Triangulations conformes d'objets linéaires

Le problème que nous souhaitons résoudre est le suivant: on dispose d'un ensemble G initial composé de points, de segments et de faces. On suppose que les éléments deGne se coupent pas, sauf éventuellement sur leurs bords. A partir de G, on souhaite réaliser une triangulation de Delaunay d'un en-semble de points G

d, qui "contienne" G.

Dénition 11 On dira qu'un ensembleGd'objets linéaires est contenu dans un complexe  (ou que  est conforme à G), si 8x2G on a:

 soit x2  soit 9y 1 ;:::;y k 2 tel que x= S k i=1 y i

En d'autres termes,  est conforme à G si tous les éléments de G sont dans  comme l'union d'un ou plusieurs éléments de . Dans le cas où 

est la triangulation de Delaunay de G

d, il ne sut pas comme le montre la gure 2.11, de prendre pour G

d les points de G et les sommets des faces et segments de G, car alors  ne "contient" pas, en général, tous les éléments de G. P i P i+1 G DT(G d )

Fig. 2.11  Les données 2D initialesGsont composées de points et d'arêtes.

La triangulation de Delaunay des points et extrémités de G ne contient pas

toutes les arêtes de G (en l'occurence [P

i ;P

i+1

] n'est pas dans DT(G

d )).

2.3.1.1 Cas 2D

En 2D, G est formé de points et de segments. Pour construire une

tri-angulation de Delaunay basée sur G nous nous basons sur la dénition 8

reformulée ici pour le cas 2D: un segment e 2 G est contenu dans la

trian-gulation de Delaunay de Gs'il existe un disque passant par les extrémités de

e x

Fig.2.12  L'arête e est de Delaunay car il existe un disque vide (en

poin-tillés), passant par les extrémités de e, et de centre x sur la médiatrice de e.

Nous présentons plusieurs solutions possibles, pour obtenir une

triangu-lation conforme àG:

A ) Triangulations adaptées à un terme de distance

Amenta et al pour leur algorithme de reconstruction [ABE97] ont dé-montré, sous des conditions de densité locale, qu'une certaine

trian-gulation de Delaunay basée sur G, comprend tous les éléments de G.

Quelques dénitions sont nécessaires.

Dénition12 On appelleLFS en un pointpsur une courbeG,LFS G

(p),

la distance euclidienne depà l'axe médian de G; l'axe médian d'un

ob-jet Gétant le lieu des points de IR

2 à égale distance de plusieurs points

diérents de G.

Dénition13 Un ensemble de points E  G est un r-échantillon

d'une surfaceS, si 8p2G on a d(p;E)rLFS

G (p). Les auteurs prouvent dans [ABE97] la propriété suivante:

Propriété 1 Si G

r est un r-échantillon de G dans le plan avec r1,

alors la triangulation de Delaunay DT(G

r

) contient une arête pour

toute paire de points de G

r consécutifs sur G.

En d'autres termes, DT(G

r

) est conforme à G pour r  1. Lorsque

l'axe médian n'est pas connu, ou ne se déduit pas facilement de G,

Amenta suggère d'approcher l'axe médian par le diagramme de Voronoï

de points sur G avec une forte densité (voir aussi [Att97, Att95] pour

le calcul d'axes médians à partir du diagramme de Voronoï). Ce qui est intéressant dans cette méthode, c'est qu'on peut trouver à partir d'un

critère sur la distance des objets de G, un "bon" échantillon de G qui

insérés est souvent important, et non utile dans la plupart des cas (voir gure 2.13). La propriété est susante, mais pas nécessaire.

P i Pi+1 Pi P i+1

Fig. 2.13  Axe médian de G. Un 1-échantillon de G et sa triangulation de

Delaunay (conforme à G).

B ) Triangulations contraintes

La triangulation de Delaunay contrainte basée sur G, est la

triangula-tion des sommets et extrémités de G, contrainte par les arêtes deG(on

force les arêtes à faire partie de DT(G)). Elle n'est pas en général une triangulation de Delaunay (voir gure 2.14).

P i P i+1 P i P i+1 G

Fig. 2.14  Triangulation de Delaunay contrainte par les données initiales

(en gras sur le dessin). Les cercles circonscrits aux triangles peuvent contenir d'autres points (cercles en pointillés par exemple).

La triangulation de Delaunay contrainte n'a pas encore été étendue aux dimensions supérieures à deux. En eet, sans ajout de nouveaux points,

C ) Triangulations dynamiques avec ajout de points Pour construire une triangulation DT(Gd

) conforme à G, contraire-ment aux triangulations contraintes, on s'autorise à ajouter de nou-veaux points (souvent appelés points de Steiner). Ces points sont in-sérés sur les arêtes de G, pour aner la triangulation et garantir que tous les éléments deG sont compris dans la triangulation.

Les applications et travaux dans ce domaine sont relativement récents et les résultats théoriques sont encore peu nombreux, surtout dans le cas tridimensionnel. Néanmoins, Edelsbrunner et Tan ont démontré dans [ET92] une borne supérieure sur le nombre de points à insérer dans le cas 2D. Pour un ensemble G composé de n points et m segments il existe un ensemble Gd de O(m2n) points, tel que la triangulation de Delaunay DT(Gd

) de l'ensemble Gd est conforme à G. En pratique, cette borne est loin d'être nécessaire.

Des méthodes simples dues à Boissonnat [Boi88a], Ruppert [Rup93] ou Shewchuk [She96] consistent à insérer un point I sur chaque segment "accroché". Un segment "accroché" pour Shewchuk, est un segment dont le cercle centré en I (son milieu), contient un autre point ou un autre segment deG. Un segment est plus généralement dit "accroché", s'il ne vérie pas la propriété de Delaunay (propriété 8).

On construit une liste L de toutes les arêtes de G. Chaque segment "accroché" est coupé en plusieurs petits segments qui sont rajoutés dans la listeL. On itère l'opération tant qu'il y a des segments "accro-chés" dans L (voir gure 2.15). La borne théorique sur le nombre de points à insérer est très grande, mais en pratique la méthode est très performante. P i P i+1 P i P i+1

Fig. 2.15  Triangulation de Delaunay des extrémités de G avec un

seg-ment [Pi;Pi+1

] accroché. Triangulation de Delaunay conforme, de l'ensemble

G après insertion d'un point sur [Pi;Pi+1

]. En eet les deux nouveaux

Le grand intérêt de ce type de méthode par rapport aux méthodes précédentes est sa simplicité de mise en ÷uvre.

2.3.1.2 Cas 3D

Pour déterminer si une face 3D est de Delaunay on se base sur la déni-tion 8 qui nous donne le critère suivant: une face f 2 G est contenue dans la triangulation 3D de Delaunay de G s'il existe une boule passant par les extrémités de f ne contenant pas d'autre point, arête ou face de G.

r f

Fig. 2.16  La facef est de Delaunay car il existe une sphère vide passant

par les extrémités de f.

Remarque: si une face f est de Delaunay alors ses arêtes sont toutes de

Delaunay. Par contre la réciproque n'est pas vraie, en général.

On opère de la même façon que dans le cas 2D, en itérant sur une liste

L des faces et arêtes de G. En pratique on itère d'abord sur les arêtes de G,

car malgré la remarque précédente, on élimine une grande partie des faces "accrochées" en ajoutant des points sur les arêtes "accrochées".