La deuxième structure est un tube entaillé soumis à un effort de traction dans la direc-tion 2 et une pression interne. Une descripdirec-tion détaillée de ce problème est faite dans la section 4 du chapitre 1 (Fig. 1.10). Le post-traitement par la méthode SED-TX est réalisé au point d’intérêt où la contrainte est maximale.
Le tube est soumis à des chargements proportionnels et non proportionnel-donné par le graphique σnF vs. σnp de la figure 2.5. Pour le chargement proportionnel (voir Fig.
2.5), l’estimation de l’état de contrainte et déformation est excellente. Ces bons résultats sont dus à la bonne estimation de la triaxialité par l’hypothèse d’Hoffmann-Seeger, et de l’heuristique de multiaxialité, et au respect de la condition de plasticité confinée. L’inten-sité de chargement appliquée permet de rester dans le domaine de validité de l’heuristique énergétique. Pour les chargements non proportionnels, les résultats sont satisfaisants (voir Fig. 2.6). La qualité de l’estimation de la composanteσ3 est liée à l’erreur de l’heuris-tique de multiaxialité. L’erreur à la fin du chargement sur cette composante est de 13%
pour l’hypothèse d’Hoffmann-Seeger et l’heuristique de multiaxialité alors qu’elle at-teint 30% pour l’hypothèse de Walker. L’estimation de la composanteσ2 est très bonne avec une erreur inférieure à 0.1% pour l’hypothèse d’Hoffmann-Seeger et l’heuristique de multiaxialité et environ 1 % pour l’hypothèse de Walker. L’erreur sur les composantes de déformationε1,ε2etε3est bien plus importante (environ 15 %).
0 0.5 1 1.5 2 0
250 500 750
S/σ¯ y
Contraintes(MPa)
0 0.5 1 1.5 2
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5
S/σ¯ y
Déformationsplastiques(%)
σ2
σ3
!p2
!p1
!p3
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0 250 500 750
Déformation (%)
Contrainte(MPa)
0 0.2
0 250 500
Déformation (%)
Contrainte(MPa)
σ2 vs"2
σ3 vs"3
σ3 vs"3
3 2
1
Légende : , et calcul en plasticité (référence) heuristique de multiaxialité
hypothèse de Walker
hypothèse d’Hoffmann et Seeger
FIGURE2.5 –Comparaison des composantes principales de contraintes et de déformations dans la zone de concentration de contraintes pour le tube entaillé soumis à
un chargement proportionnel.
0 100 200 300 400
Légende : , et calcul en plasticité (référence) heuristique de multiaxialité
hypothèse de Walker
hypothèse d’Hoffmann et Seeger
FIGURE2.6 –Comparaison des composantes principales de contraintes et de déformations dans la zone de concentration de contraintes pour le tube entaillé soumis à
un chargement non proportionnel.
3.3 Éprouvette axisymétrique entaillée soumise à un chargement de traction-torsion
La troisième et dernière structure est une éprouvette axisymétrique entaillée soumise à un effort de traction et un moment de torsion. Une description détaillée de ce problème est faite dans la section 4 du chapitre 1. Le post-traitement par la méthode SED-TX est réalisé au point d’intérêt où la contrainte est maximale.
L’éprouvette axisymétrique est soumise à des chargements non proportionnels donnés par les graphiquesσnF vs.τndes figures 2.7 et 2.8. Comme pour le tube, les figures 2.7 et 2.8 montrent que l’erreur sur la composanteσ3est influencée par l’erreur sur la triaxialité.
En effet, les tendances sont les mêmes que dans la section 4.2 du chapitre 1, c’est-à-dire que l’hypothèse d’Hoffmann-Seeger est meilleure que l’heuristique de multiaxialité pour le chargement 1 et c’est l’inverse pour le chargement 2.
Il faut retenir de ces résultats que la capacité de la méthode est d’estimer des états de contrainte et de déformation pour des chargements complexes proportionnels et non proportionnels avec une erreur inférieure à 10%.
0 50 100 150 200 250
Légende : , et calcul en plasticité (référence) heuristique de multiaxialité
hypothèse de Walker
hypothèse d’Hoffmann et Seeger
FIGURE2.7 –Comparaison des composantes principales de contraintes et de déformations dans la zone de concentration de contraintes pour l’éprouvette axisymétrique soumise à un chargement non proportionnel de traction-torsion.
0 50 100 150 200 250
Légende : , et calcul en plasticité (référence) heuristique de multiaxialité
hypothèse de Walker
hypothèse d’Hoffmann et Seeger
FIGURE2.8 –Comparaison des composantes de contraintes et de déformations dans la zone de concentration de contraintes pour l’éprouvette axisymétrique soumise à un
chargement non proportionnel de torsion-traction.
4 Application sur structure soumise à un chargement cy-clique
Dans cette application numérique, une plaque avec un trou circulaire soumise à un effort de traction cyclique en déformations planes est étudiée. La géométrie est présentée dans la section 4.1 du chapitre 1.
Un matériau fictif est utilisé. Son comportement est élastoplastique avec un écrouis-sage cinématique non linéaire de type Armstrong-Frederick et un écrouisécrouis-sage isotrope saturé. La fonction critère est donnée par f = (σσσ−XXX)−k≤0 avec ˙XXX = 2
3C˙εεεp−γXXXp.˙ Les caractéristiques du matériau sont les suivantes : module d’YoungE =129000 MPa, coefficient de Poissonν=0.3,k=270 MPa,C=500000 MPa etγ=2500.
La capacité de la méthode SED-TX à estimer l’évolution des amplitudes de contraintes et de déformations du cycle stabilisé a été évaluée. En général, moins de cinq cycles sont nécessaires pour obtenir la stabilisation du comportement. Différents niveaux de charge-ment permettent de construire la courbe de plasticité cyclique. Les courbes∆σi vs. ∆εip obtenues sont comparées à celles estimées par la méthode SED-TX (2 est la direction du chargement et 3 est selon l’épaisseur de la plaque de sorte queε3=0). Dans la figure 2.9, on observe que la méthode SED-TX en amplitude (section 2.2) permet d’estimer l’évolu-tion des amplitudes de contraintes et de déformal’évolu-tions avec une grande précision, moins de 2 % d’erreur. Cependant, seules des informations sur le cycle stabilisé peuvent être obtenues. La relaxation de la contrainte moyenne ne peut notamment pas être étudiée.
−1 −0.5 0 0.5 1 Obtention des amplitudes du cycle stabilis´e
1ère étape 2ème étape
Construction de la courbe de plasticité cyclique
i
i
2 3 1
Légende :
: courbes de plasticité cyclique
construites à l’aide de calculs en plasticité (référence) : courbe de plasticité cyclique estimée par la méthode proposée
FIGURE2.9 –Comparaison de l’évolution des amplitudes de contraintes et de déformations dans la zone de concentration de contraintes pour une plaque trouée
soumise à un chargement cyclique en déformations planes.
5 Conclusion
Les méthodes proposées dans ce chapitre s’adressent aux chargements monotones (et cycliques à un niveau de chargement) multiaxiaux en plasticité. Les expressions de la triaxialité des contraintes obtenues au chapitre 1 permettent d’enrichir les formulations multiaxiales des méthodes énergétiques de type Neuber et SED notamment. Les méthodes énergétiques enrichies par la triaxialitéTX ont été appelées respectivement Neuber-TX et SED-TX. Un intérêt de la méthode proposée est qu’elle permet de découpler les étapes du calcul. L’heuristique énergétique (de type Neuber ou SED) permet de déterminer le niveau de déformation plastique cumulée connaissant la triaxialité des contraintes. L’heu-ristique de multiaxialité permet de calculer l’état de contrainte et de déformation. De cette manière, on peut évaluer l’influence des différentes étapes sur l’erreur finale. À ce titre, on a pu vérifier que la méthode enrichie SED-TX, justifiée sur un bord libre par les intégrales de contour par Desmorat [2002], est plus précise que les autres méthodes énergétiques tant que la déformation plastique est inférieure à 1.10−3. D’autre part, on a pu observer que le choix de la méthode énergétique est important sur l’estimation de la composante de contrainte hors plan (σ3). Finalement, une procédure complète de détermination des contraintes et des déformations principales en fond d’entaille d’une structure élastoplas-tique à partir de calculs élasélastoplas-tiques a été mise en place. Elle permet de traiter des structures à géométrie complexe soumises à des chargements monotones proportionnels ou non pro-portionnels (et des chargements cycliques à un niveau de chargement )avec une précision inférieure à 10%.
Si seuls les chargements monotones et cycliques en plasticité peuvent être traités par les méthodes énergétiques proposées, on rappelle que pour traiter le cas des aubes de tur-bine et plus généralement les structures "chaudes" du moteur, la méthode doit pouvoir prendre en compte les difficultés de modélisation suivante : chargements thermoméca-niques multiaxiaux alternés avec des amplitudes éventuellement aléatoires et des lois de comportement élasto-visco-plastiques. Les perspectives d’amélioration sont nombreuses.
Pour les chargements alternés aléatoires, le cycle stabilisé peut ne pas exister. Il n’est donc plus possible d’appliquer la méthode en amplitude utilisant la loi de plasticité cy-clique. Une possibilité est alors d’appliquer la méthode dite des hyperboles inversées qui s’appuie sur le concept de la plasticité de Masing. Son efficacité a été montrée pour des chargements dont l’amplitude reste constante [Chaudonneret et Culie, 1985; Lemaitre et Chaboche, 1985]. Cependant, dès lors que l’amplitude n’est plus constante il peut appa-raitre des artéfacts, déjà observés pour les modèles de plasticité de type Masing [Mroz et Lind, 1975; Jayakumar, 1987], qui conduisent à un phénomène fictif de rochet. Certaines précautions peuvent être prises pour éviter ces artéfacts [Herbland et al., 2007]. D’autres alternatives ont été proposées [Barkey et al., 1994; Singh, 1998; Buczynski et Glinka, 2003; Ye et al., 2008], mais elles ne permettent pas de décrire la relaxation de la moyenne avec précision [Herbland, 2009].
La prise en compte des phénomènes de viscosité dépendant du temps comme le fluage ou la relaxation est une tache difficile puisque le calcul de référence élastique est indépen-dant de la vitesse de chargement. Néanmoins, si la zone visco-plastique est confinée, les
expressions des méthodes énergétiques écrites de manière incrémentale permettent d’es-timer avec précision la relaxation en fond d’entaille [Chaudonneret et Culie, 1985; Gal-lerneau, 2000; Nuñez et Glinka, 2004, 2007]. Pour prendre en compte le non-confinement de la zone visco-plastique et la redistribution des contraintes, des termes correctifs sup-plémentaires sont introduits dans la formulation des méthodes énergétiques [Härkegard et Sorbo, 1998; Nuñez et Glinka, 2004; Hyde et al., 2005].
Pour les chargements anisothermes, la validité de l’heuristique énergétique de Neuber n’a pas été étudiée. Les intégrales de contour quant à elles ne sont plus indépendantes du contour à cause des termes de dilatation thermique introduits par la loi de thermo-élasticité. Toutefois, Bui [1978b] a montré que pour une zone de plasticité confinée com-portant un gradient de température linéaire, l’intégraleJθ [Ainsworth et al., 1978] pou-vait être réécrite comme une intégrale de contour [Desmorat, 2002]. Toutes ces pistes n’ont pas été approfondies. Une approche plus simple fondée sur les lois de changement d’échelle définies dans les problèmes d’inclusion a été préférée : l’analyse par changement d’échelle. Cette approche est développée dans le chapitre suivant et permet de traiter les difficultés de modélisation mentionnées ci-dessus.