(7.11), (7.12), (7.15) e (7.16),
Á0(‡2i≠1z1 , ‡2iz2, ‡2i+1z1 ) = ‘≠1 + ‘≠2, (7.19)
Á1(‡2i≠1z1 , ‡2iz2, ‡2i+1z1 ) = ‘≠1 + ‘+2, (7.20)
Á2(‡2i≠1z1 , ‡2iz2, ‡2i+1z1 ) = ‘+1 + ‘≠2, (7.21)
Á3(‡2i≠1z1 , ‡2iz2, ‡2i+1z1 ) = ‘+1 + ‘+2. (7.22)
e os autovetores são dados pelo produto direto das equações (7.13), (7.14), (7.17) e (7.18):
|Ï0Í = |Â1≠Í2i≠1¢ |Â2≠Í2i, (7.23)
|Ï1Í = |Â1≠Í2i≠1¢ |Â2+Í2i, (7.24)
|Ï2Í = |Â1+Í2i≠1¢ |Â2≠Í2i, (7.25)
|Ï3Í = |Â1+Í2i≠1¢ |Â2+Í2i. (7.26)
Usando os autovalores e seus correspondentes autovetores, poderemos discutir os diagramas de fase da energia do estado fundamental do sistema e a magnetização, por spin Ising e Heisenberg, a magnetização total por célula unitária e a magnetização powder a temperatura zero.
7.2 Diagramas de fase do estado fundamental
Nesta seção vamos ilustrar os diagramas de fase do estado fundamental do modelo para o caso de acoplamento antiferromagnético J = ≠1. Usando os autovetores por célula unitária dados pelas equações (7.13), (7.14), (7.17) e (7.18) para todas as possíveis configurações dos spins Ising envolvidos. Desse modo, conseguimos identificar quatro estados fundamentais diferentes: duas fases onde os spins Ising são ferromagnéticos (CIF1)
e (CIF2) e duas fases onde os spins Ising são antiferromagnéticos (CIA1) e (CIA2). Os
autoestados dos estados fundamentais são expressos como: |CIF1Í = N/2 Ÿ i=1 |Â≠1Í2i≠1| ¬Í2i≠1|Â2≠Í2i| Í2i, (7.27) |CIF2Í = N/2 Ÿ i=1 |Â≠ 1Í2i≠1| ÀÍ2i≠1|Â2≠Í2i| √Í2i, (7.28) |CIA1Í = N/2 Ÿ i=1 |Â≠1Í2i≠1| ¬Í2i≠1|Â2≠Í2i| √Í2i, (7.29) |CIA2Í = N/2 Ÿ i=1 |Â≠1Í2i≠1| ÀÍ2i≠1|Â2≠Í2i| Í2i. (7.30)
O vetor de estado | ¬Í2i≠1(| ÀÍ2i≠1) corresponde ao estado do spin ‡2i≠1z1 = 1/2(‡2i≠1z1 =
7.2 Diagramas de fase do estado fundamental 93 estado do spin ‡z2
2i = 1/2(‡2iz2 = ≠1/2) do sítio par do spin Ising, enquanto que o sítio
ímpar e par do spin Heisenberg subjacente a um superposição quântica de ambos estados do spin de acordo com a Eq.7.13(7.14) e 7.17(7.18), respectivamente. É bastante óbvio para as Eqs.(7.29) e (7.31) que a fase CIF2 é apenas a imagem espelhada da fase CIF1,
enquanto a fase CIA2 é a imagem espelhada da fase CIA1 de acordo com as Eqs.(7.25) e
(7.26). A primeira inter-relação entre as fases CIF1 e CIF2 é uma consequência direta
da simetria do modelo do Hamiltoniano (7.1) com o respectivo campo magnético externo aplicado ao londo das direções ◊ = fi/2 e 3fi/2, enquanto a inter-relação entre as fases CIA1 e CIA2 é consequência da simetria do modelo Hamiltoniano (7.1) com o respectivo
campo magnético externo aplicado ao longo das direções ◊ = 0 e fi. Assumindo o valor fixo de gz
2 = gx2 = 2 g1z1 = g1z2 = 20, as energias dos estados
fundamentais correspondentes aos autoestados acima são: ECIF1 = ≠ 10B[cos(– ≠ ◊) + cos(– + ◊)] ≠
Ò
4B2≠ 4B cos(◊) cos(–) + cos2(–), (7.31)
ECIF2 =10B[cos(– ≠ ◊) + cos(– + ◊)] ≠
Ò
4B2+ 4B cos(◊) cos(–) + cos2(–), (7.32)
ECIA1 = ≠ 10B[cos(– ≠ ◊) ≠ cos(– + ◊)] ≠
Ò
4B2≠ 4B sen(◊) sen(–) + sen2(–), (7.33)
ECIA2 =10B[cos(– ≠ ◊) ≠ cos(– + ◊)] ≠
Ò
4B2+ 4B sen(◊) sen(–) + sen2(–). (7.34)
Estudaremos os diagramas de fases a temperatura zero em função de B/|J| e ◊. Um sistema de coordenadas polar é mais natural e adequado. Aqui, a magnitude do campo magnético B/|J| é representada pelo raio e o ângulo ◊ é a orientação do respectivo campo magnético com relação ao eixo z.
Não é possível encontrarmos analiticamente a solução para a fronteira de transição de fase porque as equações algébricas recaem em uma equação transcendental. Portanto, não iremos apresentar as expressões analíticas das curvas, exceto para casos muito especiais que discutiremos mais adiante.
Alguns típicos diagramas de fase do estado fundamental são ilustrados na Fig. 7.3 no sistema de coordenadas polares (µBB/|J|, ◊) para vários valores de ângulo de inclinação 2–
entre dois diferentes eixos de anisotropia. Note que o raio da coordenada polar determina a magnitude do campo magnético externo µBB/|J| e a coordenada angular é identificada
como a inclinação do campo magnético externo com respeito ao eixo-z.
É bastante claro para a Fig. 7.3 que o diagrama de fase do estado fundamental tem uma evidente simetria com respeito aos eixos ◊ = 0 e fi/2. A primeira simetria em torno do eixo ◊ = 0 é responsável pela troca CIA1 Ωæ CIA2, enquanto que a segunda
simetria em torno do eixo ◊ = fi/2 é responsável pela troca CIF1 Ωæ CIF2, logo nossa
discussão pode ser restrita sem perda de generalidade apenas para o primeiro quadrante ◊‘[0, fi/2]. As fases CIF1 e CIF2 coexistem juntas ao longo de uma linha de coexistência
macroscopicamente não degenerada (linha fina preta) em ◊ = fi/2, na qual determinamos o ponto tripo (símbolo diamante) com a entropia residual macroscópica de S = 1
2ln((Ô5+
7.2 Diagramas de fase do estado fundamental 94 Figura 7.3: Diagramas de fase em coordenadas polares, a magnitude de campo magné- tico µBB/|J| é representada pelo raio e o ângulo ◊ é a orientação do respectivo campo
magnético com relação ao eixo z, fixando os parâmetros gz1
1 = g1z2 = 20, g2z = g2x = 2 e
J = ≠1. Em (a) 2– = 0¶, (b) 2– = 30¶, (c) 2– = 45¶, (d) 2– = 60¶, (e) 2– = 72¶, (f)
2– = 90¶. Os diagramas apresentam quatro diferentes fases, duas Ising ferromagnéticas
CIF1 e CIF2, e duas Ising antiferomagnética CIA1 e CIA2.
7.2 Diagramas de fase do estado fundamental 95 Por outro lado, a linha entre as fases CIF1 e CIA1 é macroscopicamente degenerada
com uma entropia residual de S = kBln(2)/2 por célula unitária. Os spins Heisenberg
estão completamente livres para girar no ponto macroscopicamente degenerado (círculo azul) com a entropia residual finita S = kBln(2) por célula unitária dada pelas coor-
denadas µBB/|J| = cos(–)/2, ◊ = 0 e µBB/|J| = sen(–)/2, ◊ = fi/2 para – & fi/9.
Esses pontos altamente degenerados correspondem a um novo tipo de frustração do spin "half-fire, half-ice" [73, 74], que vem da diferença entre fatores-g serem responsáveis por um congelamento total (ordenado) característico dos spins Ising e totalmente flexível (de- sordenado) característico dos spins Heisenberg.
A linha preta grossa, representa a fronteira de transição de fase entre as fases CIF1 e
CIF2. Essas curvas não são curvas frustradas com entropia residual finita por célula unitá-
ria. O diamante azul representa pontos em que os possíveis estados dos spins Heisenberg são degenerados. Eles são localizados em (µBB/|J|, ◊)= (cos(–)/2, 0), (µBB/|J|, ◊)=
(≠ cos(–)/2, fi), (µBB/|J|, ◊)= ( sen(–)/2, fi/2) e (µBB/|J|, ◊)= ( sen(–)/2, 3fi/2). Para
esses campos magnéticos, as Eqs. (7.11), (7.12), (7.15) e (7.16), são equivalentes, porque as raízes quadradas nas Eqs. (7.13), (7.14), (7.17) e (7.18) são nulas. Portanto, temos ‘+1 = ‘≠1 e ‘+2 = ‘≠2, levando a uma entropia residual por spin Heisenberg de S = kBln(2).
A linha laranja é correspondente a fronteira de transição de fase entre as fases ferromagné- ticas CIF e antiferromagnéticas CIA. Esta é uma curva frustrada com os estados dos spins Ising inclinados par ou ímpar sendo degenerados. Ao longo dessa linha o sistema apresenta uma entropia residual de S = kBln(2)/2 por spin Ising. O círculo vermelho mostra um
outro ponto de frustração. Aqui, a frustração vem dos spins Ising inclinados com entropia residual de S = 1
2ln((Ô5+3)/2) (para mais detalhes da entropia residual nesse ponto es-
pecial, veja o Apêndice A). A linha preta fina é o contorno para mx
2sen(◊)+mz2cos(◊) = 0.
Dentro do contorno os spins Heisenberg são nulos. Assim sendo, fora do contorno os spins Heisenberg estão alinhados na direção do campo magnético externo.
A Fig. 7.3(a) retrata o caso particular de 2– = 0¶. Aqui, apenas as fases com spins
Ising com o mesmo estado CIF1 e CIF2 são presentes. A linha grossa preta representa a
fronteira de transição de fase entre as fases CIF1 e CIF2 que ocorre quando a componente-
z do campo magnético muda de sinal (◊ = fi/2). Esta curva, não é uma curva frustrada. Os diamantes azuis estão localizados em (µBB/|J|, ◊) = (0.5, 0) e (µBB/|J|, ◊)=(0.5, fi)
com entropia residual S = kBln(2) por spin Heisenberg.
Na Fig. 7.3(b) ilustramos o cenário para um ângulo de inclinação pequeno, consi- derando o caso particular de 2– = 30¶. A fronteira de transição de fase entre as fases
ferromagnéticas CIF e antiferromagnéticas CIA é uma curva frustrada com os estados par e ímpar dos spins Ising inclinados sendo degenerados e apresentando uma entropia residual de S = kBln(2)/2. Há pontos frustrados adicionais, representados pelo diamante
azul em (µBB/|J|, ◊)=(cos(fi/12)/2, 0) e (µBB/|J|, ◊) = (≠ cos(fi/12)/2, fi) em que os
7.3 Propriedades Magnéticas e Termôdinamicas 96