Asymptotique en temps grand des solutions

Dans la section pr´ec´edente, nous avons vu que l’existence globale d’une solution de (N S) est assur´ee `a condition de choisir u0 ∈ ∂BMOσ(0), ou de vorticit´e appartenant `a M.

Se pose maintenant la question du comportement en temps grand de ces solutions globales. Commen¸cons par quelques ´el´ements heuristiques.

Heuristique

Supposons que w0 soit autosimilaire, c’est `a dire que

λw0(λx) = w0(x) ∀λ > 0 ∀x ∈ Rd.

Alors la solution w associ´ee (nous supposons qu’elle existe et qu’elle est globale) sera aussi auto-similaire, au sens que

λw(λx, λ2t) = w(x, t) _{∀λ > 0 ∀x ∈ R}d_{∀t ∈ R .} En particulier, il existera un profil ψ = w(·, 1) tel que

w(x, t) = _√1 tψ  x √ t  ,

et cette ´egalit´e d´ecrit compl`etement le comportement asymptotique de w. Supposons maintenant non plus que u0 est auto-similaire, mais que u0 est “asymptotiquement auto-

similaire pour les basses fr´equences”, c’est `a dire que λu0(λx)λ→∞−→ w0(x) ,

avec w0 une fonction auto-similaire ; nous ne pr´ecisons pas le sens `a donner `a la conver-

gence dans l’´equation ci-dessus. Il semble naturel de d´eduire de l’´equation ci-dessus la convergence des solutions associ´ees aux donn´ees initiales λu0(λx) et w0(x), soit

λu(λx, λ2t)λ→∞_{−→ w(x) .} Ceci implique que

u(x, t)t→∞_∼ √1 tw  _x √ t, 1  = √1 tψ  _x √ t  ,

o`<sub>u le sens de ∼ est, l`a encore, `a pr´eciser. Au total, l’heuristique que nous venons de</sub> d´evelopper sugg`ere l’´equivalence entre les deux points suivants :

1. La donn´ee initiale u0 est semblable pour les basses fr´equences `a une donn´ee auto-

similaire w0, c’est `a dire

λu0(λx)λ→∞−→ w0(x) .

2. La solution u est asymptotiquement (en temps grand) semblable `a une solution auto- similaire w, c’est `a dire

u(t, ·)t→+∞∼ w(t, ·) .

Bien sˆur, si l’heuristique s’applique, w est la solution de (N S2D) associ´ee `a w0.

R´esultats connus

Nous allons maintenant examiner si l’heuristique qui vient d’ˆetre d´evelopp´ee permet effec- tivement de d´ecrire l’asymptotique en temps grand des ´equations de Navier-Stokes.

• Pour une donn´ee initiale u0 ∈ L2σ, et en dimension d’espace quelconque, Wiegner [29]

a prouv´e la d´ecroissance en norme L2 de toute solution d’´energie finie (c’est `a dire appartenant `_{a L) de (NS). Ceci est coh´erent avec l’heuristique car on a, si u}0 ∈ L2,

λu0(λ·)λ→∞−→ 0 ,

au sens de la convergence faible de L2_.

• Planchon [26] s’est int´eress´e au cas d’une donn´ee initiale petite dans ( ˙B_p,∞−1+d/p)σ, avec

p ∈]d, ∞[ ; autrement dit, u0 est choisie petite, mais d’´energie infinie. Il a pu montrer

que l’heuristique s’applique alors parfaitement : soit u0∈ ( ˙Bp,∞−1+d/p)σ de norme assez

petite. Alors la solution u de (N S) issue de u0 est asymptotiquement auto-similaire

au sens qu’il existe une fonction V ∈ Lp telle que

t12− d 2p_{ku −}√1 tV ( x √ t)kp t→∞ −→ 0

si et seulement si il existe une distribution v0 ∈ ( ˙Bp,∞−1+d/p)σ homog`ene de degr´e -1

telle que

2j(dp−1)_k∆

j(u0− v0)kpj→−∞−→ 0 .

De plus, v(x, t) = V (√x

t) est dans ce cas la solution de (N S) associ´ee `a v0.

On se reportera `a la section 4.4.3 pour des exemples de fonctions autosimilaires appartenant `a ˙B_p,∞−1+d/p.

• Gallay et Wayne [16] (voir aussi Gallagher et Gallay [12]) ont ´etudi´e le cas d’une donn´ee initiale u0 dont la vorticit´e ω0 est une mesure de Radon finie.

Il est montr´e en appendice, section 4.4.3, que la seule fonction homog`ene de degr´e -1 et de divergence nulle qui poss`ede aussi cette propri´et´e est vG(x) = x⊥

|x|2, dont le

rotationnel est ´egal `a δ, la masse de Dirac en 0. On connaˆıt explicitement la solution de (N SV ) avec cδ (c est un r´eel quelconque) pour donn´ee initiale : il s’agit de

c tG  x √ t  avec G(ξ) = 1 4πe −|ξ|2_/4 ; on appelle G le tourbillon d’Oseen.

Revenons maintenant au cas d’une donn´ee initiale u0 dont la vorticit´e ω0 est une

mesure de Radon finie. Soit u la solution de (N S2D) associ´ee `a u0, et soit ω la

vorticit´e de u.

D’apr`es l’heuristique ´etablie ci-dessus, comme λ2ω0(λx)λ→∞−→ δ

Z

ω0(x) dx

au sens de la convergence faible des mesures, on devrait avoir ω(x, t)t→∞_∼ Z ω0(x) dx ₁ tG  _x √ t  .

Gallay et Wayne ont prouv´e que c’´etait effectivement le cas : en notant ω la vorticit´e de u, on a pour tout p ∈ [1, ∞] t1−1p ω(x, t) −α_tG  x √ t  p t→∞ −→ 0 avec α = Z ω0(x) dx .

Notons que ce r´esultat est le seul exemple d’´equivalent asymptotique pour une classe de donn´ees initiales pouvant contenir des fonctions autosimilaires de taille quelconque. • Enfin, Gallagher, Iftimie et Planchon [14] se sont int´eress´es au cas o`u, en dimension 3 d’espace, u0 ∈ ( ˙Bp,q−1+3/p)σ, avec p ∈]3, ∞[ et q ∈ [1, ∞[, et o`u une solution globale

u existe (on ignore si c’est le cas en g´en´eral). Gallagher, Iftimie et Planchon ont alors montr´e que

ku(t)k_B˙−1+3/p p,q

t→+∞

−→ 0 .

Ce r´esultat a ´et´e ´etendu par Auscher, Dubois et Tchamitchian [1] au cas o`u u0 ∈

∂BM O(0)σ ; c’est alors bien sˆur la norme ∂BM O de la solution qui tend vers 0. Ces

r´esultats sont l`a encore coh´erents avec l’heuristique.

Des r´esultats d´ecrivant plus finement qu’au premier ordre le comportement asymptotique des solutions de (N S), en dimension 2 ou sup´erieure, existent : on se reportera `a [17] et `

a [22], Chapitre 26.

Enonc´e du th´eor`eme B

Si l’on consid`ere maintenant une donn´ee initiale u0

1. de taille quelconque, 2. d’´energie infinie

3. et peu r´eguli`ere (c’est `a dire appartenant `a l’un des espaces de Besov ˙Bp,q−1+2/p, pour

p > 1, de telle sorte qu’alors les fonctions de ˙Bp,q−1+2/p dont le rotationnel est une

mesure finie forment un sous-espace strict de cet espace, voir la proposition 4.4.1), que sait-on du comportement asymptotique de la solution u associ´ee ?

Il est prouv´e dans l’article de Gallagher et Planchon [15] que la solution u correspondante v´erifie : pour tout δ > 0, il existe une constante C telle que

ku(t)k_B˙−_1+2/p

p,q ≤ C(1 + t

δ_{) .}

De mˆeme, nous avons vu que la solution u construite dans le th´eor`eme A pour une donn´ee initiale u0 ∈ ∂BMO(0) v´erifie : pour tout δ > 0, il existe une constante C telle que

ku(t)k∂BM O≤ C(1 + tδ) .

Or, si u0 appartient `a l’adh´erence de la classe de Schwartz dans un espace de Banach

fonctionnel X, on a

λu0(λ·)λ→∞−→ 0 ,

au sens de la convergence faible dans X. D’apr`es l’heuristique, on devrait alors avoir ku(t)kX t→+∞−→ 0 .

Th´eor`eme B Soit u0 dans ( ˙B−1+2/pp,q )σ, avec p, q ∈ [2, ∞[, et u la solution de (NS)

construite par Gallagher et Planchon [15] qui lui est associ´ee. Alors ku(t)k_B˙−1+2/p

p,q

t→∞

−→ 0 si l’une des deux conditions suivantes est v´erifi´ee (i) 2 p + 2 q > 1. (ii) u ∈ Lq(R+, ˙B−1+ 2 p+ 2 q p,q ) avec p, q ∈]2, ∞[.