Un exemple historique : le fer ` a cheval de Smale

Pourr ≈28 , les caract´eristiques essentielles de l’application de Poincar´e du mod`ele de Lorenz sont : dilatation dans une direction, contraction dans une direction transverse et repliement (effet purement non lin´eaire) pour rester dans le carr´e Σ. Nous avons utilis´e la contraction (tr`es sup´erieure `a la dilation) pour ramener l’´etude `a celle de l’application de Lorenz qui ne retient que la dilatation et le repliement³ : la dilation ´etait caract´eris´ee par le fait que la pente de l’application de Lorenz ´etait partout sup´erieure `a 1, pourr ≈28 ; le repliement venait du fait que, compte tenu de la dilation, pour que l’image de [−a, a]

soit contenue dans [−a, a], il ´etait n´ecessaire d’introduire une discontinuit´e.

En 1963, le math´ematicien am´ericain Stephen Smale [14] d´ecrit un diff´eormorphisme du plan f (syst`eme dynamique discret de dimension 2, application de Poincar´e d’un flot de dimension 3) qui poss`ede un ensemble de Cantor invariant (non n´ecessairement attracteur), Λ, pour lequelf|Λpeut ˆetre tr`es simplement caract´eris´ee. La construction def repose uniquement sur les 3 op´erations g´eom´etriques pr´ec´edemment cit´ees : dilatation, contraction et repliement. Ainsi f s’av`ere ˆetre un premier mod`ele “´el´ementaire” pour comprendre la structure d’un attracteur ´etrange et la nature d’un r´egime dit chaotique.

Construction g´eom´etrique du diff´eomorphisme f

On note S = [0,1]×[0,1]. f est certes d´efinie sur R² mais on ne s’int´eresse qu’aux pointsx deS dont les images successives par f etf⁻¹ restent dans S (cf. la d´efinition de l’ensemble invariant Λ ci-apr`es). C’est pourquoi nous ne d´efinissons f et f⁻¹ que sur S.

Construction de f Soient 0 < λ < 1/2 et µ > 2. Pour x ∈S, f(x) est d´efinie par la figure 4.11, page 147 : contraction horizontale d’un facteur λ ; dilatation verticale d’un

3Ce qui ´etait suffisant puisque l’on s’int´eressait aux temps positifs.

4.4. LE CHAOS D´ETERMINISTE 129 facteur µ; repliement de la partie sup´erieure vers la droite et vers le bas.f(S) a la forme d’un fer `a cheval : seule la partie courb´ee et ext´erieure `a S de f(S) est soumise `a une transformation non lin´eaire ; les deux bandes verticales, V₁ et V₂, qui forment f(S)

S, sont en fait le r´esultat de deux op´erations purement affines.

Construction def⁻¹ Il suffit d’effectuer dans l’autre sens les 3 op´erations de contrac-tion, dilation et repliement qui servent `a construire f. On obtient ainsi la figure 4.12, page 148, les deux bandes horizontales, H₁ et H₂, avec H₁% cet ensemble invariant. Pour en avoir une image approximative, il suffit de construire f⁻¹(S) sur la figure 4.13, page 149.

L’ensemble des pointsx∈Stels quef(x)∈Sest ´egal `aH1 compos´e de 16 petits rectangles disjoints, contenus dans les 4 rectangles pr´ec´edents.

Nous voyons donc que Λ est compos´e d’une infinit´e de points, r´esultant de la contrac-tion et du partage successifs en 4, des petits rectangles pr´ec´edents. On peut montrer que Λ est en fait un ensemble non d´enombrable, compact, d’int´erieur vide et sans point isol´e.

C’est un ensemble de Cantor.

f|Λ et dynamique symbolique

Soit Σ l’ensemble des suites ind´ex´ees par Z `a valeur dans {1,2}. On dit aussi que Σ

φ est injective. En effet, si x et y sont deux points distincts dans Λ, il est toujours possible, par une dilatation horizontale (associ´ee `af<sup>i</sup>,i≤0) ou par une dilatation verticale (associ´ee `a fⁱ, i ≥ 0), de les ´eloigner suffisament l’un de l’autre et ainsi avoir, pour un certaini∈Z,fⁱ(x) dans H₁ (ouH₂) etfⁱ(y) dans H₂ (ou H₁), c’est `a dire φ(x)_i =φ(y)_i.

La mise en forme des id´ees pr´ec´edentes permet de d´emontrer le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 21 [Dynamique symbolique du fer `a cheval]

Consid´erons l’ensemble invariant Λ et l’ensemble Σ muni de la topologie m´etrique associ´ee `a la distance d d´efinie ci-dessus. Alors, l’application

φ Λ −→ Σ x −→ φ(x)

d´efinie ci-dessus est un hom´eomorphisme de Λ sur Σ. De plus φ◦(f|Λ) =σ◦φ o`u σ est l’op´erateur de d´ecalage de +1 des indices (σ(a)_i =a_i+1).

Ce r´esultat tout `a fait remarquable permet d’identifier f|Λ `a un shift de Bernouilli sur des s´equences bi-infinie de symboles : c’est pour cela que l’on parle de dynamique symbolique. L’int´erˆet d’une telle description se mesure aux cons´equences qui en d´ecoulent, par exemple :

– un point x sur une orbite p´eriodique de f|Λ est caract´eris´ee par une suite de sym-bolesφ(x) p´eriodiques ;

– f|Λ poss`ede une infinit´e d´enombrable d’orbites p´eriodiques ; elles sont toutes in-stables ;

– f|Λ poss`ede une orbite partout dense dans Λ ;

– f|Λposs`ede une infinit´e non d´enombrable d’orbites non p´eriodiques toutes instables ; La sensibilit´e par rapport `a n’importe quelle condition initiale dans Λ est ainsi une

´evidence.

Conclusion

L’ensemble invariant Λ est le prototype d’ensemble dit hyperbolique qui g´en´eralise la notion de point d’´equilibre hyperbolique : de fa¸con imag´ee, tous les points d’un ensemble hyperbolique admettent une structure de col avec un espace rentrant et un espace sortant (pour une d´efinition pr´ecise voir [7], page 238).

4.4. LE CHAOS D´ETERMINISTE 131 L’int´erˆet principal de la notion d’hyperbolicit´e est sa persistence par rapport `a des pe-tites perturbations sur les ´equations du syst`eme (stabilit´e structurelle). Nous avons vu que le flot autour d’un point d’´equilibre hyperbolique est structurellement stable (th´eor`eme de Grobman-Hartman). De la mˆeme fa¸con, perturbons l’application f du fer `a cheval de Smale par le rajout d’une fonction εg avec 0 < ε 1 : les dilatations et contractions sont l´eg`erement distordues ; les bandes verticales V_i et horizontales H_i ne sont plus des rectangles parfaits mais restent transverses les unes aux autres ; l’ensemble de Cantor invariant Λ persiste et la description de la dynamique comme ´etant un shift de Bernouilli sur deux symboles est conserv´ee.

La dynamique de f|Λ est donc robuste : elle constitue un bon candidat pour d´ecrire un chaos d´eterministe physiquement observable. Il y en a certes beaucoup d’autres mais le fer `a cheval de Smale est l’un des plus simples.