Ce chapitre vise à résumer les contributions, les discussions ainsi que les perspectives déduites de ce travail de thèse dont, l’objectif principal était d’étudier l’extension de la Commande Optimale à Horizon Glissant (COHG) aux systèmes en dimension infinie en général et aux systèmes de lois de conservation en particulier. Deux aspects de la COHG ont été considérés et exploités : il s’agit de la stabilisation et la capacité à prendre en compte des contraintes.
Dans un premier temps, nous avons proposé et montré un résultat de stabilité d’opé-rateur généralisant une caractérisation de [Curtain & Zwart, 1995] (lemme 5.1), qui nous donne une condition suffisante de stabilité de la COHG pour une classe de systèmes en dimension infinie. En se fondant sur ce résultat, nous avons fourni les preuves complètes de stabilité de la COHG avec deux approches différentes : l’approche avec coût final et l’approche avec état final fixé à zéro.
Dans un second temps, nous avons montré la stabilité exponentielle de la COHG pour des systèmes hyperboliques 2×2 avec des commandes frontières. Pour cela, nous avons tout d’abord démontré la régularité et l’atteignabilité de ces systèmes. Le problème de commande frontière a été reformulé sous forme abstraite dans laquelle les preuves de stabilité de la COHG peuvent être appliquées.
Les analyses théoriques ont été appliquées à un système physique : un canal d’irriga-tion. La dynamique d’un tel système est décrite par les équations de Saint-Venant qui constituent un système de lois de conservation non linéaire 2×2. Deux modèles linéaires ont été considérés : l’un autour d’un profil d’équilibre uniforme et l’autre autour d’un profil d’équilibre non uniforme. Nous avons employé la COHG avec coût final pour le premier, et la COHG avec état final fixé pour le deuxième. Dans les deux cas, grâce aux résultats généraux obtenus pour des systèmes hyperboliques 2×2, nous avons pu montrer la stabilité exponentielle de la boucle fermée. Les analyses ont été validées en simulation, donnant des résultats encourageants.
Chapitre 8. Conclusions et Perspectives
L’application de la COHG pour un réseau de systèmes hyperboliques 2×2 en cascade a été considérée. En utilisant les résultats concernant la régularité et l’atteignabilité de chaque sous-système, nous avons déduit la régularité et l’atteignabilité du réseau. Nous avons reformulé ce système sous forme abstraite puis montré que la COHG peut être utilisée pour garantir la stabilité. L’approche proposée a été testée par simulation, et les résultats obtenus en accord avec les analyses théoriques.
Nous avons également étudié l’application de la COHG à des systèmes de lois de conservation non linéaires scalaires. Un des défis de ces systèmes vient du fait qu’ils admettent des singularités appelées chocs dans la solution. Nous avons introduit des conditions suffisantes afin d’éviter cette situation. La COHG a été ensuite utilisée afin de garantir les conditions pour éviter le choc et garantir la convergence de la solution vers une référence. Cette approche a été validée par simulation avec le modèle du trafic routier. Pour cette application, nous avons exploité à la fois la capacité à prendre en compte des contraintes et la stabilité garantie de la COHG, ce qui démontre un potentiel important de la COHG pour cette classe de systèmes.
Enfin, l’utilisation de la COHG au problème de stabilisation d’une canalisation sous pression a été considérée. Les conditions suffisantes pour garantir la stabilité asympto-tique de ce système ont été fournies. Nous avons montré que la COHG peut à la fois stabiliser le système, prendre en compte des contraintes et minimiser un critère donné. A travers cette application, nous avons abordé une stratégie de la COHG pour un système en dimension infinie sans coût final ni état final fixé ce qui n’avait pas été considérée auparavant, à notre connaissance.
Nous pouvons envisager d’étendre les travaux présentés dans cette étude selon plu-sieurs directions.
La première piste concerne l’application de la COHG à des réseaux des lois de conser-vation. L’extension des résultats du chapitre 5 à des réseaux dont la structure est plus complexe reste encore un travail à faire. Sachant que les résultats concernant l’atteigna-bilité de certaines structures de canaux d’irrigation (structure en étoile ou en arbre) sont disponibles (voir [Li & Rao, 2004]), cette proposition est tout à fait envisageable sans nouvelle difficulté théorique. En outre, considérer un réseau mixte de canaux d’irrigation et de canalisations sous pression est un problème très intéressant à approfondir d’un point de vue théorique ainsi que d’un point de vue pratique. Les interactions entre les sous-systèmes à travers des conditions frontières peuvent imposer des conditions sup-plémentaires pour la stabilité du système global. Cette difficulté permet à la COHG de valoriser davantage sa capacité à prendre en compte des contraintes. Enfin, l’application de la COHG au réseau de trafic routier apporte aussi un grand intérêt pour éviter des embouteillages.
Chapitre 8. Conclusions et Perspectives
Les théories développées dans ce travail se fondent sur l’hypothèse que tous les états sont mesurés ce qui n’est pas faisable en réalité. Il nous faut mettre en place un observateur afin d’estimer l’état du système à partir des mesures qui sont souvent aux frontières. Sachant que la stratégie à horizon glissant pour des observateurs a été considérée pour les systèmes en dimension finie ([Michalska & Mayne, 1995], [Alamir, 1999]), une extension de cette approche en dimension infinie est particulièrement intéressante à étudier. Une généralisation des résultats de stabilité de la COHG en couplage avec un observateur de [Findeisen, Imsland, Allgöwer, & Foss, 2003] dans le contexte des systèmes en dimension infinie sera également intéressante à considérer.
Une étude comparative en terme de performance et de robustesse de la commande proposée par rapport aux différentes stratégies existantes est aussi nécessaire. Nous pou-vons mentionner par exemple la commande par la fonction de Lyapunov de [Xu & Sal-let, 2002] ; la commande par retour des mesures aux frontières de [Coron et al., 2009], [Prieur, 2009] ; la commande parbacksteppingde [Vazquez et al., 2011], [Krstic & Smysh-lyaev, 2008] et éventuellement l’approche d’Hamiltonienne à port de [Santos et al., 2009]. Finalement, l’approche de la COHG synthétisée complètement en dimension infinie pour d’autres classes de systèmes tels que des systèmes paraboliques ou des systèmes elliptiques est également à approfondir, sachant que la COHG par décomposition spec-trale pour des systèmes paraboliques a déjà été considérée dans [Dubljevic et al., 2005b], [Dubljevic, N. H. El-Farra & Christofides, 2006] et [Dubljevic et al., 2005a]. Une autre possibilité est de généraliser les résultats du chapitre 2 au cas de systèmes ne possédant qu’une fonction de Lyapunov définie localement. De tels résultats, nous permettraient d’utiliser la COHG sur un plus grand nombre d’applications.
Pour conclure, les résultats obtenus montrent que l’application de la COHG à des sys-tèmes en dimension infinie apporte un intérêt considérable, grâce à sa capacité de garantir la stabilité et son efficacité dans la prise en compte de contraintes. Cependant, plusieurs questions restent ouvertes qui nécessitent des recherches approfondies afin d’élargir le champ d’applications de cette approche.