3 = 5 − 1 3,
então Xσ = V (Iσ), onde Iσ é o ideal gerado pelos menores 2 × 2 da matriz
z1 z2 z32 z4 2 z3 z4 ,
isto é, Xσ é uma superfície determinantal de codimensão 2.
Exemplo 2.2.18. Seja Xσ ⊂ C5 a superfície tórica associada ao cone σ gerado pelos
vetores v1 = e2 e v2 = 4e1− e2. Da fração contínua de Hirzebruch-Jung temos
4
3 = 2 − 1 2 − 12,
então Xσ = V (Iσ), onde Iσ é o ideal gerado pelos menores 2 × 2 da matriz
z1 z2 z3 z4 z2 z3 z4 z5 ,
isto é, Xσ é uma superfície determinantal de codimensão 3.
2.3 Uma fórmula geométrica para a obstrução de Euler de variedades tóricas 51 Exemplo 2.2.19. Seja Xσ ⊂ C5 a superfície tórica associada ao cone σ gerado pelos
vetores v1 = e2 e v2 = 8e1− 3e2. Da fração contínua de Hirzebruch-Jung temos
8
5 = 2 − 1 3 − 12,
então Xσ = V (Iσ), onde Iσ é o ideal gerado pelos quasemenores da quasematriz
z1 z2 z3 z4 z2 z3 z4 z5 1 z3 1 ,
isto é, Xσ é uma superfície tórica que não é determinantal.
2.3 Uma fórmula geométrica para a obstrução de Euler
de variedades tóricas
Um dos aspectos mais interessantes das variedades tóricas é que muitas questões que em geral são difíceis, admitem simples e concretas soluções no caso tórico. O cálculo da obstrução de Euler de uma variedade algébrica V é um perfeito exemplo, pois como vimos na Seção 1.5, a obstrução de Euler não é facilmente calculável a partir de sua definição. Porém, no caso em que V é uma superfície tórica Gonzalez-Sprinberg mostrou em [21] que a obstrução de Euler de V depende apenas da dimensão mínima de mergulho desta superfície. Algum tempo depois Matsui e Takeuchi, utilizando poliedros de Newton, generalizaram o resultado de Gonzalez-Sprinberg, apresentando em [33] uma fórmula para a obstrução de Euler de uma variedade tórica V de dimensão qualquer.
Na próxima seção, utilizaremos a fórmula obtida por Gonzalez-Sprinberg para calcular a obstrução de Euler de uma classe de superfícies, denominadas superfícies multitóricas. Assim, nesta seção, apresentaremos tal fórmula e veremos alguns exemplos do cálculo da obstrução de Euler utilizando este resultado. Além disso, apresentaremos também a fórmula obtida por Matsui e Takeuchi, e utilizando tal resultado, faremos um exemplo do cálculo da obstrução de Euler no caso de uma variedade tórica 3-dimensional.
52 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler
Caso 2-dimensional
Dado um cone σ ⊂ R2 gerado pelos vetores v
1 = e2 e v2 = pe1− qe2, onde 0 < q < p
e p, q são coprimos, considere a fração contínua de Hirzebruch-Jung de p p − q = a2− 1 a3−···−11 ak−1 = [[a2, a3, . . . , ak−1]]
onde os inteiros a2, . . . , ak−1 satisfazem ai ≥ 2, para i = 2, . . . , k − 1. Como vimos na
Proposição 2.2.15, temos que a dimensão mínima de mergulho da superfície tórica Xσ,
associada ao cone σ, é igual a k.
Utilizando a fração contínua de Hirzebruch-Jung de p por p − q descrita acima e poliedros de Newton, Gonzalez-Sprinberg mostrou o surpreendente resultado.
Teorema 2.3.1 ([21]). Seja σ ⊂ R2 o cone gerado pelos vetores v1 = e2 e v2 = pe1− qe2,
onde 0 < q < p e p, q são coprimos. Considere Xσ a superfície tórica associada a σ e
suponha que a dimensão mínima de mergulho de Xσ seja k, isto é, suponha que
p
p − q = [[a2, a3, . . . , ak−1]],
onde os inteiros a2, . . . , ak−1 satisfazem ai ≥ 2, para i = 2, . . . , k − 1. Então,
EuXσ(0) = 3 − k.
O Teorema 2.3.1 diz que a obstrução de Euler de uma superfície tórica Xσ depende
apenas da dimensão mínima de mergulho de Xσ, o que torna o cálculo deste invariante
relativamente simples, uma vez que a Proposição 2.2.15 nos fornece um método prático para calcular a dimensão mínima de mergulho de Xσ.
Exemplo 2.3.2. Seja σ ⊂ R2 o cone gerado pelos vetores v
1 = e2 e v2 = 4e1− 3e2. Da
Proposição 2.2.15 temos que Xσ = V (Iσ), onde Iσ é o ideal gerado pelos menores 2 × 2
da matriz z1 z23 z2 z3 ,
2.3 Uma fórmula geométrica para a obstrução de Euler de variedades tóricas 53 isto é, Xσ é a interseção completa com singularidade isolada dada pelos zeros do binômio
z1z3− z24. Além disso, como
4
4 − 3 = [[4]]
temos que a dimensão mínima de mergulho de Xσ é 3. Assim, do Teorema 2.3.1 temos
EuXσ(0) = 3 − 3 = 0.
A seguir, utilizando o Teorema 2.3.1 apresentaremos um exemplo do cálculo da obstru- ção de Euler para uma classe de superfícies determinantais.
Exemplo 2.3.3. Seja Y ⊂ C4 a superfície determinantal dada pelos menores 2 × 2 da matriz z1 z2 z3b za 2 z3 z4 ,
onde a e b são inteiros positivos. Consideremos σ ⊂ R2 o cone gerado pelos vetores v
1 = e2 e v2 = pe1− qe2, com p = ab + b + a e q = ab + a − 1 e notemos que p p − q = b(a + 1) + a b + 1 = a + 1 − 1 b + 1,
ou seja, os inteiros a2 e a3 dados pela Proposição 2.2.15 são a + 1 e b + 1, respectivamente.
Portanto, Y = Xσ e do Teorema 2.3.1 temos que EuY(0) = −1, independente dos valores
dos inteiros a e b.
Caso geral
Dado σ ⊂ Rn um cone grade e fortemente convexo, como vimos na Seção 2.1, de-
notamos por ˇσ ⊂ (Rn)∗ o seu cone dual e por Sσ o monóide finitamente gerado ˇσ ∩ M .
Lembremos também (Observação 2.2.12), que as órbitas da ação de Tn = (C∗)n em
Xσ ⊂ Ck podem ser indexadas pelas faces ∆α ≺ ˇσ de ˇσ.
Denotemos por L(∆α) o menor subespaço linear de (Rn)∗ contendo ∆α e por Oα a
54 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler uma decomposição Xσ = [ ∆α≺ˇσ Oα
de Xσ em Tn-órbitas. Além disso, {Oα}∆α≺ˇσ forma uma estratificação de Whitney de Xσ. Assim, dado q ∈ Xσ, segue do Teorema 1.5.4 que
EuXσ(q) = X
χ(Oα∩ Bε(q) ∩ `−1(t0)).EuXσ(Oα),
onde a soma acima é estendida a todos os estratos Oα tais que q ∈ Oα, ` : Ck→ C é uma
projeção linear genérica relativa a Xσ e Bε(q) é uma bola fechada em Ck de centro q e
raio ε.
Agora, notemos que, dado q ∈ Xσ e considerando Oβ a Tn-órbita de Xσ que contém
o ponto q, temos que q ∈ Oα se, e somente se, Oβ ⊂ Oα.
Portanto, para obtermos o valor de EuXσ(q) precisamos calcular χ(Oα∩Bε(q)∩`
−1(t
0))
para toda órbita Oα tal que Oβ ⊂ Oα.
É exatamente esse cálculo que Matsui e Takeuchi apresentam em [33]. A seguir, introduziremos os conceitos e notações para enunciarmos tal resultado.
Sejam ∆β e ∆α faces de ˇσ tal que ∆β ∆α (⇔ Oβ ( Oα). Para todo q ∈ Oβ
denotaremos por lα,β o inteiro
lα,β = χ(Oα∩ Bε(q) ∩ `−1(t0)).
Notemos que lα,β não depende da escolha de q ∈ Oβ. Em [33] os autores mostraram que
lα,β pode ser descrito em termos da geometria dos cones ∆β e ∆α.
Consideremos a Z-grade Mβ := M ∩ L(∆β) cujo posto é igual a dimensão de ∆β.
Consideremos também o conjunto
L(∆β)0 := (Rn)∗/L(∆β),
onde dois vetores u, v ∈ (Rn)∗
são equivalentes se u − v ∈ L(∆β). Denotando por
2.3 Uma fórmula geométrica para a obstrução de Euler de variedades tóricas 55 a projeção natural, temos que Mβ0 := pβ(M ) ⊂ L(∆β)0 é uma Z-grade de posto n − dim∆β
e Kα,β := pβ(∆α) ⊂ L(∆β)0 é um cone em (Rn)∗ com vértice em 0 ∈ L(∆β)0.
Agora, já temos todos os elementos necessários para enunciar o seguinte.
Teorema 2.3.4 ([33]). Sejam ∆β e ∆α duas faces do cone ˇσ tal que ∆β ∆α, então
lα,β = (−1)dim∆α−dim∆β−1VolZ(Kα,β\ Θα,β),
onde Θα,βé o fecho convexo de Kα,β∩(Mβ0\{0}) em L(∆β)0 ∼= Rn−dim∆β e VolZ(Kα,β\Θα,β)
denota o (dim∆α−dim∆β)-dimensional volume normalizado (ver [18]) de Kα,β\Θα,β com
respeito a grade Mβ0 ∩ L(Kα,β).
Utilizando os Teoremas 1.5.4 e 2.3.4, temos o seguinte.
Corolário 2.3.5 ([33]). Dados q ∈ Xσ e Oβ a Tn-órbita de Xσ que contém o ponto q,
temos que
EuXσ(q) = X
α
lα,β.EuXσ(Oα),
onde a soma acima é estendida para todo α tal que ∆β ∆α e EuXσ(Oα) denota a obstrução de Euler de Xσ em um ponto de Oα.
Isto é, como consequência dos Teoremas 1.5.4 e 2.3.4 obtemos uma fórmula para a obstrução de Euler da variedade tórica Xσ que é dada em termos da geometria dos cones
∆β e ∆α.
A seguir, utilizando o Teorema 2.3.4, apresentaremos um exemplo do cálculo da obstru- ção de Euler de uma variedade tórica 3-dimensional.
Exemplo 2.3.6. Seja σ ⊂ R3 o cone grade e fortemente convexo gerado pelos vetores v1 = e1+ e2+ e3, v2 = e1+ e2 e v3 = −e1+ e2. Notemos que cada par de vetores {u1, u2},
{u1, u3} e {u2, u3} forma um conjunto de geradores dos planos ortogonais a v1, v2 e v3,
respectivamente, onde u1 = −e1+ e2, u2 = e1+ e2− 2e3 e u3 = e3. Além disso, observemos
que hui, vi ≥ 0, para todo v ∈ σ e para todo i = 1, 2, 3. Logo, os geradores do cone dual
ˇ σ são
56 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler
Figura 2.6: Cone σ ⊂ R3 gerado pelos vetores v1 = e1+ e2+ e3, v2 = e1+ e2 e
v3 = −e1+ e2 Figura 2.7: Cone dual ˇσ ⊂ (R3)
Então, pela Proposição 2.1.9 temos que os geradores do monóide Sσ são
w1 = −e∗1+ e∗2, w2 = e1∗+ e∗2− 2e∗3, w3 = e∗3
w4 = e∗2− e ∗
3, w5 = e∗2.
Agora, observemos que entre esses cinco vetores temos as seguintes relações aditivas
w1+ w2 = 2w4 e w3+ w4 = w5,
logo a variedade tórica Xσ é a variedade algébrica 3-dimensional V (Iσ) ⊂ C5, onde Iσ é o
ideal gerado pelos binômios
z1z2− z42 e z3z4− z5.
Observemos também que Xσ tem um conjunto singular de dimensão 1, mais precisamente,
temos que Sing(Xσ) = {(z1, z2, z3, z4, z5) ∈ Xσ, z1 = z2 = z4 = z5 = 0}.
Vamos agora calcular a obstrução de Euler de Xσ em seus pontos singulares. Para
isto, denotemos por ∆0 a face 0-dimensional de ˇσ, por ∆α, ∆β, ∆γas faces 1-dimensionais
2.3 Uma fórmula geométrica para a obstrução de Euler de variedades tóricas 57 2-dimensionais de ˇσ geradas por {w1, w2}, {w2, w3} e {w3, w1}, respectivamente, e por
último, denotemos por ∆α,β,γ a face 3-dimensional de ˇσ.
Antes de prosseguir, notemos que a face ∆γ do cone ˇσ corresponde a face τγ do cone
σ gerada pelos vetores v2 e v3. Porém, estes dois vetores não pertencem a nenhuma base
da grade N , e consequentemente Tγ ⊂ Sing(Xσ). Além disso, podemos mostrar que
Sing(Xσ) = Oγ = {0} ∪ Oγ. Então, o primeiro passo para calcular EuXσ(0) é calcular EuXσ(Oγ).
Como ∆γ é face dos cones ∆β,γ, ∆γ,α e ∆α,β,γ para obtermos EuXσ(Oγ) precisamos encontrar os valores dos inteiros l(β,γ),γ, l(γ,α),γ e l(α,β,γ),γ. Para isto, notemos que
L(∆γ)0 = (R3)∗/L(∆γ) ∼=(x, y, 0) ∈ R3; x, y ∈ R = R × R × {0} ,
e que Mγ0 = pγ(M ) = Z × Z × {0}. Assim, temos que:
• l(β,γ),γ = 1, pois K(β,γ),γ = pγ(∆β,γ) = h(1, 1, 0)i, então K(β,γ),γ\Θ(β,γ),γ é o segmento
de reta ligando a origem (0, 0, 0) ao ponto (1, 1, 0). Logo,
VolZ(K(β,γ),γ \ Θ(β,γ),γ) = 1.
Figura 2.8: O conjunto K(β,γ),γ
Figura 2.9: O conjunto
58 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler
• l(γ,α),γ = 1, pois K(γ,α),γ = pγ(∆γ,α) = h(−1, 1, 0)i, então K(γ,α),γ \ Θ(γ,α),γ é o
segmento de reta ligando a origem (0, 0, 0) ao ponto (−1, 1, 0). Logo,
VolZ(K(γ,α),γ\ Θ(γ,α),γ) = 1.
• l(α,β,γ),γ = −2, pois K(α,β,γ),γ = pγ(∆α,β,γ) = h(1, 1, 0), (−1, 1, 0)i, então K(α,β,γ),γ \
Θ(α,β,γ),γ é o triângulo de vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (−1, 1, 0). Além disso, temos que
o gerador w5 = e∗2 de Sσ pertence ao segmento de reta ligando (1, 1, 0) a (−1, 1, 0)
Figura 2.10: O cone K(α,β,γ),γ = K(α,β,γ),γ \ Θ(α,β,γ),γ∪ Θ(α,β,γ),γ gerado pelos vetores ~0A = e∗1+ e∗2 e ~ 0B = −e∗1+ e∗2 Figura 2.11: O conjunto K(α,β,γ),γ \ Θ(α,β,γ),γ divido pelos
triângulos 0AC e 0CB, cujos vértices pertencem a grade Mγ0 ∩ L(K(α,β,γ),γ)
logo
VolZ(K(β,γ),γ \ Θ(β,γ),γ) = 2.
Então,
EuXσ(Oγ) = 1.EuXσ(Oβ,γ) + 1.EuXσ(Oγ,α) + (−2).EuXσ(Oα,β,γ), mas as órbitas Oβ,γ, Oγ,α e Oα,β,γ estão contidas na parte regular de Xσ, logo
2.3 Uma fórmula geométrica para a obstrução de Euler de variedades tóricas 59 Portanto,
EuXσ(Oγ) = 0.
Para prosseguirmos e encontrarmos o valor de EuXσ(0) precisamos obter os inteiros
lγ,0, lβ,0, lα,0, l(β,γ),0, l(γ,α),0, l(α,β),0 e l(α,β,γ),0, pois o cone ∆0 é face dos cones ∆γ, ∆β, ∆α,
∆β,γ, ∆γ,α, ∆α,β e ∆α,β,γ. Para isto, notemos que
L(∆0)0 = (R3)∗/L(∆0) ∼= R3,
e que p0 : (R3)∗ → L(∆0)0 é a identidade. Assim, temos que:
• lγ,0 = lβ,0 = lα,0 = 1. De fato, como p0 é a identidade, temos que Kγ,0 = ∆γ,0
e consequentemente Kγ,0 \ Θγ,0 é o segmento de reta ligando a origem (0, 0, 0) ao
ponto (0, 0, 1). Logo,
VolZ(Kγ,0\ Θγ,0) = 1.
De forma análoga, temos que Kβ,0\ Θβ,0 é o segmento de reta ligando a origem ao
ponto (1, 1, −2) e que Kα,0\ Θα,0 é o segmento de reta ligando a origem ao ponto
(1, −1, 0). De onde, segue que
V olZ(Kβ,0\ Θβ,0) = V olZ(Kα,0\ Θα,0) = 1.
• l(β,γ),0 = −1, pois K(β,γ),0 = p0(∆β,γ) = ∆β,γ, então K(β,γ),0 \ Θ(β,γ),0 é o triângulo
de vértices (0, 0, 0), (1, 1, −2) e (0, 0, 1). Além disso, observemos que o triângulo
K(β,γ),0\ Θ(β,γ),0 não contém nenhum outro gerador do monóide Sσ, logo
VolZ(K(β,γ),0\ Θ(β,γ),0) = 1.
• l(γ,α),0 = −1, pois K(γ,α),0 = p0(∆γ,α) = ∆γ,α, então K(γ,α),0\ Θ(γ,α),0 é o triângulo
de vértices (0, 0, 0), (−1, 1, 0) e (0, 0, 1). Além disso, observemos que o triângulo
K(γ,α),0\ Θ(γ,α),0 não contém nenhum outro gerador do monóide Sσ, logo
60 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler
• l(α,β),0 = −2, pois K(α,β),0 = p0(∆α,β) = ∆α,β, então K(α,β),0\Θ(α,β),0é o triângulo de
vértices (0, 0, 0), (−1, 1, 0) e (1, 1, −2). Além disso, temos que o gerador w4 = e∗2−e ∗ 3
de Sσ pertence ao segmento de reta ligando (−1, 1, 0) a (1, 1, −2), logo
VolZ(K(α,β),0\ Θ(α,β),0) = 2.
• l(α,β,γ),0 = 4, pois K(α,β,γ),0 = p0(∆α,β,γ) = ˇσ, então o conjunto K(α,β,γ),0\ Θ(α,β,γ),0
tem vértices (0, 0, 0), (−1, 1, 0), (1, 1, −2), (0, 0, 1), (0, 1, −1) e (0, 1, 0),
Figura 2.12: O conjunto K(α,β,γ),0\ Θ(α,β,γ),0 é a união dos tetraedros OABE, OAEC,
OACD e EABC
ou seja, o conjunto K(α,β,γ),0\ Θ(α,β,γ),0 contém todos os geradores do monóide Sσ,
logo
VolZ(K(α,β,γ),0\ Θ(α,β,γ),0) = 4.
Agora, lembrando que SingXσ = {0} ∪ Oγ, temos que
EuXσ(0) = 1.1 + 1.1 + 1.0 + (−1).1 + (−1).1 + (−2).1 + 4.1 = 2.
2.4 Superfícies multitóricas e obstrução de Euler
Seja σ ⊂ R2 um cone grade e fortemente convexo, como vimos na Seção 2.2, exis- tem ferramentas que nos auxiliam a estudar algumas propriedades da superfície tórica Xσ de forma relativamente simples. Além disso, os métodos apresentados por Riemen-
2.4 Superfícies multitóricas e obstrução de Euler 61 schneider em [38, 39] nos permitem dizer facilmente quais superfícies tóricas são também superfícies determinantais, o que é muito importante, uma vez que para estas superfícies determinatais temos diretamente o cálculo da obstrução de Euler através da fórmula de Gonzalez-Sprinberg, que apresentamos na última seção. Motivados por este fato, em [10] os autores apresentaram uma classe de superfícies denominadas superfícies multitóricas, que apesar de não serem necessariamente superfícies tóricas, estas superfícies tem a pro- priedade que suas componentes irredutíveis são superfícies tóricas. Além disso, em [10] os autores mostraram que existem classes de superfícies determinantais que são superfí- cies multitóricas. Tal fato, nos permite calcular a obstrução de Euler de tais superfícies utilizando apenas a dimensão mínima de mergulho de cada uma de suas componentes irredutíveis, o que podemos calcular utilizando a Proposição 2.2.15.
Nesta seção, introduziremos a noção de superfícies multitóricas. Em particular, a- presentamos uma fórmula para calcular a obstrução de Euler de tais superfícies. Como uma aplicação desta fórmula calculamos a obstrução de Euler de algumas famílias de superfícies determinantais.
Superfícies multitóricas
Começaremos apresentando o conceito de superfícies multitóricas, que a grosso modo, são superfícies tais que cada uma de suas componentes irredutíveis é uma superfície tórica. Definição 2.4.1. Diremos que uma superfície Y ⊂ Ck é uma superfície multitórica se existe uma ação ϕ : T2×Ck → Ckde T2 em Ck tal que ϕ dá a cada componente irredutível
de Y uma estrutura de superfície tórica. No caso particular em que uma superfície multi- tórica Y tiver duas componentes irredutíveis diremos que Y é uma superfície bitórica e no caso em que Y for composta por três componentes irredutíveis, diremos que Y é uma superfície tritórica.
A definição de superfícies multitóricas foi motivada pelo estudo inicial do Exemplo 2.4.4, que é um exemplo de uma superfície que é bitórica e determinantal.
A seguir, usando o trabalho de Gonzalez-Sprinberg [21], calculamos a obstrução de Euler de uma superfície multitórica.
62 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler Proposição 2.4.2. Seja Y ⊂ Ck uma superfície multitórica, e suponha que Y = Y1 ∪
· · · ∪ Ym∪ Ym+1∪ · · · ∪ Ym+s, onde Ym+1, . . . , Ym+s são as componentes irredutíveis de Y
com singularidade isolada na origem. Então, EuY(0) = m + 3s − m1− · · · − ms, onde mi
é a menor dimensão de mergulho de cada componente Ym+i com singularidade.
Demonstração. Em [21] Gonzalez-Sprinberg provou que
EuYm+i(0) = 3 − mi.
Portanto, o resultado segue da igualdade
EuY(0) = EuY1(0) + · · · + EuYm(0) + EuYm+1(0) + · · · + EuYm+s(0),
a qual foi provada por MacPherson em [32].
No caso de dimensões maiores, apresentamos a seguinte definição de variedades multi- tóricas.
Definição 2.4.3. Diremos que uma variedade n-dimensional Y ⊂ Ck é uma variedade
multitórica se existe uma ação ϕ : Tn × Ck
→ Ck
de Tn em Ck tal que ϕ dá a cada componente irredutível de Y uma estrutura de uma n-dimensional variedade tórica.
Obstrução de Euler de superfícies determinantais
Nesta seção, usando a Proposição 2.4.2 daremos uma fórmula para o cálculo da ob- strução de Euler de algumas classes de superfícies determinantais, fornecendo um método para calcular este invariante neste caso.
Exemplo 2.4.4. Consideremos a superfície determinantal Y ⊂ C5 dada pelos menores 2 × 2 da matriz B = z1 z2 z3b z3b−1z4c za 2 z3 z4 z5
onde a, b, c são inteiros positivos com b ≥ 2. Em [38, 39] Riemenschneider provou que dados a, b, c inteiros positivos, existem m, q inteiros positivos satisfazendo 0 < q < m e
2.4 Superfícies multitóricas e obstrução de Euler 63 (m, q) = 1, tal que a superfície tórica Xσ obtida através do cone σ ⊂ R2 gerado pelos
vetores v1 = e2 e v2 = me1− qe2 é a superfície Xσ = V (Iσ) ⊂ C5, onde Iσ é o ideal gerado
pelos binômios
f1 = z1z3− z2a+1 f2 = z1z4 − za2z3b f3 = z1z5− z2az b−1
3 z4c
f4 = z2z4− z3b+1 f5 = z2z5− z3bzc4 f6 = z3z5− z4c+1.
Agora, se b ≥ 2, note que os menores 2 × 2 da matriz B são f1, f2, f3, f4, f5 e g = z3b−1f6.
Então, entre os geradores de Iσ e JY, onde Y = V (JY), existe diferença somente entre os
binômios z3z5− z4c+1 e z b 3z5− z3b−1z c+1 4 ,
assim, a equação z3 = 0 é a única que faz diferença entre as superfícies Xσ e Y . Então,
temos Xσ ⊂ Y e
ZY := Y \ Xσ = {0} × {0} × {0} × C∗× C.
Agora, observe que o fecho do conjunto ZY em Y é
ZY = {0} × {0} × {0} × C × C,
ou seja, as componentes irredutíveis da superfície Y são Xσ e ZY que são superfícies
tóricas.
64 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler Em [38, 39] Riemenschneider provou que
u1 = e1, u2 = e1+ e2,
u3 = ((a + 1)u12− u11)e1+ ((a + 1)u22 − u21)e2,
u4 = ((b + 1)u13− u12)e1+ ((b + 1)u23− u22)e2,
u5 = ((c + 1)u14− u13)e1+ ((c + 1)u24− u23)e2
forma uma base para o monóide Sσ, então a ação ϕ de T2 em C5 dada por
ϕ(t = (t1, t2), (z1, z2, z3, z4, z5)) = (tu1z1, tu2z2, tu3z3, tu4z4, tu5z5), onde tui = tu 1 i 1 t u2 i
2 e ui = u1ie1+ u2ie2, 1 ≤ i ≤ 5 dá a Xσ uma estrutura de superfície tórica.
Além disso, note que ZY é a união das órbitas
O(0,...,0), O(0,...,0,1), O(0,...,0,1,0), O(0,...,0,1,1),
de ϕ, onde O(0,...,0,1,1) é homeomorfo ao toro T2 e O(0,...,0,1,1) = ZY. Note ainda, que
LY := Xσ ∩ ZY = O(0,0,0,0,1).
Então, Y é uma superfície bitórica com apenas uma componente irredutível singular. Portanto, da Proposição 2.4.2 temos que
EuY(0) = −1.
Como uma generalização do Exemplo 2.4.4 temos o seguinte Teorema:
Proposição 2.4.5. Seja Y ⊂ Ck a superfície determinantal dada pelos menores 2 × 2 da
matriz z1 z2 · · · zk−3 zk−2b z b−1 k−2zk−1c za 2 z3 · · · zk−2 zk−1 zk
onde a, b, c são inteiros positivos com b ≥ 2. Então, Y é uma superfície bitórica e EuY(0) = 4 − k.
2.4 Superfícies multitóricas e obstrução de Euler 65 Demonstração. De maneira análoga ao que fizemos no Exemplo 2.4.4 podemos provar que Y é uma superfície bitórica com apenas uma componente irredutível singular, então o resultado segue da Proposição 2.4.2.
Observemos que a Proposição 2.4.5 implica que a obstrução de Euler de Y depende apenas da dimensão mínima de mergulho de Y , o que podemos calcular utilizando a Proposição 2.2.15. Então, motivados pela Proposição 2.4.5 estudamos outras classes de superfícies determinantais e temos os seguintes resultados.
Proposição 2.4.6. Seja Y ⊂ Ck a superfície determinantal dada pelos menores 2 × 2 da
matriz C = z1 z2 z3 · · · zk−3 zk−2c z c−1 k−2z d k−1 za 2z b−1 3 z3b z4 · · · zk−2 zk−1 zk
onde a, b, c, d são inteiros positivos com b, c ≥ 2. Então, Y é uma superfície multitórica e EuY(0) = 5 − k.
Demonstração. Desenvolvendo um processo análogo ao que fizemos no Exemplo 2.4.4, provamos que Y tem 3 componentes irredutíveis, ou seja, usando [38, 39] podemos provar que dados a, b, c, d inteiros positivos, existe uma superfície tórica Xσ = V (Iσ) contida em
Y cuja menor dimensão de mergulho é k e tal que o ideal Iσ é gerado por
C2(k−1) = (k − 1)!
2!(k − 3)! =
(k − 1)(k − 2) 2
binômios. Comparando os binômios dados pelos menores da matriz C e os geradores do ideal Iσ podemos ver que existe diferença somente entre dois destes binômios, esta
diferença gera dois planos em Ck que são as componentes irredutíveis suaves de Y . Além disso, usamos a ação de T2 em Ck dada pela combinatória do cone σ para provar que Y
é uma superfície tritórica. Então, o resultado segue da Proposição 2.4.2.
Proposição 2.4.7. Seja Y ⊂ Ck+1 a superfície determinantal dada pelos menores 2 × 2 da matriz z1 z2 z3 · · · zk−1 zkbzk+1 za2 z3 z4 · · · zk zk+12
66 Capítulo 2 — Ações tóricas e obstrução de Euler onde a, b são inteiros positivos. Então, Y é uma superfície multitórica e EuY(0) = 5 − 2k.
Demonstração. Note que Y tem duas componentes irredutíveis, que são V (I1) e V (I2),
com I1 = hIσ1, zk+1i e I2 = Iσ2, onde o ideal Iσ1 é gerado pelos menores 2 × 2 da matriz z1 z2 z3 · · · zk−1 z2a z3 z4 · · · zk
e o ideal Iσ2 é gerado pelos menores 2 × 2 da matriz z1 z2 z3 · · · zk−1 zkb za 2 z3 z4 · · · zk zk+1 ,
isto é, V (I1) é a superfície tórica Xσ1 imersa em C
k+1 e V (I
2) é a superfície tórica Xσ2, onde σ1 ⊂ R2 é o cone gerado pelos vetores v11 = e2, v21 = wke1− uke2 e σ2 ⊂ R2 é o cone
gerado pelos vetores v2
1 = e2, v22 = wk+1e1− uk+1e2 com
u1e1+ w1e2 = e1,
u2e1+ w2e2 = e1+ e2,
u3e1+ w3e2 = ((a + 1)u2− u1)e1+ ((a + 1)w2 − w1)e2,
u4e1+ w4e2 = (2u3− u2)e1+ (2w3 − w2)e2, u5e1+ w5e2 = (2u4− u3)e1+ (2w4 − w3)e2, .. . uke1+ wke2 = (2uk−1− uk−2)e1+ (2wk−1− wk−2)e2, uk+1e1+ wk+1e2 = ((b + 1)uk− uk−1)e1+ ((b + 1)wk− wk−1)e2.
Além disso, a ação ϕ : T2× Ck+1 −→ Ck+1 dada por
ϕ((t1, t2), (z1, . . . , zk+1)) = (t1z1, tu12t w2 2 z2, . . . , tu1kt wk 2 zk, t uk+1 1 t wk+1 2 zk+1)
dá a cada componente irredutível de Y a estrutura de uma superfície tórica. Portanto, Y é uma superfície bitórica e o resultado segue da Proposição 2.4.2.
Capítulo
3
Obstrução de Euler de uma função em
superfícies tóricas
Um importante invariante de um germe de função analítica f : (Ck, 0) → (C, 0) com
ponto crítico isolado na origem é o seu número de Milnor, denotado por µ(f ), definido como sendo dimCOk/J (f ), onde Ok é o anel dos germes na origem de funções analíticas
e J (f ) é o ideal jacobiano de f .
Este invariante fornece várias informações sobre a geometria de f , por exemplo, no caso em que f tem ponto crítico isolado na origem o número de Milnor µ(f ) coincide, a menos de sinal, com o índice de Poincaré-Hopf do campo gradiente de f conjugado ∇f , que denotaremos por IndP H(∇f , 0).
Suponhamos agora que (X, 0) seja um germe de um espaço analítico complexo mer- gulhado em Ck. Uma das possíveis generalizações de Ind
P H(∇f , 0) é a obstrução de Euler
de f na origem, denotada por Euf,X(0).
A obstrução de Euler de uma função f foi introduzida por Brasselet, Massey, Para- meswaran e Seade em [6]. O objetivo dos autores em [6] é entender o que impede a obstrução de Euler local de satisfazer à condição de Euler para funções analíticas com singularidade isolada na origem. Este defeito é chamado obstrução de Euler local de f .
Neste capítulo, que é baseado na última seção do artigo [11] desenvolvido por Dalbelo, Grulha e Pereira, apresentamos um novo resultado sobre a obstrução de Euler de uma
68 Capítulo 3 — Obstrução de Euler de uma função em superfícies tóricas função f definida em uma superfície tórica normal Xσ. Como uma aplicação deste resul-
tado, calculamos a obstrução de Euler de uma família de polinômios definidos em uma classe de superfícies determinantais.
3.1 Obstrução de Euler de uma função
Para o desenvolvimento desta seção, introduziremos noções básicas sobre funções com- plexas definidas em espaços singulares, mas especificamente variedades analíticas. Em [28], Lê introduziu a noção de funções analíticas com singularidade isolada sobre um espaço analítico complexo X com uma estratificação de Whitney {Vi}.
Sejam (X, 0) germe de espaço analítico complexo n-dimensional, equidimensional e X ⊂ U um representante do germe, com U aberto de Ck. Consideremos {Vi} uma
estratificação de Whitney de U , adaptada à X. Suponhamos que a origem seja um estrato e que o representante X é suficientemente pequeno para que {0} esteja no fecho de todos os estratos. Denotaremos por Vi(x) o estrato que contém x ∈ X.
Seja agora f : X → C uma função analítica, a qual é a restrição de uma função analítica ˜f : U → C.
Definição 3.1.1. Um ponto x ∈ X é um ponto singular de f se d ˜fx(Tx(Vi(x))) = 0,
ou seja, Tx(Vi(x)) ⊂ ker(d ˜fx). Dizemos que f tem uma singularidade isolada em 0 ∈ X,
relativa à estratificação de Whitney de X, se em uma vizinhança de 0 em X, a origem é o único ponto singular.
Com a construção a seguir, associaremos a f um campo estratificado denotado por ∇Xf . Denotemos por ∇ ˜f (x) o campo vetorial gradiente conjugado de ˜f sobre um ponto
x ∈ U , definido por ∇ ˜f (x) = ∂ ˜f ∂x1 , · · · , ∂ ˜f ∂xk ! , onde a barra significa a conjugação complexa.
Consideremos f com uma singularidade isolada em 0 ∈ X, isto implica que o núcleo ker(d ˜fx) é transversal à Tx(Vi(x)) para todo x ∈ X\{0}, assim
3.1 Obstrução de Euler de uma função 69 onde Angh·, ·i denota o ângulo entre um vetor e um espaço vetorial. Então a projeção ortogonal de ∇ ˜f (x) sobre Tx(Vi(x)), que denotaremos por bζi(x), é não nula.
x
∇ ˜f (x)
TxVi
Seja Vj um estrato tal que Vi ⊂ Vj, e seja π : Ui → Vi uma vizinhança tubular de
Vi em U . Seguindo a construção de Schwartz [42], temos que a condição (a) de Whitney
implica que para todo ponto y ∈ Vj ∩ Ui, o ângulo entre bζj(y) e a extensão paralela
de bζi(π(y)) é pequeno. Esta propriedade implica que estes dois campos de vetores são
homotópicos sobre o bordo de Ui, para Ui suficientemente pequeno. Podemos então colar
os campos de vetores bζi(x) para obter um campo de vetores contínuo estratificado sobre
X, que denotaremos por ∇Xf . Este campo de vetores é homotópico à ∇ ˜f |X e temos
∇Xf 6= 0 para todo x ∈ X\{0}.
Analogamente ao caso de um campo radial, utilizando a transformada de Nash definida na Seção 1.3, podemos também levantar o campo ∇Xf como uma seção de eT sobre
ν−1(X ∩ ∂Bε) sem singularidades. Denotemos esta seção por ∇˜Xf . A seção ∇˜Xf define
um cociclo de obstrução O(∇˜Xf ), que mede a obstrução para estender ∇˜Xf como seção
não nula de eT sobre ν−1(X ∩ Bε) :
O( ˜∇Xf ) ∈ H2n(ν−1(X ∩ Bε), ν−1(X ∩ ∂Bε)).
Desta forma temos a seguinte definição.
Definição 3.1.2 ([6]). A obstrução de Euler de f na origem, denotada por Euf,X(0), é o
inteiro obtido pela avaliação do cociclo de obstrução O(∇˜Xf ) sobre a classe fundamental
(ν−1(X ∩ Bε), ν−1(X ∩ ∂Bε)), ou seja,
70 Capítulo 3 — Obstrução de Euler de uma função em superfícies tóricas O seguinte resultado compara a obstrução de Euler de um espaço X com a obstrução de Euler de uma função em X.
Teorema 3.1.3 ([6]). Sejam (X, 0) e {Vi} como antes e considere f : (X, 0) → (C, 0)
uma função holomorfa com uma singularidade isolada em 0. Para 0 < |δ| ε 1 temos: Euf,X(0) = EuX(0) − q X i=1 χ Vi ∩ Bε∩ f−1(δ) · EuX(Vi) ! .
Uma referência para o desenvolvimento da obstrução de Euler de uma função é [4].
3.2 Obstrução de Euler de uma função em superfícies
tóricas
Sejam Xσ uma superfície tórica normal e f : Xσ → C uma função analítica com
singularidade isolada na origem. Nesta seção, calcularemos a obstrução de Euler de f . Dada Xσ ⊂ Ck uma superfície tórica, como vimos na Seção 2.2, o cone σ ⊂ R2 é