essencial, e no caso específico em que k < (s − t + 2)(p − t + 2) a suavização essencial é uma suavização genuína. A topologia de uma fibra de uma suavização de uma variedade determinantal também foi estudada por Ballesteros, Okamoto e Tomazella em [35].
4.2 A característica de Euler evanescente de superfícies
tóricas
Dada uma superfície tórica Xσ ⊂ Ck usando resolução de singularidades e a fração
contínua de Hirzebruch-Jung obtemos um refinamento ∆σ de σ e construíremos uma
suavização especial de Xσ, assim poderemos definir a característica de Euler evanescente
de Xσ. Para a realização deste processo nos basearemos em [16].
Para resolver a singularidade de Xσ colocaremos o cone σ na sua forma normal dada
pela Proposição 2.2.13 (gerado pelos vetores e2, e pe1−qe2onde 0 ≤ q < p e mdc(p, q) = 1).
Se p = 1, então q = 0 e neste caso Xσ é difeomorfa a C2; caso contrário inserimos o raio
e1, o que proporciona um blow up do ponto singular, desde que o cone gerado pelos
vetores e1 e e2 é suave e a origem será um ponto “menos” singular do menor cone do que
o ponto singular do cone original. Para ver isto, podemos posicionar o menor cone na forma normal através de uma rotação por um ângulo de π/2 da grade (movendo e1 para
e2) e então transladando o outro vetor verticalmente até a posição (p1, −q1) com p1 = q,
0 ≤ q1 < p1 e q1 = b1q − p para algum inteiro b1 ≥ 2.
Se q1 = 0 este novo cone corresponde a uma superfície tórica suave, caso contrário
temos p q = b1− q1 p1 = b1− 1 p1 q1
e o processo pode ser repitido. Denotando a fração contínua de Hirzebruch-Jung de p/q por [[b1, . . . , br]] podemos ver que existem r novos vetores v1, . . . , vr entre os vetores dados
78 Capítulo 4 — A Característica de Euler evanescente de superfícies tóricas Exemplo 4.2.1. Consideremos σ ⊂ R2 o cone gerado pelos vetores w1 = e2 e w2 =
3e1− 2e2. A fração contínua de 3/2 é dada por
3
2 = 2 − 1 2,
logo v0 = w1 = e2, v1 = e1, v2 = 2v1 − v0 = 2e1 − e2 e v3 = 2v2 − v1 = 3e1− 2e2 = w2,
como ilustra a Figura 4.2.
Figura 4.1: Cone σ
Figura 4.2: Subdivisão ∆σ do cone
σ
Utilizando o processo de decomposição de um cone, como descrito acima, temos a seguinte.
Proposição 4.2.2 ([16], pág. 48). Se ∆σ é a subdivisão de σ obtida acrescentando os
vetores vi’s, então a variedade tórica X(∆σ), obtida a partir do leque ∆σ, é uma resolução
de singularidades de Xσ.
Observação 4.2.3. Uma superfície tórica Xσ, que é uma singularidade cíclica quociente,
sempre possui uma suavização que é localmente difeomorfa a sua resolução X(∆σ) (veja
[38], Satz 10). O problema é que esta suavização não necessariamente é única. Por exemplo, em [45] Wahl apresentou um exemplo de uma suavização da superfície tórica Xσ ⊂ C5 associada ao cone σ ⊂ R2 gerado pelos vetores v1 = e2 e v2 = 4e1 − e2, cujas
fibras Xttem característica de Euler igual a 1. Mas em [35] os autores deram um exemplo
4.2 A característica de Euler evanescente de superfícies tóricas 79 Riemenschneider provou em [38, 39] que uma superfície tórica Xσ ⊂ Ck é uma inter-
seção completa com singularidade isolada (ICIS) se, e somente se, o cone σ ⊂ R2 é gerado
por vetores da forma v1 = e2 e v2 = pe1 − qe2, onde 0 < q < p com p e q primos entre
si, tais que p = q + 1. Isto é, Xσ é uma ICIS se, e somente se, a dimensão mínima de
mergulho de Xσ é k = 3. Neste caso, X(∆σ) pode ser vista como a fibra de Milnor de
Xσ, e temos que X(∆σ) tem o mesmo tipo de homotopia de um bouquet de esferas e o
número de Milnor de Xσ é o número de esferas neste bouquet (veja [26]). Neste caso, o
número de Milnor coincide com a característica de Euler evanescente, que é
µ(Xσ) = β2(X(∆σ)) = χ(X(∆σ)) − 1
onde β2(X(∆σ)) denota o segundo número de Betti de X(∆σ). Baseados em [35] e uti-
lizando a Observação 4.2.3, apresentamos a seguinte definição:
Definição 4.2.4. Definimos a característica de Euler evanescente de uma superfície tórica Xσ por
ν(Xσ) := χ(X(∆σ)) − 1.
Para definir a característica de Euler evanescente de uma superfície tórica nós nos baseamos no trabalho [35], desenvolvido por Nuño-Ballesteros, Okamoto e Tomazella, que por sua vez se basearam no artigo [30].
Teorema 4.2.5. Seja σ ⊂ R2 o cone gerado pelos vetores w1 = pe1− qe2 e w2 = e2, onde
0 < q < p e p, q são coprimos, então
ν(Xσ) = (a2− 2) + · · · + (ak−2− 2) + (ak−1− 1),
onde a2, . . . , ak−1 são os inteiros provenientes da fração contínua de Hirzebruch-Jung de
p/(p − q).
Demonstração. Sabemos que
80 Capítulo 4 — A Característica de Euler evanescente de superfícies tóricas Mas, Xσ é uma superfície normal, então pelo Teorema 4.1.2 temos que β1(X(∆σ)) = 0.
Logo,
β2(X(∆σ)) = χ(X(∆σ)) − 1 = ν(Xσ).
Em [1] Barthel, Brasselet, Fieseler e Kaup provaram que
dimH2cld(X(∆σ)) = d1− 2,
onde d1 denota o número de cones 1-dimensionais em ∆σ e H2cld(X(∆σ)) denota o grupo
de homologia, com suporte fechado, de X(∆σ) no nível 2. Além disso, os autores provaram
em [1] que quando um leque ∆ é simplicial, então
β2(X(∆)) = β2cld(X(∆)),
onde βcld
2 (X(∆)) = dimH2cld(X(∆)). Do processo de subdivisão do cone σ, temos que o
leque ∆σ é simplicial, assim
β2(X(∆σ)) = d1− 2 = r,
onde r é a quantidade de vetores inseridos entre os vetores v0 = w1 e vr+1 = w2 para
obtermos a subdivisão ∆σ do cone σ. Além disso, como consequência de [38, 39], temos r X i=1 (bi− 1) = k−1 X j=2 (aj − 1), então r = k − 2 + r X i=1 bi− k−1 X j=2 aj ! = k − 3 + r X i=1 bi− k−1 X j=2 aj ! + 1
mas, de [21] temos que k − 3 =
r X i=1 (bi− 2), então r = r X i=1 (bi− 2) + r X i=1 bi− k−1 X j=2 aj ! + 1 = r X i=1 (bi− 1) − (k − 2) + 1.
4.2 A característica de Euler evanescente de superfícies tóricas 81 Portanto,
r = (a2− 2) + · · · + (ak−2− 2) + (ak−1− 1).
Em particular, se uma variedade n-dimensional X tem uma única suavização, o número de Milnor de X é definido como o n-ésimo número de Betti βn(Xt) da fibra Xtda suaviza-
ção de X, desde que Xt tenha homologia unicamente na dimensão média, isto é
µ(X) := βn(Xt).
Assim, temos o seguinte corolário.
Corolário 4.2.6. Se Xσ é uma superfície tórica que admite uma única suavização, então
ν(Xσ) = β2(X(∆σ)) = µ(Xσ).
Exemplo 4.2.7. Seja σ ⊂ R2 o cone gerado pelos vetores v
1 = e2 e v2 = pe1 − qe2, onde
0 < q < p e p, q são coprimos, tais que p
p − q = a − 1 b. Então, pelo Teorema 4.2.5
ν(Xσ) = (a − 2) + (b − 1).
Mas, de [38, 39] sabemos que Xσé uma superfície determinantal em C4dada pelos menores
2 × 2 da matriz z1 z2 zb−13 z2a−1 z3 z4 .
Sabemos também que uma superfície determinantal X ⊂ C4 tem uma única suavização.
Além disso, em [37] Pereira e Ruas apresentaram uma fórmula para calcular o número de Milnor neste caso, que coincide com nossa fórmula para calcular ν.
Seja X uma variedade analítica com singularidade isolada na origem. Se X possui uma suavização, sabemos que χ(Xt) é independente de t. Quando consideramos v um campo
82 Capítulo 4 — A Característica de Euler evanescente de superfícies tóricas de vetores radial contínuo em X com singularidade isolada em 0, podemos relacionar o número χ(Xt) com o índice GSV de v em X. O índice GSV foi introduzido por Gómez-
Mont, Seade e Verjovsky em [20, 40] para germes de hipersuperfícies, e extendido em [41] para interseções completas. Na Seção 3 de [8] podemos encontrar a definição deste índice para o caso em que X admite uma suavização, o qual depende da suavização dada por Π. Os autores também provaram que IndGSV(v, X, Π) = χ(Xt), assim temos o seguinte
corolário.
Corolário 4.2.8. Seja σ ⊂ R2 o cone gerado pelos vetores v1 = e2 e v2 = pe1− qe2, onde
0 < q < p e p, q são coprimos. Considere v um campo de vetores radial contínuo em Xσ
com singularidade isolada em 0. Então,
IndGSV(v, Xσ, ΠRes) = (a2− 2) + · · · + (ak−2− 2) + (ak−1),
onde a2, . . . , ak−1 são os inteiros provenientes da fração contínua de Hirzebruch-Jung de
p/(p−q) e IndGSV(v, Xσ, ΠRes) é o índice GSV de v em Xσ relativo a suavização cuja fibra
é X(∆σ), isto é, ΠRes é a aplicação plana (Definição 4.1.1) tal que ΠRes−1(t) = X(∆σ).
Em [35] Ballesteros, Okamoto e Tomazella definiram o número de Milnor de uma função f com singularidade isolada definida em uma Singularidade Determinantal Isolada X, como
µ(f |X) = #Σ( ˜f |Xt),
onde Xt é a fibra de uma suavização de X, ˜f |Xt é uma morsificação de f e #Σ( ˜f |Xt) denota o número de pontos de Morse de ˜f on Xt. Porém, utilizando a definição de índice
GSV, temos a seguinte proposição.
Proposição 4.2.9. Seja f : X → C uma função com singularidade isolada definida em uma Singularidade Determinantal Isolada X que possui suavização, e considere v o campo de vetores dado pelo gradiente da função f , então
µ(f |X) = IndGSV(v, X, Π),