turbation mesurable - Contributions à la commande prédictive des systèmes de lois de conservati

qz¯²(s) +ru¯²ⁱds+q_fz¯²(T_f). (6.2.12) Cette fonction de coût garantit également la convergence dewvers a_r et par conséquent garantit la convergence de l’état du système entier, mais elle ne peut pas tenir compte d’une perturbation dans le domaine. Ce problème sera considéré au paragraphe ci-après.

6.2.1 Les conditions pour éviter le choc en présence d’une

per-turbation mesurable

Considérons le système (6.1.7) en présence d’une perturbation. Dans ce cas, l’équation de conservation prend la forme suivante :

∂ta+f(a)∂xa=p(x, t) (6.2.13) et les caractéristiques ne sont plus des lignes droites en général. Dans ce travail, nous traitons un problème plus simple dans lequel la perturbation agit à un point x = xp ∈

[0,1]. Alors elle prend la forme :

p(x, t) =δ(x−xp)p(t) (6.2.14) oùδ(x) représente la fonction de Dirac. Nous supposons en plus quep(t) est une fonction suffisamment régulière de t. Nous pouvons vérifier que les caractéristiques sont dans ce cas des lignes droites mais avec des pentes différentes dans [0, xp] et [xp,1].

Comme dans le cas traité au paragraphe 6.1.1, pour éviter le choc dans [0, xp], nous avons besoin que :

I1(t) =t+ ^xp

f(w(t)) ^(6.2.15) soit une fonction croissante de temps. Ce qui signiﬁe que :

I1 = 1₋ ^xpf′(w)u

f2(w) ^>⁰^, ^(6.2.16) où la dépendance en t a été omise pour raison de simplicité. En outre, pour éviter le choc dans l’intervalle [xp,1], la fonction :

I2(t) =I1(t) + ⁽¹⁻^xp)

Chapitre 6. COHG pour des systèmes de lois de conservation scalaires

doit être également une fonction croissante. Nous obtenons alors la condition suivante : ˙

I₂ = ˙I₁− ⁽¹⁻^x^p⁾^f

′(w+p(I1))(u+ ˙p(I1) ˙I1)

f2(w+p(I1)) ^>⁰ ^(6.2.18) Ces conditions, ainsi que les conditions de problème bien-posé :

f(w(t))_≥c >0, f(w(t) +p(I1(t)))_≥c >0 (6.2.19) ne peuvent pas être satisfaites en général car elles dépendent à la perturbationp(t). Dans la suite, nous supposons que la perturbation et sa dérivée sont bornées, c’est-à-dire :

|p(t)_{| ≤}α, |p^˙(t)_{| ≤}β ∀t (6.2.20) oùαetβsont suﬃsamment petits. Dans ce cas, nous pouvons trouver les sous-ensembles

U_pâd ⊆U etW_pâd ⊆W tels que les conditions (6.2.16), (6.2.18) et (6.2.19) soient satisfaites pour tout u ∈U_pâd et w ∈W_pâd comme décrit plus tard pour le modèle de trafic routier par exemple. Les autres systèmes peuvent être traités de façon identique. Nous pouvons implémenter directement ces conditions dans le schéma de la COHG, mais la preuve de stabilité devient très compliquée. Cette option ne sera donc pas considérée ici, mais dans un travail à venir.

6.2.2 La solution de la commande optimale

Le problème d’optimisation à résoudre à chaque instant d’échantillonnage est donc : min u(·) J(a, w, u) = ^Z ^T 0 [q(a(1, t)₋ar)2+ru²(t)]dt +q_f(a(1, T)₋a_r)2 sous                    ∂ta+f(a)∂xa =δ(x−xp)p(t) a(0, t) = w(t), w˙(t) =u(t) a(x,0) =a₀(x), w(0) =w₀, u∈U, w∈W

Contraintes pour éviter le choc (CEC)

(6.2.21)

où CEC dépend du problème considéré :

• ^{Sans perturbation :} CEC :=        1₋ ^f^′⁽^w⁾^u

f2(w) ^≥^γ ^{(Contrainte non linéaire)} or u∈U^ad (Contrainte linéaire)

(6.2.22)

• ^{Avec perturbation :}

Chapitre 6. COHG pour des systèmes de lois de conservation scalaires

Les contraintes sur u et w sont traitées par la méthode de "barrière" (voir [Boyd & Vandenberghe, 2004]). Dans cette technique, chaque inégalité de type C ≥ ^{0 est prise}

en compte en ajoutant un terme ^Z ^T^f

0 −µlogCdt dans la fonction de coût, où µ est une constante positive suffisamment petite. Le problème d’optimisation devient le problème de minimiser la fonction de coût modifiée sans contrainte sur u et w. A ce stade, nous pouvons suivre la même procédure que celle décrite au paragraphe 6.2 afin de transformer le problème (6.2.21) en un problème d’optimisation en dimension finie. La solution est ensuite obtenue en utilisant une méthode standard, par exemple la méthode de gradient (voir [Boyd & Vandenberghe, 2004]).

6.3 Exemple

Nous appliquons ici, à titre d’exemple, les théories présentées précédemment pour le modèle de traﬁc routier. Les autres systèmes comme l’équation de Burgers (voir [Serre, 1999]) ou le modèle de l’onde diﬀusante pour les canaux à surface libre (voir [Georges & Litrico, 2002]) peuvent être traités de façon identique.

6.3.1 Modèle de trafic routier

Dans ce travail, nous considérons le modèle de Lighthill-Whitham-Richards (LWR) (voir [Garavello & Piccoli, 2006]). L’évolution de la densité des véhicules dans une auto-route est modélisée par :

∂tρ+∂xF(ρ, v) = 0 (6.3.1) oùρ≥^{0 est la densité de véhicules,}v, la vitesse moyenne des véhicules. Le ﬂux du traﬁc

F(ρ, v) est calculé par F(ρ, v) =ρv. L’hypothèse principale du modèle de LWR est que la vitesse moyenne ne dépend que de la densité. Ainsi, le ﬂux est une fonction de ρ :

F(ρ) = ρv(ρ) (6.3.2) qui est appelé le diagramme fondamental. Une propriété dev est qu’elle est une fonction décroissante de la densité. Le diagramme fondamental le plus simple est obtenu si nous supposons quev est une fonction linéaire de ρ :

v(ρ) =vf 1₋ ^ρ

ρM

(6.3.3) oùvf est la vitesse ﬂuide (la vitesse à laquelle les véhicules roulent lorsque la densité est faible) et ρM est la densité maximale. Alors, nous avons :

f(ρ) = vf 1₋ ²^ρ ρM ! , f^′(ρ) =₋²^vf ρM (6.3.4)

Chapitre 6. COHG pour des systèmes de lois de conservation scalaires

Supposons que la commande agit au point x= 0 :

ρ(0, t) = w(t), w˙(t) = u(t), u(t)_∈U, t ≥⁰. (6.3.5) La commande auxiliaireureprésente l’accroissement de densité à l’entrée de l’autoroute. L’ensemble W est choisi comme suit :

W = [0, wmax], wmax = ^ρM 2 ¹⁻ c vf ! .

Alors la condition iii) du théorème 6.1.1 est satisfaite. Nous montrons maintenant com-ment trouver U_pâd et W_pâd afin d’assurer (6.2.16)-(6.2.19) dans le cas où il y a une per-turbation. Les conditions (6.2.19) sont satisfaites si nous avons :

0_≤w, w+p(I1)_≤ ^ρM 2 ¹⁻ c vf ! (6.3.6) Nous pouvons choisir w_M^ad = ^ρM

2 ¹⁻

c vf

−α et w_m^ad = α, alors (6.3.6) est vrai pour tout w ∈ Wad

p = [wad m, wad

M]. Le problème restant est de trouver une constante uad m telle que les conditions (6.2.16) et (6.2.18) soient satisfaites pour toutu≥u^ad_m. Pour (6.2.16), nous avons besoin que :

u^ad_m ≥ −^ρ₍₂^M_x^v^f p)^. ¹⁻ 2w ρ_M !2 ,∀w∈W_p^ad (6.3.7)

DansW_pâd, le terme de droite de l’inégalité ci-dessus est une fonction croissante, alors son maximum est atteint en w=w_Mâd. L’équation (6.3.7) signifie que :

uâd_m ≥ −^ρ₍₂^M^v^f xp)^. ¹⁻ 2wad M ρM !2 =u1. (6.3.8) La condition (6.2.18) signifie quek1uâd_m ≥ −k2 oùk1 et k2 sont donnés par :

k1 = ²^xpvf ρMf2(w)⁺ 2(1₋xp)vf ρMf2(w+p(I1)) ^{1 +} 2 ˙p(I1)xpvf ρMf2(w) ! k2 = 1 + ²⁽¹⁻^xp)vfp˙(I1) ρMf2(w+p(I1))

Grâce aux relations (6.2.19) et (6.2.20), nous pouvons vériﬁer facilement que :

k1 ≤ ²_ρ^x^p^v^f Mc2 +²⁽¹⁻^xp)vf ρ_Mc2 (1 + ²^βxpvf ρ_Mc2 ) = kmax, k2 ≥¹− ²⁽¹₍⁻_ρ ^x^p⁾^v^f^β Mc2) ⁼^kmin,

Chapitre 6. COHG pour des systèmes de lois de conservation scalaires

pour tout w∈W_p^ad,_|p| ≤α et _|p˙| ≤β. Alors, nous pouvons choisir :

u^ad_m = max ₋^kmin

kmax

, u₁

+γâd, (6.3.9) oùγâd est une petite constante positive introduite afin de garantir les inégalités (6.2.16) et (6.2.18). AlorsU_pâd peut être déterminé parU_pâd = [uâd_m,∞⁾∩U. Finalement, pour tout

u ∈ Uad

p et w ∈ Wad

p , les conditions (6.2.16), (6.2.18) et (6.2.19) sont satisfaites, ce qui garantit qu’il n’y a aucun choc dans le domaine.

6.3.2 Résultats de simulation

Aﬁn d’illustrer l’approche proposée, nous présentons dans ce paragraphe des résultats de simulation du modèle de traﬁc routier avecv_f = 80 km/h etρ_M = 315 véhicules/km. La fonction de coût a la forme (6.2.2) avec q = 100, r = 1 et qf = 1184 qui satisfont (6.2.10) avec k = 2,9.

La première simulation est réalisée pour illustrer la capacité à éviter les chocs de l’approche proposée dans le cas où il n’y pas de perturbation. Nous testons les deux types de contrainte : la contrainte non linéaire (CNL) et la contrainte linéaire (CL) dans (6.2.22). Pour cela, nous initialisons le système à un point critique où w ≈ wmax. A ce point, le choc apparaît facilement. Les résultats sont présentés sur la ﬁgure 6.4. Nous constatons que les deux types de contrainte peuvent empêcher la formation du choc, mais la CNL proﬁte au maximum de l’avantage des conditions pour éviter le choc et converge plus rapidement que la CL.

Pour souligner le rôle essentiel des conditions pour éviter le choc, nous réalisons la même simulation mais avec une commande en boucle ouverte et une autre simulation sans contrainte (6.1.6). Les résultats sont présentés sur les figures 6.5 et 6.6. Dans les deux cas, l’intersection des caractéristiques signifie l’apparition d’un choc. Sur la figure 6.7, nous présentons le résultat de simulation dans le cas où il y a une perturbation asymptotiquement constante. Nous pouvons constater que la commande rejette com-plètement ce type de perturbation. Un point intéressant est que la commande réagit avant l’apparition de la perturbation, car l’évolution a été intégrée dans le calcul de la commande.

6.4 Conclusion

Dans ce chapitre, une preuve complète de la stabilité de la COHG pour une classe de systèmes hyperboliques scalaires non linéaires a été établie et validée par simulation. Tout d’abord, un ensemble de contraintes pour éviter les chocs a été introduit. Si ces

Chapitre 6. COHG pour des systèmes de lois de conservation scalaires 0 0.5 1 1.5 2 2.5 135 140 145 150 155 Time w 0 0.5 1 1.5 2 2.5 135 140 145 150 155 Time ρ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −60 −40 −20 0 Time Control w_LC w_NLC Reference ρ_LC(1,t) ρ_NLC(1,t) Reference u_LC u_NLC

Fig. 6.3 – Commande avec contrainte linéaire (ligne continue) et commande avec contrainte non linéaire (ligne poin-tillée) 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time Space 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time Space

Fig. 6.4 – Caractéristiques avec contrainte linéaire (à gauche) et non linéaire (à droit) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 135 140 145 150 155 Time w 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −100 −80 −60 −40 −20 0 Time Control w_Open−loop wWithout constraint u_Open−loop u_{Without constraint}

Fig. 6.5 – Commande en boucle ou-verte (ligne continue) et commande sans conditions pour éviter le choc (ligne pointillée) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time Space 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time Space

Fig. 6.6 – Caractéristiques avec la com-mande en boucle ouverte (à gauche) et avec la commande sans conditions pour éviter le choc (à droite)

contraintes sont satisfaites, la stabilité de l’état à la limite entraîne la stabilité du système entier. Nous avons montré que la COHG peut être utilisée pour assurer ces conditions. Finalement, une simulation avec le modèle du trafic routier a été fournie afin d’illustrer l’efficacité de l’approche proposée.

Ces résultats nous ouvrent certaines directions pour les recherches à venir. Parmi celles-ci, nous pouvons mentionner la possibilité de généraliser les conditions pour éviter les chocs pour un réseau de systèmes de lois de conservation. Nous pouvons également étudier le cas où la perturbation ne peut pas être mesurée et doit être estimée à l’aide d’un observateur utilisant les mesures aux extrémités du domaine. Enﬁn, l’extension

Chapitre 6. COHG pour des systèmes de lois de conservation scalaires 0 0.5 1 1.5 2 2.5 124 126 128 130 132 134 Time ρ(1,t) w Reference 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 Time Control Disturbance

Fig. 6.7 – Etat à la limite et commande dans le cas où il y a une perturbation asymp-totiquement constante

de la stratégie proposée pour des cas dans lesquels la présence du choc est inévitable (par exemple si la condition initiale créé un choc ou la référence se trouve en dehors de l’ensembleW) est aussi intéressante à étudier.

Les travaux réalisés dans ce chapitre font l’objet d’une publication suivante [Pham, Georges & Besançon, 2012d].

Chapitre 7

COHG pour les équations de coup

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