Bifurcations vers le chaos dans le mod` ele de Lorenz

Le contenu de cette sous-section ne repose pas sur des preuves math´ematiques. C’est plutˆot d’une interpr´etation plausible d’exp´eriences num´eriques simples `a r´ealiser. Il est instructif de bien comprendre la m´ethode qui permet d’approximer et d’interpr´eter ces exp´eriences. Tout consiste `a se ramener `a une simple application continue par mor-ceau d’un intervalle de R dans lui mˆeme, i.e. un sorte de mod`ele r´eduit o`u l’essentiel de la dynamique est repr´esent´e. Sans un tel sch´ema r´educteur et explicatif, les simula-tions num´eriques perdent quasi totalement de leur interˆet. Pour r ≤10 : les simulations montrent que, si la condition initiale n’appartient pas `a la surface rentrante dans 0,W^s(0), (cf. chapitre 1), la trajectoire converge, soit vers q⁺, soit versq⁻. Pour rproche de 10, les points q⁺ et q⁻ sont en fait des foyers attracteurs (deux exposants complexes conjugu´es avec une partie r´eelle n´egative et un exposant r´eel n´egatif).

2Lev Landau a propos´e de d´ecrire la turbulence hydrodynamique comme r´esultant d’une cascade de tr`es nombreuses bifurcations de Hopf, cascade qui conduit `a un mouvement pseudo-p´eriodique comportant un grand nombre de fr´equences. Dans ce sc´enario, `a chaque bifurcation de Hopf, apparait une nouvelle fr´equence. Pour qu’un tel s´enario soit r´ealisable, il faut que la dimension de l’espace des phases soit au moins sup´erieure au nombre de fr´equences plus 1. Ce qui n’est pas g´enant pour les syst`emes fluides qui ont un espace des phases de dimension infinie.

Σ =

#

(x₁, x₂, r−1)| −

b(r−1)< x₁, x₂ <

b(r−1)

$

car on constate num´eriquement que toutes les orbites (except´ees celles qui sont contenues dans W^s(0)) qui d´emarrent dans ce carr´e recoupent ce carr´e apr`es avoir effectu´e un tour autour de q⁺ ouq⁻.

Application de Lorenz

A priori, on doit s’attendre `a ce que les orbites de cette application de Poincar´e, restreinte au carr´e Σ, soient dispos´ees selon deux directions. En fait, comme le montre la figure 4.4, page 140, on observe num´eriquement une contraction tr`es forte selon une direction approximativement parall`ele `a l’antidiagonale du carr´e Σ. Ce qui conduit `a avoir, quitte `a oublier les premi`eres it´erations de l’application de Poincar´e, des orbites qui semblent se disposer selon une courbe contenue dans Σ. Il est donc naturel d’´eliminer cette direction fortement contractante du flot et d’essayer de repr´esenter cette application de Poincar´e de dimension 2, par une application de dimension 1, que l’on appelle application de Lorenz [7]. Pourr = 10, une application de Lorenz plausible est donn´ee par la figure 4.4, page 140. Noter que l’application n’est pas d´efinie en 0 (aux orbites appartenant `aW^s(0)).

Noter aussi que, contrairement `a l’application de Poincar´e qui est inversible, l’application de Lorenz ne l’est plus. Ceci est dˆu `a la r´eduction `a la dimension 1. En fait, les orbites ne sont sur une courbe qu’en premi`ere approximation, elles sont en fait contenues, `a terme, dans un ensemble ayant une l´eg`ere ´epaisseur, de dimension non enti`ere un peu plus grande que 1 (cf. ce qui suit). Cette perte d’inversibilit´e n’est pas tr`es g´enante puisque que l’on consid`ere des temps positifs.

Naissance de l’attracteur ´etrange

A partir de simulations num´eriques, nous allons donner, pour des valeurs croissantes der l’allure de cette application de Lorenz en fonction de r.

4.4. LE CHAOS D´ETERMINISTE 127 r = 10, figure 4.4, page 140 −a ∼ q⁻ et +a ∼ q⁺ attirent toutes les trajectoires `a l’exception de celles contenues dans W^s(0).

r ≈ 13.926, figure 4.5, page 141 L’espace sortant de 0, Wⁱ(0) intercepte l’espace rentrantW^s(0). C’est une bifurcation homocline. Elle se traduit sur l’application de Lorenz par une inflexion verticale en 0. Elle donne vraisemblablement naissance aux deux cycles limites instables qui disparaissent, pour r = r_H, dans les deux points d’´equilibre q⁻ et q⁺. Toutes les orbites convergent encore de fa¸con monotone, soit vers −a ∼ q⁻, soit vers +a∼q⁺.

r = 15, figure 4.6, page 142 Les deux cycles limites instables apparaissent clairement en −cet +c. Si on d´emarre `a l’int´erieur de [−c,+c], les premi`eres it´erations ne sont plus monotones. Cependant, apr`es des transitoires compliqu´es, l’orbite sort, en g´en´eral, de [−c,+c] par la zone pr`es de 0, et reprend sa convergence monotone vers l’un des deux points −a ou +a.

r = 20., figure 4.7, page 143 La plage de comportements irr´eguliers [−c,+c] s’agran-dit. Toutes les orbites finissent, en g´en´eral, par converger vers−aou +amais pendant un temps assez long le comportement est tr`es irr´egulier. On a affaire `a un chaos transitoire (pr´eturbulence) qui ne persiste pas `a terme.

r ≈ 24.06, figure 4.8, page 144 La plage de comportements irr´eguliers [−c,+c] de-vient positivement invariante : toutes les orbites qui d´emarrent dans [−c,+c] y restent.

Les domaines d’attraction de −a ou +a diminuent de fa¸con significative. Les deux cycles instables, −c et +c, se rapprochent de −a et +a, respectivement. Il y a coexistence de trois attracteurs :q⁺, q⁻et un attracteur vraisemblablement une structure plus complexe, associe la plage [−c,+c].

r = 470/19 ≈= 24.7, figure 4.9, page 145 C’est la bifurcation de Hopf pr´ec´edente : les deux cycles limites instables disparaissent dans q⁺ et q⁻. Il ne reste plus qu’un seul attracteur de structure assez complexe et que D. Ruelle qualifie d’´etrange (cf. dfini-tion 19, 132).

r = 28, figure 4.10, page 146 On est en plein r´egime chaotique. Les trajectoires ont tendance `a s’enchevˆetrer (m´elange turbulent). Deux trajectoires initialement voisines se s´eparent exponentiellement car la pente de l’application de Lorenz est toujours sup´erieure

` a 1.

devient tr`es compr´ehensible.