Si u est la solution d’une ´equation d’´evolution, c’est une fonction de t (variable de temps) et de x (variable d’espace), et ces deux variables jouent clairement un rˆole tr`es diff´erent. Dans un espace de Besov en y = (t, x) classique, on demande autant de r´egularit´e en t qu’en x ; or, dans de nombreuses situations, on souhaiterait s’int´eresser uniquement `a la r´egularit´e en x de u(t, x). Une solution est alors de consid´erer des espaces de Lebesgue en temps `a valeurs dans des espaces de Besov en espace. Une autre solution consiste `a introduire les espaces eLr([0, T ], ˙Bp,qs ) donn´es par la norme suivante :
kukLer([0,T ], ˙Bs p,q)= X j∈Z 2jsk∆jukLr([0,T ],Lp)q 1/q , pour T > 0, s ∈ R et p, q, r ∈ [1, +∞].
Les espaces eLr([0, T ], ˙Bsp,q) s’av`erent tr`es utiles pour de nombreux probl`emes. Ils ont ´et´e introduits par Chemin et Lerner [3].
Les propri´et´es de ces espaces sont tr`es proches de celles des espaces de Besov standard. En particulier,
• Les injections de Sobolev ´enonc´ees plus haut restent vraies : si (s, p, q, r) ∈ R×[1, ∞]3, et si ep ≥ p et eq ≥ q, on a e LrB˙p,qs ,→ eLrB˙s− d p+ d e p e p,eq (on note eLrB˙s
p,q pour eLr([0, T ], ˙Bsp,q) afin d’all´eger les notations).
• La proposition sur les sommes de fonctions `a support fr´equentiel born´e (proposi- tion 6.3.4) reste vraie, `a condition bien sˆur de consid´erer les transform´ees de Fourier en x seulement.
• La quatri`eme d´efinition ´equivalente donn´ee en section 6.2.3 devient : f ∈ eLrB˙s p,q si et seulement si f ∈ L1loc et Z Rd kτhf − fkqLrLp |h|sq+d dh 1/q < ∞ , o`u l’on note LrLp pour Lr([0, T ], Lp).
• En cons´equence, la propri´et´e de stabilit´e par composition avec la valeur absolue reste valable : si 0 ≤ s < 1
k |f| kLerB˙s
Bibliographie
[1] J. Bergh, J. L¨ofstr¨om, Interpolation spaces, Springer Verlag (1976)
[2] J.-M. Bony, Calcul symbolique et propagation des singularit´es pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires, Annales scientifiques de l’Ecole normale sup´erieure 14, 209-246 (1981)
[3] J.-Y. Chemin, N. Lerner, Flot de champs de vecteurs non lipschitziens et ´equations de Navier-Stokes, Journal of Differential Equations 121, 314-328 (1995)
[4] R. R. Coifman, Y. Meyer, Au-del`a des op´erateurs pseudo-diff´erentiels, Ast´erisque 57, Soci´et´e math´ematique de France, Paris (1978)
[5] T. Runst, W. Sickel, Sobolev spaces of fractional order, Nemystkij operators and non- linear partial differential equations, De Gruyter series in non-linear analysis and ap- plications, Berlin (1992)
[6] H. Triebel, Theory of function spaces II, Birkha¨user Verlag (1992)
Perspectives : solutions
auto-similaires et comportement
asymptotique
Nous voudrions dans ce chapitre pr´esenter certains d´eveloppements possibles des travaux de cette th`ese, et plus g´en´eralement recenser quelques questions qui sont `a notre connais- sance ouvertes.
Notre discussion s’appliquera bien sˆur aux deux EDP d’´evolution qui sont l’objet de cette th`ese, (N S) et (N LW )p, mais elle reste au moins partiellement valable pour toute une
classe d’´equations d’´evolution, qui poss`edent les deux propri´et´es fondamentales (voir le chapitre 1) : homog´en´eit´e et existence d’une ´energie. On devrait ainsi pouvoir ajouter `
a (N S) et (N LW )p des exemples tels que l’´equation de Schr¨odinger semi-lin´eaire, ou
l’´equation de la chaleur semi-lin´eaire.
7.1
Solutions auto-similaires d’EDP d’´evolution
7.1.1 La probl´ematique
Nous appelons solution auto-similaire d’une EDP une solution invariante par le scaling de l’´equation. Au moins formellement, une solution est auto-similaire si et seulement si elle est issue de donn´ees initiales auto-similaires (pour le scaling propre aux donn´ees initiales). Nous avons vu au cours de cette th`ese que l’on ne sait en g´en´eral prouver l’existence de solutions auto-similaires d’EDP d’´evolution que dans le cas de donn´ees initiales petites. Pourquoi ? Nous avons cit´e dans l’introduction les deux techniques principales de construc- tion de solutions d’EDP, et aucune des deux ne peut s’appliquer `a des donn´ees initiales auto-similaires et grandes.
• La m´ethode de compacit´e bas´ee sur la conservation de l’´energie ne peut donner aucun r´esultat puisque les solutions auto-similaires sont d’´energie infinie.
• Quant `a la m´ethode de point fixe, elle revient `a r´esoudre une ´equation du type u = Su0+ F (u) ,
en utilisant le th´eor`eme de Picard dans un espace critique X. Ceci n’est possible que si kSu0kX est assez petit. En g´en´eral, pour traiter le cas de donn´ees initiales grandes, on
utilise l’espace XT, restriction `a t ∈ [0, T ] de X, et le fait que
kSu0kXT
T →0
−→ 0 .
Malheureusement, la limite ci-dessus n’est plus vraie dans le cas de donn´ees initiales autosimilaires.
Comment faire d`es lors pour construire des solutions auto-similaires `a donn´ees grandes ? Pour (N S2D), on peut utiliser la structure tr`es particuli`ere de l’´equation (Cottet [3], Giga, Miyakawa et Osada [9]), mais cette strat´egie n’est applicable qu’`a certaines donn´ees initiales et en aucun cas `a d’autres ´equations.
Nous allons d´ecrire dans la sous-section suivante une approche plus g´en´erale.
7.1.2 L’´equation de la chaleur non-lin´eaire
Nous voudrions d´ecrire l’approche suivie par Br´ezis, Peletier et Terman [2], voir aussi Kamin et Peletier [11]. Ces auteurs consid`erent l’´equation parabolique suivante
ut− ∆u + up = 0 pour (t, x) ∈]0, ∞[×Rd
avec u positif et 1 < p < d + 2
d (nous n’indiquons pas de donn´ee initiale pour une raison qui va apparaˆıtre). Ils d´emontrent l’existence d’une solution autosimilaire de cette ´equation,
W (x, t) = 1 t1/(p−1)f |x| √ t ,
en observant (c’est un calcul facile) que W est solution de l’´equation ci-dessus si et seule- ment si f : R+→ R+ v´erifie f00+ d − 1 x + x 2 f0+ 1 p − 1f − f p= 0 . (7.1.1)
Ils montrent que, pour tout A ≥ 0, l’EDO ci-dessus admet une solution telle que x2/(p−1)f (x)x→∞−→ A .
Si l’on fait tendre t vers 0 dans la formule donnant W , on voit que la “donn´ee initiale” correspondant `a un tel f serait
W (x, 0) = A |x|2/(p−1) ,
qui n’est pas une distribution. Il n’est en fait pas possible de donner un sens au probl`eme de Cauchy “naturel”.
Mais laissons de cˆot´e cette question de donn´ee initiale, pour retenir que la m´ethode expos´ee ci-dessus permet de construire des solutions auto-similaires `a donn´ees grandes.
7.1.3 L’´equation des ondes non-lin´eaire
Pour l’´equation des ondes (N LW )p, nous avons rencontr´e au chapitre 5 l’analogue de (7.1.1) :
u(x, t) = 1 tp−12 f |x| t
est solution de (N LW )p si et seulement si f : R+→ R est solution
de (x2− 1)f00+ 2(p + 1) p − 1 x − d − 1 x f0+2(p + 1) (p − 1)2f + f |f|p−1= 0 ,
pour x 6= 0, et il faut ajouter une condition en x = 0, que nous n’´ecrivons pas. Consid´erons la donn´ee initiale u0(x) =
1 |x|p−12
(nous oublions u1 pour simplifier). Pour
que u soit issue de u0, il faudrait que f (y) soit ´equivalent, pour |y| grand, `a
1 |y|p−12
. Existe-t-il une solution de l’´equation ci-dessus ayant un tel comportement `a l’infini ? Nous l’ignorons.
7.1.4 L’´equation de Navier-Stokes
Supposons que u(x, t) = √1 tf x √ t
est solution de (N S). Alors f : Rd→ Rdest solution,
sauf en l’origine, de
−∆f −12f −12x · ∇f + f · ∇f + ∇q = 0 , (7.1.2) pour une certaine fonction scalaire q. De mˆeme que pour (N LW )p, on ne sait `a notre
connaissance pas si, en se prescrivant un certain comportement asymptotique de f corres- pondant `a une donn´ee initiale autosimilaire, cette ´equation admet une solution.
N´eammoins, il nous faut mentionner deux r´esultats tr`es voisins de la r´eponse `a cette question.
• Lemari´e-Rieusset [13] a pu construire des solutions “faibles d’´energie infinie” issues de donn´ees appartenant `a L2loc. Ceci implique en particulier l’existence de solutions issues de donn´ees initiales auto-similaires. Cependant, comme on ne sait rien de l’unicit´e de ces solutions, on ne peut conclure qu’elles sont auto-similaires.
• Des solutions auto-similaires de Navier-Stokes d’un type diff´erent de celui que nous avons ´etudi´e jusqu’ici, c’est `a dire
u(x, t) = p 1 2a(T − t)f x p 2a(T − t) ! ,
o`u f est un profil appartenant `a L2∩ ˙H1, et a et T des r´eels, ont ´et´e consid´er´ees par Leray dans son c´el`ebre article [14]. Leray conjecturait que ce type de solution pouvait fournir un exemple de formation de singularit´e en temps fini pour (N S). La forme ci-dessus pour u implique que f satisfait l’´equation
−∆f + af + ax · ∇f + f · ∇f + ∇q = 0 , (7.1.3) o`u q est une fonction scalaire ; remarquer les changements de signe par rapport `a (7.1.2). Une r´eponse n´egative `a la conjecture de Leray a ´et´e apport´ee soixante ans plus tard par Neˇcas, Ruˇziˇcka et ˇSver´ak [15] : l’´equation (7.1.3) n’admet pas de solution dans L3. Notons enfin que ce dernier r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e par Iskauriaza, Seregin et ˇSver´ak [10].
7.1.5 Limites de l’approche par solutions autosimilaires
Comme nous l’avons vu, l’´etude des solutions auto-similaires d’EDP d’´evolution fait ap- paraˆıtre, au lieu d’une ´equation en plusieurs dimensions d’espace et d´ependant du temps, un probl`eme elliptique en une ou plusieurs dimensions d’espace, suivant que l’on consid`ere un probl`eme radialement sym´etrique ou non.
Cette m´ethode pourrait permettre d’´etablir l’existence de solutions auto-similaires de norme grande.
Cependant, cette strat´egie s’effondre d`es que l’on s’attaque `a des donn´es initiales g´en´erales (par exemple, appartenant simplement `a ∂BM O pour (N S) ou `a ˙B2,∞1 × ˙B2,∞0 pour (N LW )2∗
−1). Il semble qu’une nouvelle approche soit alors n´ecessaire.