IV. 3.1 ´ Ecoulement de Ringleb
IV.3.2 Turbine VKI LS59
La turbine VKI-LS59 est une aube de turbine fortement charg´ee `a bord de fuite arrondi, dessin´ee pour une condition sonique en sortie. De nombreux r´esultats num´eriques [77] et exp´erimentaux [67, 2] sont disponibles dans la litt´erature. Les caract´eristiques de la turbine LS59 sont donn´ees dans le tableau IV.1.
Corde 60.0 mm
Distance inter-aube 50.7 mm
Angle de l’´ecoulement amont 30◦
Tableau IV.1 – VKI-LS59 - Caract´eristiques g´eom´etriques de l’aubage
Nous consid´erons ci-dessous des conditions de fonctionnement correspondant `a un nombre de Mach isentropique de sortie ´egal `a 1. Le nombre de Reynolds bas´e sur les conditions de sortie et la corde est de 7.44 × 105. Les diff´erents param`etres num´eriques utilis´es sont d´etaill´es dans
le tableau IV.2. La solution stationnaire est obtenue en utilisant une phase implicite de type
LU-SSOR d´ecrite dans le chapitre II avec un nombre de CF L ´egal `a 10. La convergence des
calculs stationnaires est telle que que la norme L2des r´esidus est baiss´ee de 8 ordres de grandeur
environ sur la masse volumique, avec une convergence des d´ebits d’entr´ee/sortie (figure IV.11). Le mod`ele de turbulence utilis´e est le mod`ele de Spalart-Allmaras. Le maillage utilis´e est un maillage bi-dimensionnel en C, illustr´e sur la figure IV.12 compos´e de 365 × 33 cellules.
Figure IV.11 – VKI-LS59 - Convergence des r´esidus de densit´e
M´ethodes M3 QGO2 LSQO2
Reconstruction M3 MCS2 MCS2
Flux convectif Roe Roe Roe
Flux diffusif 5p 5p 5p
Gradient Green-Gauss quasi-Green Moindres carr´es
Tableau IV.2 – VKI-LS59 - Caract´eristiques num´eriques
Une vue du champ de nombre de Mach obtenu avec la MCS bas´e sur l’op´erateur quasi-Green autour de l’aube est fournie par la figure IV.13. Les champs fournis par les autres m´ethodes
IV.3. VALIDATION ET ´EVALUATION DE LA M ´ETHODE DES CORRECTIONS SUCCESSIVES
Figure IV.12 – VKI-LS59 - Maillage et conditions aux limites
Figure IV.13 – VKI-LS59 - Iso-contours de nombre de Mach et lignes de courant
sont similaires.
La figure IV.14a montre la distribution du nombre de Mach isentropique `a la paroi. Tous les r´esultats sont en raisonnable accord avec les donn´ees exp´erimentales.
La figure IV.14b indique que la m´ethode de moindres carr´es surestime le frottement pari´etal de mani`ere consid´erable. Le frottement pari´etal est la cons´equence de la couche limite turbu- lente qui se d´eveloppe sur l’aubage. Pour comprendre les ´ecarts observ´es sur le coefficient de frottement entre les diff´erentes simulations, on propose une analyse de la couche limite. Pour cela, on trace les ´epaisseurs de couche limite, de d´eplacement et de quantit´e de mouvement :
(a) Distribution de Mach isentropique (b) Distribution du frottement pari`etal
Figure IV.14 – VKI-LS59 - Distribution de Mach isentropique et du frottement pari´etal en fonction de la corde adimensionn´ee
δ, δ∗, θ en fonction de de la corde adimensionn´ee. Les profils de vitesses de couche limite `a plu- sieurs coordonn´ees sont ´egalement trac´es sur la figure IV.16.
(a) ´Epaisseur de couche limite δ (b) ´Epaisseur de quantit´e de mouve- ment θ
(c) ´Epaisseur de d´eplacement δ∗
Figure IV.15 – VKI-LS59 - Propri´et´es de la couche limite de l’extrados en fonction de la corde adimensionn´ee
La figure IV.15a montre que la m´ethode de moindres carr´es pr´edit mal l’´epaisseur de la couche limite : en effet celle-ci est tr`es r´eduite par rapport aux m´ethodes quasi-Green et M3. Les m´ethodes quasi-Green et M3 donnent des r´esultats semblables sur les diff´erentes propri´et´es de la couche limite. Les r´esultats similaires sont observ´es pour les ´epaisseurs δ∗ et θ (figures IV.15b et IV.15c).
La figure IV.16 illustre les profils de vitesse `a plusieurs abscisses le long de l’aube. Encore une fois, le quasi-Green est tr`es proche de la m´ethode de base M3 tandis que les moindres carr´es sous-estiment largement la taille de couche limite. Cette analyse approfondie confirme les r´esultats obtenus sur le coefficient de frottement pari´etal de la figure IV.14b.
IV.3. VALIDATION ET ´EVALUATION DE LA M ´ETHODE DES CORRECTIONS SUCCESSIVES
(a) xc = 0.4 (b) xc = 0.8 (c) xc = 0.95
Figure IV.16 – VKI-LS59 - Profils de vitesse dans la couche limite en fonction de la distance normale `a la paroi dw
La mauvaise pr´ediction des quantit´es pari´etales des m´ethodes de moindres carr´es est due au fait que le gradient normal `a la paroi est sous-estim´e et donc le mod`ele de turbulence ne se d´eclenche pas. En effet, si on trace le profil de la viscosit´e tourbillonnaire du mod`ele de Spalart ρ˜ν, en fonction de la distance `a la paroi dw, on observe que la quantit´e de viscosit´e turbulente calcul´ee avec les m´ethodes de moindres carr´es est n´egligeable et tr`es diff´erente de celle obtenue avec les autres m´ethodes (figure IV.17). Une correction, propos´e par Courbet dans le logiciel CEDRE permet de rem´edier `a ce probl`eme mais cependant se traduit par une perte locale de la pr´ecison. La sous-estimation du gradient normal `a la paroi par les m´ethodes de moindres carr´es a ´egalement ´et´e mise en ´evidence dans les travaux de Mavriplis [90], comme le montre la figure IV.3a. Mavriplis montre notamment que cette sous estimation peut-ˆetre corrig´ee par une aug- mentation du support de calcul utilis´e pour poser le syst`eme lin´eaire r´esolu par moindres carr´es. Afin de mieux cerner l’origine des erreurs engendr´ees par l’approximation LSQ (courbure ou ´etirement de maillage), nous ´etudions par la suite une configuration simplifi´ee notamment une plaque plane turbulente.
(a) xc = 0.4
Figure IV.17 – VKI-LS59 - Profils de ρ˜ν dans la couche limite en fonction de la distance normale `a la paroi dw