La méthode des éléments finis [Zienkiewicz et Taylor, 1977] est une méthode itérative et incrémentale fondée sur une discrétisation en espace et en temps du problème. Toutes les équations du problème sont résolues de manière itérative pour chaque incrément de temps. Elle permet d’obtenir les champs de contraintes et de déformations sur toute la pièce pour tous les cycles7jusqu’à obtenir le cycle stabilisé utilisé pour calculer la durée de vie. Si la discrétisation est "suffisamment" fine, la solution est obtenue avec une très bonne précision et constitue dans ce travailla solution de référence. Cependant, lorsque la loi de comportement est non linéaire et que l’intervalle de temps est très grand, le temps de résolution devient très long, voire inenvisageable, dans un contexte industriel.
7. Si généralement en fatigue les chargements appliqués sont simples et font plus facilement penser à des cycles, dans le cas des aubes de turbine on entend par cycle une mission équivalente.
Par exemple, le calcul thermomécanique sur une mission complète avec une loi de com-portement élasto-visco-plastique dure entre une à trois heures (sur un modèle réduit8).
Avec une stabilisation obtenue au minimum en dix cycles, on comprend la limitation de la méthode dans un contexte de prédimensionnement. Des techniques d’accélération et de parallélisation des calculs peuvent être employées.
Pour les chargements périodiques ou périodiques par cycle, il est possible d’utiliser la méthode dite desaut de cycle[Savalle et Culié, 1978; Lesne et Savalle, 1989; Lemaitre et Doghri, 1994]. Une fois la stabilisation atteinte, l’intégration des équations constitutives n’est réalisée que tous lesncycles. Le temps de calcul en fatigue est alors presque réduit d’un facteurn.
La méthode LATIN est une stratégie itérative et non incrémentale pour étudier les problèmes non linéaires [Ladevèze, 1985; Boisse, 1987; Ladevèze, 1996, 1999; Cognard, 1989, 1995; Cognard et al., 1999]. Contrairement aux méthodes incrémentales, le charge-ment est étudié sur tout l’intervalle de temps. La méthode est fondée sur la séparation des équations du problème en deux groupes : les équations linéaires globales et les équations locales possiblement non linéaires. La solution du problème est construite en résolvant alternativement les équations de chaque type. À chaque itération, la réponse de la struc-ture est obtenue et enrichie sur tout l’intervalle de temps. Cependant, dans les applications de fatigue avec des cycles complexes, il est nécessaire de résoudre le problème à la fois sur tout le cycle et pour tous les cycles jusqu’à stabilisation, si stabilisation il y a. Le système est donc très lourd à résoudre. On peut alors considérer deux échelles de temps : une échelle rapide pour représenter l’évolution au cours d’un cycle et une échelle lente pour représenter l’évolution entre les cycles, sur l’ensemble du chargement [Arzt, 1994].
Même si la séparation des difficultés permet de choisir des procédures de résolution non linéaire adaptées et de rendre la méthode hautement parallélisable, la complexité de mise en oeuvre de la méthode et le gain relativement faible par rapport à une méthode éléments finis optimisée sont des freins à une utilisation industrielle.
La méthode cyclique directe [Maitournam et al., 2002; Pommier, 2003; Comte et al., 2006] permet de rechercher directement une solution périodique. Elle est fondée sur les méthodes de recherche de l’état asymptotique [Akel et Nguyen, 1989; Maouche, 1997;
Maouche et al., 1997] et sur le principe de séparation des difficultés de la méthode LATIN.
La solution du problème est toujours construite en résolvant alternativement les équations de chaque type. À chaque itération, la réponse de la structure est obtenue cette fois unique-ment sur l’intervalle de temps du cycle stabilisé. Le problème est donc beaucoup moins coûteux en temps de calcul. La méthode a été implémentée dans le code de calcul indus-triel Abaqus. Cependant, seul le cycle stabilisé est déterminé. Aucune information n’est donnée sur les cycles précédents qui peuvent avoir une influence non négligeable sur la durée de vie de la structure.
8. Le modèle réduit consiste à ne modéliser qu’une petite partie de l’aube. Sur un modèle complet, le temps de calcul serait de plusieurs jours.
Pour résumer, l’originalité de ce travail de thèse se situe dans le rap-prochement des méthodes de niveau 1.a et 1.b grâce à la détermination et à l’utilisation de la triaxialité des contraintes sur un bord libre qui nous permettra de proposer des méthodes rapides (niveau 1.a) relati-vement précises (niveau 1.b). La réponse obtenue localement par post-traitement sera comparée à la solution de référence obtenue avec la mé-thode des éléments finis.
4 Durée de vie en fatigue
Les méthodes de résolution présentées dans la section précédente permettent d’obtenir les champs de contraintes et de déformations pour tout l’intervalle de chargement et sur toute la pièce (méthode de niveau 2) ou sur quelques points jugés critiques (méthode de niveau 1). La durée de vie à amorçage de fissure est ensuite déterminée avec une approche découplée (par post-traitement). La sévérité du chargement thermomécanique appliqué aux aubes de turbine provoque une plastification à chaque cycle. C’est donc bien dans le domaine de la fatigue oligocylique que sont dimensionnées ces pièces.
Les premières approches considèrent que l’endommagement est principalement piloté par la plasticité [Manson, 1953; Coffin, 1954]. Dans le cadre de la mécanique de l’en-dommagement des milieux continus [Kachanov, 1958; Lemaitre, 1971a; Hult et Broberg, 1974; Lemaitre et Chaboche, 1974; Murakami et Ohno, 1978; Krajcinovic et Fonseka, 1981; Lemaitre et Chaboche, 1985], la loi d’endommagement de Lemaitre [1992] prend en compte l’influence des déformations plastiques, mais aussi celle des contraintes avec le concept de taux de restitution d’énergie élastique (qui fait intervenir la triaxialité des contraintes). Cette approche en vitesse ou taux, dite incrémentale, permet directement de traiter les chargements thermomécaniques multiaxiaux avec des amplitudes variables aléatoires. Alors que dans ce cas, les modèles écrits en cycle [Lemaitre et Chaboche, 1974;
Chaboche et Lesne, 1988] nécessitent des procédures de comptage de cycles (ou procé-dure d’extraction), de typerainflowpar exemple [Matsuiski et Endo, 1969; Downing et Socie, 1982], difficiles à mettre en oeuvre.
Le phénomène de fatigue peut interagir avec d’autres phénomènes activés thermique-ment comme le fluage [Chrzanowski, 1976; Lemaitre et Chaboche, 1974, 1985; Dambrine et Mascarell, 1987; Sermage, 1998; Lemaitre et al., 1999; Otin, 2007; Marull, 2011] ou l’oxydation [Gallerneau, 1995; Perruchaut, 1997; Kaminski, 2007]. Par souci de relative simplicité, ces phénomènes ne seront pas pris en compte tout au moins dans un premier temps.
5 Structure du manuscrit
Dans une première partie, les expressions de la triaxialité des contraintes établies sur un bord libre en déformations planes par Desmorat [2002] seront élargies à tous les états de contraintes possibles sur un bord libre. On montrera que la triaxialité des contraintes et l’angle de Lode y sont reliés de manière biunivoque. Cela permettra d’établir analytique-ment l’évolution de ces deux grandeurs, expressions qui seront ensuite validées sur des structures soumises à des chargements monotones et alternés.
Dans le deuxième chapitre, les méthodes énergétiques seront enrichies par les expres-sions de la triaxialité des contraintes. Dans le cas des chargements monotones, il sera montré qu’il est possible d’estimer de manière satisfaisante les contraintes et les défor-mations plastiques en fond d’entaille à partir de deux calculs élastiques, l’un avec le coef-ficient de poissonνdu matériau étudié et l’autre avecν≈1/2. Cependant, ces méthodes éprouvent des difficultés à traiter les chargements alternés.
Dans le troisième chapitre, les analyses par changement d’échelle enrichies par la triaxialité des contraintes présenteront l’avantage de pouvoir traiter les chargements al-ternés avec une bonne précision. Un algorithme de résolution simple, rapide et robuste sera proposé. La méthode sera validée sur des structures 3D soumises à des chargements complexes.
Dans le quatrième chapitre, la méthode de post-traitement par changement d’échelle sera évaluée sur des cas industriels complexes : un disque et une aube de turbine haute pression.