Obtemos aqui os resultados exatos para a magnetização e as funções de correlação, utilizando a técnica de matriz transferência apresentada na seção 3.2.1. A função de
5.3 Magnetização e Funções de Correlação 49
Figura 5.2: Diagrama de fases do estado fundamental de h/J em função de t/J para o va- lor fixo de J = 1. Este diagrama apresenta três regiões bem definidas, uma representada pela fase ferrimagnética (FRI), uma pela fase paramagnética saturada (SPA) e outra pela fase paramagnética não saturada (UPA). Na fase paramagnética não saturada (UPA), os elétrons intersticiais estão emaranhados, sendo altamente degenerada em campo mag- nético zero, uma vez que os spins nodais tornam-se efetivamente desacoplados. A alta degenerescência também está presente no ponto triplo com as coordenadas t/J = 2.0 e h/J = 4.0, onde todas as três fases coexistem com uma fase antiferromagnética nodal (veja Apêndice A).
5.3 Magnetização e Funções de Correlação 50 partição do modelo spin-elétron por célula unitária pode ser obtida a partir da Eq. (2.1):
ZN = ÿ {‡} N Ÿ i=1 Trie≠—Hi = ÿ {‡} N Ÿ i=1 6 ÿ j=1 e≠—Áij ZN = ÿ {‡} N Ÿ i=1 Ê(‡i, ‡i+1) = Tr 1 WN2= ⁄N+ + ⁄N≠, (5.17)
onde o somatórioq{‡} é realizado sobre todas as configurações possíveis dos spins Ising localizados. O operador Tri refere-se ao traço sobre os graus de liberdade de dois elétron
móveis da i-ésima célula unitária e W = Ê(‡i, ‡i+1) = q6j=1e≠—Áij. A expressão W é a
matriz transferência: W = Q a Ê(1, 1) Ê(1, ≠1) Ê(≠1, 1) Ê(≠1, ≠1) R b= Q a Ê(2) Ê(0) Ê(0) Ê(≠2) R b, (5.18)
onde consideramos que os elementos individuais da matriz transferência dependem apenas do spin total de dois spins Ising localizados da i-ésima célula unitária de acordo com:
Ê(µi) =Ê(‡i, ‡i+1) = 6 ÿ j=1 exp(≠—Áij), Ê(µi) =2 exp A —h 2 µi B [1 + cosh(2—t) + cosh(2—Jµi ≠ 2—h)] . (5.19)
Diagonalizando a matriz transferência (5.18), obtemos: ⁄± = Ê(2) + Ê(≠2)
2 ± 12
Ò
[Ê(2) ≠ Ê(≠2)]2 + 4[Ê(0)]2. (5.20)
No limite termodinâmico de N æ Œ, apenas o maior autovalor contribui efetivamente para a função de partição, e assim podemos escrever a função de partição como é dada pela Eq. (3.14).
A transformação unitária da matriz transferência (5.17) é determinada pelas matri- zes V and V≠1: V = Q a ⁄+≠ Ê(≠2) ⁄≠≠ Ê(≠2) Ê(0) Ê(0) R b,V≠1 = Q c c c a 1 ≠⁄≠≠ Ê(≠2) Ê(0) ≠1 ⁄≠≠ Ê(≠2) Ê(0) R d d d b. (5.21)
Podemos agora obter a magnetização e as funções de correlação. A magnetização por sítio dos spins de Ising localizados nos sítios nodais da rede pode ser obtida a partir da seguinte relação [33]:
M‡ = ȇizÍ =
1 ZN
Tr˘‡zW˜NÈ, (5.22)
onde ˜‡z = V≠1‡zV e ˜W = V≠WV, ‡z é a matriz de Pauli 2 ◊ 2 associada à componente z de um spin Ising nodal. Uma fórmula deste tipo pode ser derivada para a magnetização no sítio intersticial j = 1, 2 da i-ésima célula unitária:
MS = ÈSijzÍ = 1 ZN Tr˘z ijW˜N≠1 È , (5.23)
5.3 Magnetização e Funções de Correlação 51 onde ˜z
ij = V≠1 zijV, com os elementos zij(‡i, ‡i+1) = Tr Sijze≠—Hi e o traço realizado so-
bre os estados dos sítios pertencentes aos sítios intersticiais da i-ésima unidade diamante. A matriz Sz
ij corresponde à componente z do operador de spin no sítio intersticial j = 1, 2
da i-ésima célula unitária, escrito no correspondente subespaço 6 ◊ 6. A magnetização total por célula unitária pode ser então obtida pela inclusão de ambas as contribuições in- dividuais dos spins de Ising nodais (5.22) e os elétrons móveis (5.23), ou, respectivamente, a partir da fórmula habitual:
M = ≠1 —
ˆ
ˆhln ZN. (5.24)
O mesmo procedimento pode ser usado para calcular as funções de correlação. As funções de correlação entre as várias componentes espaciais dos operadores de spin S– ij
nos sítios intersticiais de uma célula unitária podem ser calculadas como [54]: ÈSi–1Si–2Í = 1 ZN Tr1˜– 12W˜N≠1 2 , (5.25) onde ˜–
12 = U≠1 –12U, com os elementos –12(‡i, ‡i+1) = Tr Si–1Si–2e≠—Hi. A função de
correlação por célula unitária entre os spins Ising localizados e os spins intersticiais é dada por: ȇiSijzÍ = 1 ZN Tr˘‡z˜z ij˜ÊN≠1 È . (5.26)
O arranjo de spins locais, inerentes à cada estado fundamental individual, pode ser en- tendido através do par das funções de correlação, o que também pode dar uma indicação sobre como as correlações spin-spin são afetadas por flutuações térmicas.
Na Fig. 5.3 ilustramos, para todos os estados fundamentais disponíveis, a função de correlação transversal entre os spins intersticiais ÈSx
i1Six2Í = ÈS y
i1Siy2Í (linhas traço-ponto),
a função de correlação longitudinal entre os spins intersticiais ÈSz
i1Siz2Í (linhas tracejadas)
e a função de correlação longitudinal entre os spins nodal e intersticial ȇz
i1Siz1Í (linhas
traço-ponto-ponto) em função da temperatura.
Nos limites assintóticos de temperatura zero das funções de correlação, nós confirma- mos na Fig. 5.3(a) o alinhamento antiparalelo do spin entre os spins intersticial e nodal e o alinhamento paralelo dos spins intersticiais dentro da fase clássica FRI, enquanto que um aumento na temperatura pode ser responsável por uma pequena elevação das correlações transversais (quânticas). É evidente a partir da Fig. 5.3(b) que a correlação longitudi- nal entre os spins intersticiais ÈSz
i1Siz2Í é antiferromagnética em baixas temperaturas, mas
ferromagnética em altas temperaturas, o que indica uma frustração do spin acima do estado fundamental UPA de acordo com o conceito de frustração do spin dependente da temperatura [55]. As correlações dos spins intersticiais não atingem à unidade devido à presença de fortes flutuações quânticas associadas ao processo de salto quântico. O ali- nhamento completo do spin intersticial e spin nodal, relevante para o estado fundamental
5.3 Magnetização e Funções de Correlação 52
Figura 5.3: Funções de correlação em função da temperatura kBT /|J|. A função de corre-
lação transversal entre o spins intersticiais ÈSx,y i1 S
x,y
i2 Í, a função de correlação longitudinal
entre os spins intersticiais ÈSz
i1Siz2Í e a função de correlação longitudinal entre os spins
intersticial e nodal ȇz
i1Siz1Í, são calculadas para o conjunto de parâmetros: (a) t/J = 1.5, h/J = 3.0 (fase FRI); (b) t/J = 2.5, h/J = 3.0 (fase UPA); (c) t/J = 1.5, h/J = 5.0 (fase SPA); (d) t/J = 2.0, h/J = 4.0 (ponto triplo).
5.3 Magnetização e Funções de Correlação 53 SPA, é evidente a partir das funções de correlação representadas na Fig. 5.3(c), em que um pequeno aumento da função de correlação transversal em baixas temperaturas induzido por flutuações térmicas pode ser também observado. Finalmente, a Fig. 5.3(d) ilustra as funções de correlação exatamente no ponto triplo altamente degenerado, em que os limi- tes assintóticos de temperatura zero atingem valores não triviais ÈSx,y
i1 Six,y2 Í(5 ≠Ô5)/20,
ÈSz
i1Siz2Í = (5 + 3Ô5)/20 e ȇiz1Siz1Í = (3Ô5 ≠ 5)/10 (veja Apêndice A).
Figura 5.4: Magnetização em função da temperatura kBT /|J|. A magnetização dos spins
intersticiais MSde um único sítio, a magnetização dos spins nodais M‡ de um único sítio e
a magnetização total M por célula unitária são calculadas para o conjunto de parâmetros: (a) t/J = 1.5, h/J = 3.0 (fase FRI); (b) t/J = 2.5, h/J = 3.0 (fase UPA); (c) t/J = 1.5, h/J = 5.0 (fase SPA); (d) t/J = 2.0, h/J = 4.0 (ponto triplo).
Fonte: Autora, 2016 [52].
O comportamento térmico da magnetização total M por célula unitária (linhas traço-ponto-ponto) é ilustrado na Fig. 5.4 junto com a magnetização dos spins interstici- ais MSde um único sítio (linhas traço-ponto) e a magnetização dos spins nodais M‡ de um
único sítio (linhas tracejadas). A Fig. 5.4(a) serve como comprovação de que a elevação de temperatura pode facilitar uma inversão dos spins nodais dentro da fase FRI, que por sua vez provoca um aumento induzido termicamente na magnetização total. Excitações
5.4 Frustração magnética 54