TurtleKit : simulation de systèmes complexes

O Método de Duas-Fases é um framework genérico utilizado para a resolu¸cão de POCMs. Ele foi proposto por Ulungu e Teghem (1995) para a solu¸cão de problemas com dois objetivos (p = 2) e mais tarde foi estendido por Przybylski et al (2010) para o ataque a problemas com mais de dois objetivos (p > 2).

As duas fases do m´etodo s˜ao:

• Fase 1: Solu¸cões suportadas para o problema são determinadas através da resolu¸cão de problemas mono-objetivo parametrizados.

• Fase 2: Técnicas de explora¸cão do Espa¸co de Solu¸cões são utilizadas com intuito de se gerar solu¸cões eficientes não-suportadas.

A primeira etapa do m´etodo se baseia no Teorema de Geoffrion (Geoffrion, 1968) que garante que, caso exista um vetor λ∈ Rk_{, com λ}

i > 0 (i = 1, . . . , k), tal que x∗ seja

solu¸cão do problema parametrizado (3.2), x∗_{é uma solu¸cão eficiente. Nesta fase, objetiva-}

se gerar o XSEm (Conjunto Completo M´ınimo de Solu¸c˜oes Eficientes Suportadas).

Os conjuntos de pesos para a parametriza¸cão dos POMs são gerados segundo o Esquema Dicotômico proposto por Aneja e Nair (1979). Embora na Fase 1 se pretenda gerar XSEm, o esquema proposto por Aneja e Nair (1979) se limita a gerar XSE1m (Conjunto

Completo M´ınimo de Solu¸cões Eficientes Suportadas Extremas). Dessa forma, a adapta¸cão proposta por Przybylski et al (2008) é colocada em prática.

O Algoritmo 3, que também é composto pelo Algoritmo 4, sintetiza a primeira fase do método quando p = 2.

O Algoritmo 3 é iniciado resolvendo-se os problemas lexicográficos apresentados nas Linhas 3 e 5. A escolha por problemas de otimiza¸cão lexicográfica provem do Teorema 3.1, na Se¸cão 3.2, que garante que uma solu¸cão lexicograficamente ótima é sempre eficiente. Os problemas lexicográficos poderiam ter sido substitu´ıdos por problemas parametrizados com

Algoritmo 3 Fase 1

1: Entrada: Vetor de objetivos f1(x) e f2(x) 2: Sa´ıda: Conjunto de Solu¸c˜oes Eficientes XSE 3: Resolver lexminx∈X(f1(x), f2(x)) (I) 4: x1 _{Solu¸c˜ao de (I)}

5: Resolver lexminx∈X(f2(x), f1(x)) (II) 6: x2 _{Solu¸c˜ao de (II)}

7: XSE ={x1, x2}

8: SolveRecursion(x1, x2, XSE)

conjuntos de pesos respectivamente iguais a (1, 0) e (0, 1) nas linhas 3 e 5. Entretanto, como afirmam Przybylski et al (2008), as solu¸c˜oes obtidas a partir desses problemas poderiam vir a ser dominadas.

Os problemas nas Linhas 3 e 5 podem ser resolvidos através do Algoritmo 1. Con- tudo, dado que essa abordagem envolve a altera¸cão do espa¸co de solu¸cões através da inclusão de restri¸cões, ela pode ser custosa do ponto de vista computacional. Nesse contexto, Przybylski et al (2008) propõem um procedimento alternativo que permite a gera¸cão de solu¸cões lexicográficas. Nesse método, uma solu¸cão x1 para o problema

lexminx∈X(f1(x), f2(x)) é obtida em duas etapas. Inicialmente, uma solu¸cão x′1 é deter-

minada resolvendo-se o problema paramétrico que considera o conjunto de pesos (1, 0). Em seguida, a fim de se otimizar o segundo objetivo sem que se degrade o valor do primeiro, utiliza-se um conjunto de pesos λ que é definido pela reta normal à linha que liga os pontos (f1(x′1), f2(x′1)) e (f1(x′1) + 1,−1)), nesse caso, λ1 = f2(x′1) + 1 e λ2 = 1. O

problema lexminx∈X(f2(x), f1(x)), que resulta em uma solu¸c˜ao x2, ´e resolvido da mesma

forma, onde x′

2 ´e a solu¸c˜ao do problema parametrizado com pesos (0, 1). Os pesos λ1 = 1

e λ2 = f1(x′2) + 1 s˜ao utilizados para se otimizar f1(x) sem que o valor de f2(x) seja

degradado. Uma vez que as solu¸cões lexicográficas tenham sido obtidas, o método Sol- veRecursion é chamado.

Durante o procedimento SolveRecursion, um problema fλ_{, ponderado pelos pesos}

λ1 = z2(xr)− z2(xs) e λ2 = z1(xs)− z1(xr), ´e resolvido (Linha 4). De posse de uma solu¸c˜ao

xλ_{, duas situa¸c˜oes podem acontecer.}

1. Caso a imagem da solu¸c˜ao xt _{esteja situada na linha que liga os pontos z(x}r_{) e}

z(xs_{) (f (x}t₎ _{⊂ z(x}r_{) z(x}s_{)), a nova solu¸cão é eficiente suportada e é adicionada ao}

s˜ao geradas.

2. Caso a imagem da solu¸c˜ao xt _{n˜ao esteja situada na linha que liga os pontos z(x}r_{) e}

z(xs_{) (f (x}t₎_{∩ z(x}r_{) z(x}s_{) =}_{∅), a nova solu¸cão é adicionada ao conjunto de solu¸cões}

eficientes, e dois novos problemas s˜ao resolvidos: SolveRecursion(xr_{, x}t1, X SE) e

SolveRecursion(xt2

, xs_{, X}

SE), onde xt1 e xt2 s˜ao solu¸c˜oes eficientes cujos valores

para o primeiro objetivo s˜ao m´ınimo e m´aximo, respectivamente.

Algoritmo 4 SolveRecursion(xr_{, x}s_{, X} SE)

1: Entrada: Duas solu¸c˜oes suportadas xr _{e x}s_{, e um conjunto de solu¸c˜oes eficientes X} SE

inicializado no Algoritmo 3

2: Sa´ıda: Um conjunto de solu¸c˜oes eficientes XSE melhorado 3: λ1 = f2(xr)− f2(xs), λ2 = f1(xs)− f1(xr)

4: Resolver minx∈X λ1f1(x) + λ2f2(x) (III)

5: xt é a solu¸cão do Problema (III) e f (xt) é o vetor com de objetivos 6: S = {x ∈ X | λ1f1(x) + λ2f2(x) = f (xt)} 7: Atualizar XSE = XSE∪ S 8: se f (xt₎_{∩ z(x}r_)z(xs_{) =}_{∅ então} 9: SolveRecursion(xr_{, x}t1 , XSE) 10: SolveRecursion(xt2 , xs_{, X} SE) 11: fim se

A Fase 1 do m´etodo termina quando nenhum problema for mais gerado e o conjunto XSEm ´e a sa´ıda do Algoritmo 3.

Diferentemente do que ocorre na primeira fase, na Fase 2 do método não há uma forma fixa para determina¸cão das solu¸cões não-suportadas (Lust, 2009). A forma como novas solu¸cões vão ser geradas varia de acordo com o problema. Um aspecto comum a todas as abordagens, entretanto, diz respeito ao fato de a Fase 2 ser enumerativa.

Como nos POMs com p = 2 as solu¸cões não-suportadas são localizadas no interior do triângulo formado por duas solu¸cões eficientes suportadas consecutivas e o seu ponto ideal local, a busca por novas solu¸cões se limita a esse espa¸co. Assim, os métodos de enumera¸cão empregados nessa fase fazem uso da informa¸cão obtida na primeira fase.

Diversos autores tem aplicado com grande sucesso o Método de Duas Fases na obten¸cão de solu¸cões eficientes para problemas de otimiza¸cão combinatória multiobjetivo. Ulungu e Teghem (1995) e Przybylski et al (2008) desenvolveram métodos para a gera¸cão de solu¸cões eficientes no contexto dos problemas de aloca¸cão. Os primeiros estabeleceram

lower e upper bounds para os valores dos objetivos visando limitar o espa¸co de solu¸cões. Os outros utilizaram um algoritmo baseado em ranqueamento para a enumera¸cão das solu¸cões eficientes. Visée et al (1998) utilizaram procedimentos de Branch and Bound buscando enumerar solu¸cões eficientes não-suportadas para o problema bi-objetivo da mochila.

Dans le document Approches environnement-centrées pour la simulation de systèmes multi-agents (Page 79-82)