Hauteur d’un triangle équilatéral

1.4.6.1. Énoncé

?

Figure 1.20. – Calculer EM

1.4.6.2. Solution

Contrairement à la diagonale du carré, j’ai décidé ici de vous épargner. Le côté du triangle équilatéral n’est pas une inconnu, mais un nombre très simple : 1. La logique est ici la même

que pour le triangle isocèle : le triangle EFM est rectangle en M, son hypoténuse mesure 1 cm

Nous utilisons ici une autre propriété des racines carrées : [[attention]] | -> q_x

y =

√√x

y, avec x positif et y strictement positif.

<-———

A retenir :

- La diagonale d’un carré de côtéa vaut a√

2 - La diagonale d’un cube d’arête a vaut a√ 3 - La hauteur d’un triangle équilatéral de côté 1 vaut ^√₂³ - La duplication d’un cube à la règle et au compas est impossible

Et si nous allions plus loin encore ?

Le théorème de Pythagore est à la fois très connu mais aussi essentiel dans nombres de domaines que ce soit en mécanique, en géométrie ou en algèbre linéaire. Il fut amélioré par certains savants du moyen-âge mais donna aussi naissance à de nouveaux problèmes qui ne trouveront de solution

qu’à l’orée du XXIme^sicle.Leprsentchapitrevousproposed⁰allervoircesdif f rentesextensionsduthormedeP ythagore.

Norme euclidienne d’un espace à n dimensions De quoi parle-t-on ?

Nous allons ici chercher à déterminer la norme euclidienne d’un vecteur dans un repère ortho-normé. Mais ne fuyez pas, je vais vous expliquer de quoi il s’agit. Un **vecteur**, en géométrie, ce n’est rien de plus qu’une flèche comme ci-dessous :

 Pour simplifier, on pourrait dire qu’il s’agit d’un segment muni d’un sens. Le vecteur ci-dessus se noteAB~ et symbolise un déplacement de A vers B, ce qui n’est pas la même chose que le vecteur BA~ qui représente le déplacement inverse de B vers A. Chercher à calculer sa **norme**, ce n’est rien de plus que de chercher sa longueur AB. Le terme exact est norme **euclidienne**, car il existe des géométries calculant les longueurs de façon très particulière. Ce qui est commode, c’est d’utiliser les vecteurs dans un repère orthonormé. Qu’est-ce qu’un repère orthonormé ? Rien de plus que les axes d’un graphique. Mais attention, il faut que les axes soient perpendiculaires et gradués de la même façon. Exemple :

 Les points A et B peuvent chacun être situés à l’aide de deux nombres appelés **coordonnées**

du point. Ainsi, le point A ci-dessus a pour coordonnées (2 ; 4) alors que B a pour coordonnées (6 ; 6). De façon plus générale, ces coordonnées sont notées A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). De la même manière, un vecteur peut aussi être muni de coordonnées, mais celles-ci ne représentent pas sa position dans le repère mais le déplacement qu’il symbolise. Par exemple, le vecteur AB~ =~v ci-dessus a pour coordonnées ⁴₂

, car il se déplace de 4 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut. Le vecteur BA~ aurait eu pour coordonnées ⁻⁴₋₂ car il se serait déplacé

de 4 carreaux vers la gauche et de 2 carreaux vers le bas. Enfin, la norme du vecteur AB~ =~v se note ||AB||~ =||~v||.

Norme euclidienne en dimension 2

Notre but est donc de connaître la longueur de ce vecteur AB~ à partir des coordonnées de A et B. L’astuce consiste à introduire un point H afin de former un triangle rectangle :

 On peut alors lire facilement que AH = 4 et BH = 2 (il n’y a pas d’unité ici). En utilisant le

théorème de Pythagore on obtient :

AB^{2 &= 4}2 + 2^{2 \ AB}2 &= 16 + 4 \ AB^2 &= 20 \ AB &= \sqrt {20}\end{aligned}$$

Ce qui se note également ||AB||~ = √

20. Maintenant, réfléchissons. D’où vient cette valeur AH=4 ? Nous savions que xA=2 et xB=6, donc ce 4 a été obtenu par la soustraction AH = Nous avons donc les formules suivantes pour calculer la norme euclidienne d’un vecteur dans un espace à 2 dimensions :

Mais les valeurs absolues devenant inutiles lors de l’application des carrés et alourdissant l’explication, le choix a été fait de ne pas les mentionner afin de ne pas ajouter des difficultés supplémentaires.

Norme euclidienne en dimension 3

[[question]] | Cette formule peut-elle se généraliser à des espaces de plus grande dimension ? Pour répondre à cette question, revenons quelques instants sur un exercice précédent : le calcul de la diagonale d’un pavé droit.

 Nous avions alors calculé la longueur de la diagonale [AC] à l’aide de la formule AC² = DA² +DC², pour ensuite obtenir la longueur AG à l’aide de la formule AG² =AC² +CG².

Mais si dans la deuxième égalité, nous remplaçons AC par ce qui est donné dans la première, nous obtenons une sorte de ”formule de Pythagore 3D” :

Ce qui peut également se formuler ainsi (en notant d la diagonale du pavé, l sa largeur,L sa longueur et h sa hauteur) :

d =√

l²+L² +h²

Gardez cette formule dans un coin de votre tête et revenons à notre problème : calculer la norme d’un vecteur dans un espace à trois dimensions. Voilà pour commencer à quoi cela peut ressembler :

Figure 1.21. – Repère orthonormé de dimension 3

Il faut cette fois non plus 2 nombres pour situer un point, mais 3 ! Les coordonnées de A et B sont donc notées A(x_A;y_A;z_A)et B(x_B;y_B;z_B). Pour connaître la norme du vecteur AB, nous~ allons faire apparaître un pavé droit ayant [AB] comme diagonale :

Figure 1.22. – Pavé de diagonale [AB]

Pour connaître les dimensions de ce pavé, il suffit d’effectuer les soustractions habituelles : x_B−x_A, y_B−y_A etz_B−z_A. C’est donc maintenant que nous allons faire appel à notre super formule de Pythagore 3D et y injecter nos soustractions :

||AB||~ =p

(xB−xA)²+ (yB−yA)²+ (zB−zA)²

Nous obtenons donc deux nouvelles formules très proches des formules obtenues précédemment : [[attention]] | Si A et B sont deux points de coordonnées (x_A;y_A;z_A) et (x_B;y_B;z_B) alors on a :

Norme euclidienne en dimensions 4, 5, 6 ...

Même si cela semble difficile à visualiser, les mathématiciens actuels aiment travailler avec des espaces à 4, 5, 6 voire n dimensions (où n est un nombre potentiellement très grand). Il va devenir compliqué pour moi de réaliser les dessins explicatifs, mais vous devriez pouvoir vous en passer. Commençons par un espace de dimension 4 : vous aurez compris qu’il faudra 4 nombres dans les coordonnées des points et des vecteurs. Oublions nos points A et B, ne gardons que le vecteur~v. Celui-ci aura pour coordonnées :

Vous ne devriez pas avoir de peine à extrapoler la formule permettant de calculer la norme de notre vecteur :

||~v||=p

x²+y²+z² +t²

Facile non ? On essaye avec 6 dimensions ? C’est parti mais avant cela, nous allons changer nos notations ou sinon nous risquons de nous emmêler les pinceaux dans l’alphabet (et puis ça deviendrait ridicule d’écrire les lettres dans le désordre). Chaque coordonnée sera notée à l’aide de la lettre x à laquelle on adjoindra un numéro en indice. Ainsi, notre vecteur sera :

~v moi que cette formule devient longue à écrire, c’est pourquoi les mathématiciens ont inventé un symbole spécifique pour les additions à rallonge. Il s’agit de la lettre grecque sigma : P. Et voici ce que donne notre formule :

||~v||=

Tous les numéros ont été remplacés par la lettre i. On indique au-dessous du symbole P la valeur minimale dei (ici 1) et au-dessus sa valeur maximale (ici 6). Il devient alors très facile d’augmenter le nombre de dimensions à 7, 8, 9 ou 1000, puisqu’il suffit de modifier la valeur maximale. Ainsi, pour un espace de dimension n (où n est un nombre entier aussi grand que souhaité), la norme euclidienne d’un vecteur est donnée par la formule :

!

||~v||= v u u t

n

X

i=1

x_i²

Avouez qu’en voyant cette formule pour la première fois, vous n’auriez jamais pensé qu’il s’agissait en fin de compte du théorème de Pythagore.