Application aux paires de d´ ependance

II.3 Application aux travaux pr´ ec´ edents

II.3.2 Application aux paires de d´ ependance

Nous allons dès à présent définir la notion de paire de dépendance utilisée dans [AG00]

afin de prouver la terminaison des programmes de mani`ere automatique. Cette notion

permet de définir un critère de terminaison général intensionnellement très puissant. Ce

critère est complet, c’est-à-dire qu’il permet de démontrer la terminaison de tous les

programmes qui terminent, et il est, par conséquent, indécidable. Il est donc nécessaire

de spécifier des applications d’un tel critère. Une application intéressante réside dans

la combinaison de ce crit`ere de terminaison avec la notion de sup-interpr´etation. Nous

obtenons ainsi un crit`ere efficace qui nous permet, de surcroˆıt, d’obtenir une nouvelle

caract´erisation de la classe des fonctions calculables en espace polynomial.

D´efinition II.24. Etant donn´^´ e un programmep, une paire de d´ependance est un couple

tel que g(e1,· · · , em) est activ´e par f(p1,· · ·, pn). On d´efinit le graphe des paires de

d´ependance par :

– Les noeuds sont les paires de d´ependance.

– Soient u = hf₁(p₁,· · · , p_n),f₂(e₁,· · ·, e_m)i et v = hf₃(q₁,· · · , q_k),f₄(d₁,· · ·, d_l)i,

deux paires de dépendance, une arête relieu à v si f2 =f3.

Un cycle de paires de dépendance est défini comme étant un cycle du graphe des paires

de dépendance. Par la suite, on dira qu’une paire de dépendance u est impliquée dans

un cycle siu appartient `a ce cycle dans le graphe des paires de d´ependance.

Remarque 5. Une fraternit´eC[f1(e1), . . . ,fn(en)]activ´ee par f(p1,· · ·, pn) correspond

`

anpaires de d´ependancehf(p₁,· · · , p_n),fi(e_i)iqui sont toutes impliqu´ees dans au moins

un cycle du graphe des paires de dependance.

Nous rappelons ici quelques notions de base sur les quasi-ordres :

D´efinition II.25 (Quasi-ordre). Etant donn´^´ ee une relation binaire ≥ sur les

expres-sions,≥ est un quasi-ordre si elle vérifie les propriétés suivantes :

– ∀x, x≥x (R´eflexivit´e)

– ∀x, y, z, (x≥y∧y≥z)⇒(x≥z) (Transitivit´e)

`

A tout quasi-ordre ≥, on associe une relation d’ordre stricte > d´efinie comme ´etant

sa restriction aux couples d’´el´ements distincts. En d’autres termes, la relation > est

transitive et irr´eflexive.

D´efinition II.26(Quasi-ordre monotone). Etant donn´^´ e un quasi-ordre≥sur les

expres-sions,≥est un quasi-ordre monotone s’il vérifie la propriété suivante pour tout symbole

bd’arit´e n:

∀i∈ {1, . . . , n}, ei ≥di⇒b(e1,· · · , en)≥b(d1,· · ·, dn)

D´efinition II.27(Quasi-ordre clos par substitution). Etant donn´^´ e un quasi-ordre≥sur

les expressions, ≥ est clos par substitution s’il vérifie la propriété suivante pour toute

substitution σ :

e≥d⇒eσ≥dσ

D´efinition II.28 (Quasi-ordre bien-fond´e). Etant donn´^´ es un quasi-ordre ≥ sur les

ex-pressions et sa relation stricte >, ≥ est bien-fond´e (ou noeth´erien) s’il n’existe pas de

suite infinie (xn)n∈_N d’expressions v´erifiant∀n∈_N, xn> xn+1

Le théorème suivant est dû à Arts et Giesl [AG00] :

Théorème II.29. Un programmeptermine s’il existe un quasi-ordre bien-fondé

mono-tone et clos par substitution≥_q.o. tel que :

1. Pour toute expression maximale eactiv´ee par f(p), f(p)≥_q.o.e

2. Pour toute paire de d´ependance hs, ti, s≥_q.o. t

3. Pour tout cycle dans le graphe des paires de d´ependance, il existe une paire de

d´ependancehs, ti v´erifiant s >_q.o.t

De nombreux outils d´emontrant la terminaison des programmes, dont entre autres

AProVE [GSKT06], CiME [CMMU03] et TTT [HM04], utilisent des applications de

cette méthode. Car, le critère est intrinsèquement indécidable ; il suffit de s’en convaincre

en prenant le quasi-ordre ≥_q.o. comme étant la relation de réécriture induite par les

règles d’évaluation du programme. Ainsi, la méthode est complète puisqu’elle permet

de démontrer la terminaison de n’importe quel programme. L’indécidabilité de la

ter-minaison implique donc l’indécidabilité du critère. Il est donc nécessaire de spécialiser

le quasi-ordre de manière à obtenir une application des paires de dépendance et une

spécification du théorème présenté ci-dessus. Dans ce qui suit, nous allons utiliser les

sup-interprétations et le critère quasi-amical afin de dériver une telle application.

Définition II.30 (Appels récursifs strictement bornés). Un programme p a des

ap-pels récursifs strictement bornés s’il admet une sup-interprétation θ et un poids ω dans

Max-Poly{_N} tels que :

– p a des appels r´ecursifs born´es,

– Pour tout cycle du graphe des paires de d´ependance, il existe une paire de d´ependance

de la forme hf(p1,· · · , pn),g(e1,· · · , em)i telle que

ω_f(θ^∗(p₁),· · · , θ^∗(p_n))> ω_g(θ^∗(e₁),· · ·, θ^∗(e_m))

Théorème II.31. Un programme qui a des appels récursifs strictement bornés termine.

D´emonstration. Remarquons d’abord que le lemmeII.13est toujours valable lorsque l’on

considère un programme avec des appels récursifs strictement bornés ; la seule différence

résidant dans l’inégalité stricte. En appliquant le lemmeII.13, pour deux états successifs

h_f, u₁,· · · , u_ni et h_f, v₁,· · · , v_ni de l’arbre des appels impliquant le mˆeme symbole de

fonction, on obtient :

ω_f(θ^∗(u₁),· · ·, θ^∗(u_n)> ω_f(θ^∗(v₁),· · ·, θ^∗(v_n))

Comme les assignations consid´er´ees sont dansMax-poly{_N}, la condition sur les appels

strictement bornés implique que tout cycle de paires de dépendance décroit le poids d’au

moins 1. En cons´equence, il n’y a pas de boucle infinie durant l’ex´ecution du programme

puisque le nombre d’occurrences de chaque cycle commen¸cant par f(p1,· · · , pn)σ, pour

une substitutionσ donn´ee, est born´e parωf(θ^∗(p1σ), . . . , θ^∗(pnσ)). Donc le programme

termine.

Remarque 6. Ce théorème peut aussi être appliqué à des sup-interprétations non

po-lynomiales. Dans un tel cas de figure, il suffit de consid´erer des fonctions sur les entiers

naturels afin de préserver les propriétés de bonne-fondaison.

Pour terminer cette sous-section, nous allons ´etudier la combinaison de la m´ethode

des paires de d´ependance avec des sup-interpr´etations polynomiales sur les entiers

na-turels, obtenant ainsi une nouvelle caract´erisation des fonctions calculables en espace

polynomial.

Lemme II.32. Etant donn´^´ e un programme quasi-amical `a appels r´ecursifs strictement

born´es, la taille de chaque branche de l’arbre des appels est born´ee polynomialement par

la taille des entrées, où la taille d’une branche est définie comme étant la somme des

tailles de tous ses états et où la taille des entrées est définie comme étant la taille des

valeurs contenues dans la racine de l’arbre des appels.

Démonstration. Le théorème II.14 implique que la taille de toute valeur d’un état de

l’arbre des appels est born´ee polynomialement par la taille des entr´ees. En d’autres

termes, il existe un polynˆome R tel que pour tout ´etat h_g, v₁,· · ·, v_ki de l’arbre des

appels de racinehf, u1,· · · , uni, on ait :

∀i∈ {1, . . . , k}, |vi| ≤R( max

j=1..n(|uj|))

Il en résulte que la taille de tout état est borné par Q(max_j₌₁_..n|u_j|) avec Q(X) =

m×R(X) et ml’arit´e maximale d’un symbole du programme. Dans la preuve du th´

eo-rèmeII.31, nous avons démontré que tout cycle, dont le premier état esthg, v1,· · · , v_ki,

possède au plus ω_g(θ^∗(v₁),· · · , θ^∗(v_k)) occurrences (ce nombre étant borné par ω_g(α×

|v1|, . . . , α× |vk|) d’apr`es le lemmeII.4). Il r´esulte de ceci que tout cycle dont le premier

´etat esthg, v₁,· · · , v_kia au plusω_g(α×Q(max_j₌₁_..n|u_j|), . . . , α×Q(max_j₌₁_..n|u_j|))

oc-currences. `A pr´esent, posonsω(X) = max_g∈Fct(ω_g(α×Q(X), . . . , α×Q(X))) lorsqueω_g

est explicitement d´efini pour un symbole de fonctiongdonn´e. SoitAle nombre maximal

de cycles dans le programme (le nombreAest considéré comme étant une constante

puis-qu’il d´epend uniquement de la taille du programme). Nous savons que le nombre d’´etats

dans une branche de premier ´etat hf, u₁,· · · , u_ni est born´e par A×ω(max_j₌₁_..n(|u_j|)).

Pour conclure,A×ω(max_j₌₁_..n(|u_j|))×Q(max_j₌₁_..n(|u_j|)) est le polynˆome requis bornant

la taille de chaque branche de l’arbre des appels.

Théorème II.33. L’ensemble des fonctions calculées par des programmes quasi-amicaux

`

a appels r´ecursifs strictement born´es est exactement l’ensemble des fonctions calculables

en espace polynomial.

D´emonstration. D’apr`es le lemme II.32, nous savons que la taille de chaque branche

et de chaque ´etat de l’arbre des appels est born´ee polynomialement par la taille des

entrées. L’évaluation du programme correspond à un parcours en profondeur de l’arbre

des appels. Il r´esulte de ceci que l’ensemble des fonctions calcul´ees par des programmes

quasi-amicaux à appels récursifs strictement bornés est inclus dans_Pspace. La preuve

de complétude est inspirée par la preuve de la caractérisation contenue dans [BMM07]

et présentée dans le théorèmeI.36de la sectionI.2.5. Elle utilise des machines à registres

parall`eles (Parallel Register Machines ou PRM). Savitch [Sav70] et Chandra, Kozen et

Stockmeyer [CKS81] ont démontré que l’ensemble des fonctions calculées par une PRM

en temps polynomial correspond exactement `a l’ensemble des fonctions calculable par

une Machine de Turing en espace polynomial. Nous laissons le soin au lecteur de v´erifier

que le programme donné dans la preuve du théorème I.36 et qui simule les PRM par

un programme de notre langage est bien quasi-amical `a appels r´ecursifs strictement

born´es.

Remarque 7. Cette caract´erisation est intensionnellement plus forte que la caract´

e-risation donnée dans le théorème I.36. En effet, de nombreux programmes naturels ne

terminant pas l’extension lexicographique d’un ordre r´ecursif sur les chemins (RPO)

possèdent sont quasi-amicaux à appels récursifs strictement bornés. En particulier, le

programme calculant le plus grand commun diviseur de l’exemple 20 ne termine par

RPO mais on peut démontrer qu’il est à appel récursifs strictement bornés en prenant

la sup-interpr´etation suivante θ(0) = 0, θ(S)(X) = X+ 1, θ(minus)(X, Y) = X et en

choisissant le poids ω_gcd(X, Y) =X+Y.

Dans le document Analyse de la complexité des programmes par interprétation sémantique (Page 108-112)

II.3 Application aux travaux pr´ ec´ edents

II.3.2 Application aux paires de d´ ependance

Nous allons dès à présent définir la notion de paire de dépendance utilisée dans [AG00]

afin de prouver la terminaison des programmes de mani`ere automatique. Cette notion

permet de définir un critère de terminaison général intensionnellement très puissant. Ce

critère est complet, c’est-à-dire qu’il permet de démontrer la terminaison de tous les

programmes qui terminent, et il est, par conséquent, indécidable. Il est donc nécessaire

de spécifier des applications d’un tel critère. Une application intéressante réside dans

la combinaison de ce crit`ere de terminaison avec la notion de sup-interpr´etation. Nous

obtenons ainsi un crit`ere efficace qui nous permet, de surcroˆıt, d’obtenir une nouvelle

caract´erisation de la classe des fonctions calculables en espace polynomial.

D´efinition II.24. Etant donn´´ e un programmep, une paire de d´ependance est un couple

tel que g(e1,· · · , em) est activ´e par f(p1,· · ·, pn). On d´efinit le graphe des paires de

d´ependance par :

– Les noeuds sont les paires de d´ependance.

– Soient u = hf1(p1,· · · , pn),f2(e1,· · ·, em)i et v = hf3(q1,· · · , qk),f4(d1,· · ·, dl)i,

deux paires de dépendance, une arête relieu à v si f2 =f3.

Un cycle de paires de dépendance est défini comme étant un cycle du graphe des paires

de dépendance. Par la suite, on dira qu’une paire de dépendance u est impliquée dans

un cycle siu appartient `a ce cycle dans le graphe des paires de d´ependance.

Remarque 5. Une fraternit´eC[f1(e1), . . . ,fn(en)]activ´ee par f(p1,· · ·, pn) correspond

`

anpaires de d´ependancehf(p1,· · · , pn),fi(ei)iqui sont toutes impliqu´ees dans au moins

un cycle du graphe des paires de dependance.

Nous rappelons ici quelques notions de base sur les quasi-ordres :

D´efinition II.25 (Quasi-ordre). Etant donn´´ ee une relation binaire ≥ sur les

expres-sions,≥ est un quasi-ordre si elle vérifie les propriétés suivantes :

– ∀x, x≥x (R´eflexivit´e)

– ∀x, y, z, (x≥y∧y≥z)⇒(x≥z) (Transitivit´e)

`

A tout quasi-ordre ≥, on associe une relation d’ordre stricte > d´efinie comme ´etant

sa restriction aux couples d’´el´ements distincts. En d’autres termes, la relation > est

transitive et irr´eflexive.

D´efinition II.26(Quasi-ordre monotone). Etant donn´´ e un quasi-ordre≥sur les

expres-sions,≥est un quasi-ordre monotone s’il vérifie la propriété suivante pour tout symbole

bd’arit´e n:

∀i∈ {1, . . . , n}, ei ≥di⇒b(e1,· · · , en)≥b(d1,· · ·, dn)

D´efinition II.27(Quasi-ordre clos par substitution). Etant donn´´ e un quasi-ordre≥sur

les expressions, ≥ est clos par substitution s’il vérifie la propriété suivante pour toute

substitution σ :

e≥d⇒eσ≥dσ

D´efinition II.28 (Quasi-ordre bien-fond´e). Etant donn´´ es un quasi-ordre ≥ sur les

ex-pressions et sa relation stricte >, ≥ est bien-fond´e (ou noeth´erien) s’il n’existe pas de

suite infinie (xn)n∈N d’expressions v´erifiant∀n∈N, xn> xn+1

Le théorème suivant est dû à Arts et Giesl [AG00] :

Théorème II.29. Un programmeptermine s’il existe un quasi-ordre bien-fondé

mono-tone et clos par substitution≥q.o. tel que :

1. Pour toute expression maximale eactiv´ee par f(p), f(p)≥q.o.e

2. Pour toute paire de d´ependance hs, ti, s≥q.o. t

3. Pour tout cycle dans le graphe des paires de d´ependance, il existe une paire de

d´ependancehs, ti v´erifiant s >q.o.t

De nombreux outils d´emontrant la terminaison des programmes, dont entre autres

AProVE [GSKT06], CiME [CMMU03] et TTT [HM04], utilisent des applications de

cette méthode. Car, le critère est intrinsèquement indécidable ; il suffit de s’en convaincre

en prenant le quasi-ordre ≥q.o. comme étant la relation de réécriture induite par les

règles d’évaluation du programme. Ainsi, la méthode est complète puisqu’elle permet

de démontrer la terminaison de n’importe quel programme. L’indécidabilité de la

ter-minaison implique donc l’indécidabilité du critère. Il est donc nécessaire de spécialiser

le quasi-ordre de manière à obtenir une application des paires de dépendance et une

spécification du théorème présenté ci-dessus. Dans ce qui suit, nous allons utiliser les

sup-interprétations et le critère quasi-amical afin de dériver une telle application.

Définition II.30 (Appels récursifs strictement bornés). Un programme p a des

ap-pels récursifs strictement bornés s’il admet une sup-interprétation θ et un poids ω dans

Max-Poly{N} tels que :

– p a des appels r´ecursifs born´es,

– Pour tout cycle du graphe des paires de d´ependance, il existe une paire de d´ependance

de la forme hf(p1,· · · , pn),g(e1,· · · , em)i telle que

ωf(θ∗(p1),· · · , θ∗(pn))> ωg(θ∗(e1),· · ·, θ∗(em))

Théorème II.31. Un programme qui a des appels récursifs strictement bornés termine.

D´emonstration. Remarquons d’abord que le lemmeII.13est toujours valable lorsque l’on

considère un programme avec des appels récursifs strictement bornés ; la seule différence

résidant dans l’inégalité stricte. En appliquant le lemmeII.13, pour deux états successifs

hf, u1,· · · , uni et hf, v1,· · · , vni de l’arbre des appels impliquant le mˆeme symbole de

fonction, on obtient :

ωf(θ∗(u1),· · ·, θ∗(un)> ωf(θ∗(v1),· · ·, θ∗(vn))

Comme les assignations consid´er´ees sont dansMax-poly{N}, la condition sur les appels

strictement bornés implique que tout cycle de paires de dépendance décroit le poids d’au

moins 1. En cons´equence, il n’y a pas de boucle infinie durant l’ex´ecution du programme

puisque le nombre d’occurrences de chaque cycle commen¸cant par f(p1,· · · , pn)σ, pour

D´efinition II.24. Etant donn´^´ e un programmep, une paire de d´ependance est un couple

– Soient u = hf₁(p₁,· · · , p_n),f₂(e₁,· · ·, e_m)i et v = hf₃(q₁,· · · , q_k),f₄(d₁,· · ·, d_l)i,

anpaires de d´ependancehf(p₁,· · · , p_n),fi(e_i)iqui sont toutes impliqu´ees dans au moins

D´efinition II.25 (Quasi-ordre). Etant donn´^´ ee une relation binaire ≥ sur les

D´efinition II.26(Quasi-ordre monotone). Etant donn´^´ e un quasi-ordre≥sur les

D´efinition II.27(Quasi-ordre clos par substitution). Etant donn´^´ e un quasi-ordre≥sur

D´efinition II.28 (Quasi-ordre bien-fond´e). Etant donn´^´ es un quasi-ordre ≥ sur les

suite infinie (xn)n∈_N d’expressions v´erifiant∀n∈_N, xn> xn+1

mono-tone et clos par substitution≥_q.o. tel que :

1. Pour toute expression maximale eactiv´ee par f(p), f(p)≥_q.o.e

2. Pour toute paire de d´ependance hs, ti, s≥_q.o. t

d´ependancehs, ti v´erifiant s >_q.o.t

en prenant le quasi-ordre ≥_q.o. comme étant la relation de réécriture induite par les

Max-Poly{_N} tels que :

ω_f(θ^∗(p₁),· · · , θ^∗(p_n))> ω_g(θ^∗(e₁),· · ·, θ^∗(e_m))

h_f, u₁,· · · , u_ni et h_f, v₁,· · · , v_ni de l’arbre des appels impliquant le mˆeme symbole de

ω_f(θ^∗(u₁),· · ·, θ^∗(u_n)> ω_f(θ^∗(v₁),· · ·, θ^∗(v_n))

Comme les assignations consid´er´ees sont dansMax-poly{_N}, la condition sur les appels

une substitutionσ donn´ee, est born´e parωf(θ^∗(p1σ), . . . , θ^∗(pnσ)). Donc le programme

Lemme II.32. Etant donn´^´ e un programme quasi-amical `a appels r´ecursifs strictement

termes, il existe un polynˆome R tel que pour tout ´etat h_g, v₁,· · ·, v_ki de l’arbre des

Il en résulte que la taille de tout état est borné par Q(max_j₌₁_..n|u_j|) avec Q(X) =

eo-rèmeII.31, nous avons démontré que tout cycle, dont le premier état esthg, v1,· · · , v_ki,

possède au plus ω_g(θ^∗(v₁),· · · , θ^∗(v_k)) occurrences (ce nombre étant borné par ω_g(α×

´etat esthg, v₁,· · · , v_kia au plusω_g(α×Q(max_j₌₁_..n|u_j|), . . . , α×Q(max_j₌₁_..n|u_j|))

oc-currences. `A pr´esent, posonsω(X) = max_g∈Fct(ω_g(α×Q(X), . . . , α×Q(X))) lorsqueω_g

dans une branche de premier ´etat hf, u₁,· · · , u_ni est born´e par A×ω(max_j₌₁_..n(|u_j|)).

Pour conclure,A×ω(max_j₌₁_..n(|u_j|))×Q(max_j₌₁_..n(|u_j|)) est le polynˆome requis bornant

quasi-amicaux à appels récursifs strictement bornés est inclus dans_Pspace. La preuve

choisissant le poids ω_gcd(X, Y) =X+Y.