d’autres termes, deux programmes ont des constructeurs partag´es si leurs seuls

sym-boles partagés sont des symboles de constructeur. L’union à constructeurs partagés de

deux programmeshVar1,Cns1,Fct1,R1iethVar2,Cns2,Fct2,R2iposs´edant des

construc-teurs partag´es est d´efinie comme le programme suivant :

hVar1,Cns1,Fct1,R1iGhVar2,Cns2,Fct2,R2i=hVar1∪Var2,Cns1∪Cns2,Fct1∪Fct2,R1∪R2i

La s´emantique d’un tel programme est bien d´efinie puisque la confluence est modulaire

pour l’union à constructeurs partagés de systèmes de réécriture linéaires gauche [Rao95].

Proposition I.70 (Modularit´e de ≺rpo). Supposons que p1 et p2 soient deux

pro-grammes ordonn´es par ≺rpo alors p1F

p2 est aussi ordonn´e par ≺rpo, avec le mˆeme

statut.

Nous allons démontrer un résultat négatif concernant la modularité des quasi-interpr´

e-tations dans le cas d’une union `a constructeurs partag´es :

Proposition I.71. La propriété d’avoir une quasi-interprétation additive n’est pas

mo-dulaire relativement à l’union à constructeurs partagés.

Démonstration. Nous démontrons cette proposition à l’aide d’un contre-exemple. À

cet effet, consid´erons deux programmes p0 et p1. Les deux ensembles de symboles

de constructeur correspondant Cns0 et Cns1 sont choisis comme étant égaux à {a,b},

Fct0 = {f0} et Fct1 = {f1}. Enfin, les d´efinitions des deux programmes sont les

sui-vantes :

f0(y) =Casey of a(x)→f0(f0(x))

b(x)→a(a(f0(x)))

f1(y) =Casey of b(x)→f1(f1(x))

a(x)→b(b(f1(x)))

p0 etp1 admettent les quasi-interpr´etations additives L−M0 and L−M1 d´efinies par :

LaM0(X) =X+ 1 LaM1(X) =X+ 2

LbM0(X) =X+ 2 LbM1(X) =X+ 1

Lf0M0(X) =X Lf1M1(X) =X

Nous allons raisonner par l’absurde en d´emontrant quep0F

p1 n’admet pas de

quasi-interpr´etation additive. Supposons qu’il admette la quasi-interpr´etation additive L−M.

Puisque L−M est additive, on supposera que LaM(X) =X+ka et que LbM(X) =X+kb,

avec ka, kb ≥ 1. Afin de simplifier la preuve, supposons que le polynˆome Lf0M s’´ecrive

sans utiliser l’opération max. Pour la première définition de p0, la quasi-interprétation

Lf0M doit vérifier l’inégalité suivante :

Lf0M(X+ka)≥Lf0M(Lf0M(X))

`

A présent, supposons queLf0M(X) s’écrive de la formeαXd+Q(X), avecQun polynôme

de degré strictement inférieur àdet avec une constanteα6= 0. On constate queLf0M(X+

ka) se réécrit en un polynôme de la forme αXd+R(X), avec R un polynôme de degré

strictement inférieur àd, et queLf0M(Lf0M(X)) est égal à un polynôme de la formeα2Xd

+

S(X), oùS est un polynôme de degré strictement inférieur àd2. Pour des valeurs de X

choisies suffisamment grandes, l’in´egalit´e ci-dessus implique qued≥d2, ce qui implique

que la constante d est ´egale `a 1. Maintenant, nous comparons les coefficients de plus

haut degr´e de ces polynˆomes et on obtient,α≥α2. Ainsi, la constanteα est, elle aussi,

´

egale à 1 et, nous en concluons queLf0M(X) =X+k. Par symétrie, le même résultat est

valable pour la quasi-interpr´etation def1 qui s’´ecrit alorsLf1M(X) =X+k0.

Les deux dernières définitions du programme impliquent les inégalités suivantes :

kb+k≥2ka+k

ka+k0 ≥2kb+k0

Par cons´equent, ka = kb = 0, ce qui contredit le fait que ka, kb ≥ 1. Pour conclure,

l’union `a constructeurs partag´es des deux programmes n’admet pas de quasi-interpr´

eta-tion.

Exemple 8 (Codage et d´ecodage). Consid´erons le programme p=p1F

p2 obtenu par

union à constructeurs partagés des programmes p1 etp2 définis ci-dessous :

code1(z) =Case z of 0(x)→1(code1(x))

nil→nil

shuffle1(z, w) =Casez, w of 1(x),1(y)→1(1(shuffle1(x, y)))

programme en unions disjointes de k sous-programmes ayantn_j variables pour j de 1

a k, alors la complexité de la synthèse de quasi-interprétation décroˆıt de 2⁽^Pk

j=12ⁿ

Deux programmes hVar₁,Cns₁,Fct₁,R₁i et hVar₂,Cns₂,Fct₂,R₂i ont des

hVar1,Cns1,Fct1,R1i^GhVar2,Cns2,Fct2,R2i=hVar1∪Var2,Cns1∪Cns2,Fct1∪Fct2,R1∪R2i

Proposition I.70 (Modularit´e de ≺_rpo). Supposons que p₁ et p₂ soient deux

pro-grammes ordonn´es par ≺_rpo alors p₁F

p₂ est aussi ordonn´e par ≺_rpo, avec le mˆeme

cet effet, consid´erons deux programmes p₀ et p₁. Les deux ensembles de symboles

de constructeur correspondant Cns₀ et Cns₁ sont choisis comme étant égaux à {a,b},

Fct₀ = {f₀} et Fct₁ = {f₁}. Enfin, les d´efinitions des deux programmes sont les

f0(y) =Casey of a(x)→_f₀(f₀(x))

b(x)→a(a(f₀(x)))

f₁(y) =Casey of b(x)→f₁(f₁(x))

a(x)→b(b(f₁(x)))

p₀ etp₁ admettent les quasi-interpr´etations additives _L−_M0 and _L−_M1 d´efinies par :

La_M0(X) =X+ 1 _La_M1(X) =X+ 2

LbM0(X) =X+ 2 _LbM1(X) =X+ 1

Lf_0M0(X) =X _Lf_1M1(X) =X

Nous allons raisonner par l’absurde en d´emontrant quep₀F

p₁ n’admet pas de

quasi-interpr´etation additive. Supposons qu’il admette la quasi-interpr´etation additive _L−_M.

Puisque _L−_M est additive, on supposera que _La_M(X) =X+k_a et que _Lb_M(X) =X+k_b,

avec k_a, k_b ≥ 1. Afin de simplifier la preuve, supposons que le polynˆome _Lf0M s’´ecrive

sans utiliser l’opération max. Pour la première définition de p₀, la quasi-interprétation

Lf0M(X+ka)≥_Lf0M(_Lf0M(X))

A présent, supposons que_Lf0M(X) s’écrive de la formeαX^d+Q(X), avecQun polynôme

de degré strictement inférieur àdet avec une constanteα6= 0. On constate que_Lf0M(X+

k_a) se réécrit en un polynôme de la forme αX^d+R(X), avec R un polynôme de degré

strictement inférieur àd, et que_Lf0M(_Lf0M(X)) est égal à un polynôme de la formeα2Xd

S(X), oùS est un polynôme de degré strictement inférieur àd². Pour des valeurs de X

choisies suffisamment grandes, l’in´egalit´e ci-dessus implique qued≥d², ce qui implique

haut degr´e de ces polynˆomes et on obtient,α≥α². Ainsi, la constanteα est, elle aussi,

egale à 1 et, nous en concluons que_Lf0M(X) =X+k. Par symétrie, le même résultat est

valable pour la quasi-interpr´etation def1 qui s’´ecrit alors_Lf1M(X) =X+k⁰.

ka+k⁰ ≥2kb+k⁰

Par cons´equent, k_a = k_b = 0, ce qui contredit le fait que k_a, k_b ≥ 1. Pour conclure,

Exemple 8 (Codage et d´ecodage). Consid´erons le programme p=p₁F

p₂ obtenu par

union à constructeurs partagés des programmes p₁ etp₂ définis ci-dessous :

shuffle1(z, w) =Casez, w of 1(x),1(y)→1(1(shuffle₁(x, y)))

1(x),0(y)→1(shuffle₁(x,code1(0(y))))

nil, y →code₁(y)

code₀(z) =Case z of 1(x)→f(0(0(code₀(x))))

mots binaires{0,1}^∗. En effet, on a _Jcode0(code₁)(0ⁿ(nil))_K=0ⁿ(nil) et inversement.

De plus, les programmesp₁ et p₂ admettent les quasi-interpr´etations respectives _L−_M1 et

L−_M₂ d´efinies par :

LnilM1 = 0 _LnilM2 = 0

L0_M1(X) =X+ 1 _L0_M2(X) =X+ 1

L1_M1(X) =X+ 1 _L1_M2(X) =X+ 2

Lcode1M1(X) =X _Lcode0M2(X) =X

Lshuffle₁_M1(X, Y) =X+Y _Lshuffle₀_M2(X, Y) =X+Y

Raisonnons par l’absurde en supposant quep₁F

p₂ admet une quasi-interpr´etation

addi-tive _L−_M telle que_L1_M(X) =X+k1 et_L0_M(X) =X+k0, aveck1, k0≥1. Les d´efinitions

Lshufflei(i(x),j(y))_M=_LshuffleiM(X+ki, Y +kj)

≥_Li(shufflei(x,codei(j(y))))_M

=k_i+_LshuffleiM(X,_LcodeiM(Y +k_j))

polyno-miale _LshuffleiM si _LcodeiM(X) est supérieur à X+d, avec une constante d fixée. Les

premières définitions de p₁ et de p₂ fournissent les inégalités suivantes :

Lcode1(0(x))_M=X+d+k0≥X+d+k1=_L1(code1(x))_M Pour p₁

Lcode0(1(x))_M=X+d+k1≥_Lf(0(0(code0(x))))_M Pour p₂

La combinaison des deux in´egalit´es implique que k₀ ≥ 2×k₀, ce qui est incompatible

nous reste `a remarquer que les deux sous-programmes terminent par ≺_rpoavec un statut

Th´eor`eme I.72. Etant donn´^´ es deux programmes p₁ = hVar1,Cns1,Fct1,R1i et p₂ =

poly-nˆomeP tel que pour toute expressiont dep₁F

p₂ ayant n variablesx₁,· · ·, x_n, et pour

|_Jtσ_K| ≤P^|^t^|( max

d’abord qu’il n’y a aucun appel entre deux programmesp₁ etp₂ d’une union `a

construc-teurs partag´esp₁F

p₂. Le lemme fondamental est valide pour chacun des programmesp₁

et p₂ avec des polynˆomes respectifsP1 et P2. D´efinissons P = max(P1, P2). Pour toute

s´equence de valeurs v₁,· · · , v_n ∈ T(Cns₁ ∪Cns₂), l’expression f(v₁,· · · , v_n)→^∗ v, avec

cast=xest trivial. Pourt=g(t₁,· · · , t_n), on combine l’inégalité précédente avec le fait

Puisque≺_rpoest modulaire dans le cas d’une union `a constructeurs partag´es, le th´

Corollaire I.73 (_tempset_espacepour l’union `a constructeurs partag´es).

programmes additifs ordonnés par ≺_rpo où chaque symbole de fonction possède un

programmes additifs ordonn´es par≺_rpoest exactement l’ensemble des fonctions