||~v||= v u u t
n
X
i=1
xi2
Avouez qu’en voyant cette formule pour la première fois, vous n’auriez jamais pensé qu’il s’agissait en fin de compte du théorème de Pythagore.
1.5. Trigonométrie et théorème d’Al-Kashi
Cette partie va faire appel à des notions de trigonométrie, notamment le sinus, le cosinus et le cercle trigonométrique. Ce cours n’ayant pas vocation à couvrir tous les champs des mathématiques, je vous invite à consulter ce tutoriel si vous n’avez jamais manipuler ces notions.
1.5.1. Valeurs remarquables du cosinus et du sinus
1.5.1.1. Petits rappels
Nous allons déterminer les valeurs du cosinus et du sinus pour des angles de 30°, 45° ou 60°. Pour cela, nous allons avoir besoin du cercle trigonométrique. Sans faire un cours de trigonométrie, rappelons qu’un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 dont le centre est le centre d’un repère orthonormé. Exemple :
Figure 1.23. – Quart de cercle trigonométrique
Sur ce cercle, si on place un point M et que l’on appelleα la mesure de l’angle \IOM, alors on peut lire très facilement le cosinus et le sinus de α. Il suffit pour cela de construire les points H et K, projetés orthogonaux de M sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées. On a alors OH =M K =cos(α) etHM =OK =sin(α).
On peut dors et déjà appliquer le théorème de Pythagore puisque OMH est rectangle en H :
(cos(α))2+ (sin(α))2 = 12cos2(α) +sin2(α) = 1
Cette fameuse formule trigonométrique permet de déterminer le sinus d’un angle connaissant son cosinus et réciproquement. Mais venons-en à des cas particuliers. Et tout d’abord, que valent le sinus et le cosinus d’un angle de 45 ° ?
L’angle de 45°
 Si nous considérons un angle α de 45°, on constate rapidement que le triangle OHM est non seulement rectangle mais également isocèle. De là se dégagent deux conclusions assez évidentes : - Le rectangle OHMK est en réalité un carré - OH =OK donc cos(45°) =sin(45°)
La plus intéressante est la première car nous avons établi une formule au chapitre précédent : les diagonales des carrés de côté a mesurent a√
2! Et nous savons que la diagonale [OM] mesure 1 puisque c’est également un rayon du cercle trigonométrique. Nous aboutissons ainsi à l’équation : a√
2 = 1. Ne reste plus qu’à la résoudre pour trouver la longueur du côté a :
a \sqrt 2 \color{purple} \times \sqrt 2 &= 1 \color{purple} \times \sqrt 2 \ a \times 2 &=
\sqrt 2 \ a &= {\sqrt 2 \over 2}\end{aligned}$$
Nous avons ainsi trouver une première valeur remarquable : cos(45°) =sin(45°) = √22. Passons maintenant aux angles de 60° et 30°.
1.5.1.2. Les angles de 30° et 60°
Figure 1.24. – Avec un angle de 60°
Si nous considérons un angle α de 60° tout d’abord (le cas 30° étant symétrique), on constate que l’on obtient un triangle OMI équilatéral. En effet, OI = OM donc le triangle OMI est toujours isocèle. Mais comme les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, \OM I =
\OIM = 180−602 = 60°. Là encore, deux conclusions s’imposent :
— H est le milieu de [OI] donc OH = OI2 = 12;
— d’après le chapitre précédent, la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 1 mesure √23. Le théorème de Pythagore nous a ainsi permis de dire que sin(60°) = √23 et cos(60°) = 12. Si nous faisions la figure pour un angle de 30°, nous constaterions cette fois que OMJ serait équilatéral et donc, par symétrie, que cos(30°) = √23 et sin(30°) = 12.
1.5.2. Généralisation du Théorème de Pythagore
1.5.2.1. Le théorème
Le théorème de Pythagore est très utile, nous l’avons vu. Mais il a une limite importante : il faut absolument un angle de 90° dans le triangle où l’on souhaite l’appliquer. Heureusement, le théorème de Pythagore a connu des améliorations, sous l’Antiquité tout d’abord puis au Moyen-Âge. C’est ainsi que fut formulée lethéorème de Pythagore généralisé, aussi appelé Loi des cosinus ou théorème d’Al-Kashi, en l’honneur d’un important mathématicien persan du XIVème-XVème siècle.
Figure 1.25. – Ghiyath ad-Din Jamshid Mas‘ud al-Kashi
Pour utiliser le théorème d’Al-Kashi, il faut disposer des longueurs de deux côtés d’un triangle ainsi que de la mesure de l’angle situé entre ces deux côtés. Ce théorème permet de déterminer la longueur du troisième côté du triangle ou, inversement, si l’on connaît les trois côtés du triangle, de déterminer ses angles. Prenons un triangle ABC dans lequel on cherche la longueur CB, le théorème de Pythagore généralisé donne la relation suivante :
BC2 =AB2+AC2−2×AB×AC×cos(BAC)[
Dans un triangle rectangle, la fin de cette formule (−2×AB×AC×cos(BAC[)) n’apparaît pas car le cosinus d’un angle droit vaut 0.
1.5.2.2. Un exemple
Voyons maintenant ce que donne ce théorème dans le triangle ci-dessous :
Figure 1.26. – Triangle quelconque
Il suffit, pour commencer, de remplacer chaque longueur par sa mesure :
BC2 = 82+ 102−2×8×10×cos(60°)
Or nous avons vu que le cosinus d’un angle de 60° vaut 0,5. Il suffit donc désormais de calculer cette expression :
BC2 &= \underbrace{64 + 100} - \underbrace{2 \times 8} \times \underbrace{10 \times 0,5}\ BC2 &= 164 - \under-brace{16 \times 5}\ BC2 &= 164 - 80\ BC2 &= 84\ BC &= \sqrt {84} \approx 9,165 cm\end{ali-gned}$$
1.5.2.3. Une démonstration
Voyons maintenant comment parvenir à cette formule. Vous aurez remarqué que, dans la figure précédente, j’avais fait apparaître la hauteur [BH]. La raison est simple : il s’agit de faire
classique et les formules de trigonométrie. Ainsi, le théorème de Pythagore nous permet de calculer CB dans le triangle CBH : CB2 =CH2+HB2. Problème, nous ne connaissons pas la hauteur BH (entre autres). Mais celle-ci peut se calculer (toujours avec notre ami Pythagore) dans le triangle AHB : HB2 = AB2 − AH2. En injectant cette deuxième formule dans la première, on obtient donc :
CB2 =CH2+AB2−AH2
Mais nous sommes toujours face à un problème : nous ne savons pas où se situe le point H. C’est là qu’interviennent nos formules trigonométriques. Nous connaissons l’angleBAC[ donc nous allons utiliser son cosinus : cos(BAC) =[ AHAB. Ce qui peut également s’écrire AH = ABcos(BAC)[ . Nous avons une formule pour AH, reste à en trouver une pour CH. Ce n’est pas le plus compliqué : CH =AC−AH =AC−ABcos(BAC).[
i
Pour les triangles obtusangles, c’est à dire ceux ayant un angle aigu, la hauteur ”sort” du triangle. On a alors : CH =AH−AC. Cette différence n’ayant pas d’impact sur le reste de la démonstration, nous allons la négliger.Enfin, nous allons réutiliser la formule rouge dans laquelle nous remplacerons AH et CH par les deux formules violettes précédentes.
= (AC−ABcos(BAC))[ 2
| {z }
+AB2−(ABcos(BAC[))2
Vous aurez remarqué que l’un des carrés, celui souligné d’une accolade, est devenu un peu compliqué. Nous allons donc développer son écriture à l’aide de l’identité remarquable(a+b)2 = a2+ 2ab+b2.
&= AC2 - 2 AC \times AB \cos(\widehat{BAC}) + AB2\end{aligned}$$
Après développement, les termes ABcos(BAC)[ se suppriment et nous obtenons enfin la formule tant recherchée, celle du Théorème de Pythagore généralisé.