Les structures géométriques
2.2 Partition pour un ensemble ponctuel
F 1;2 F k 1;k F 2;3 E
Fig. 2.2 Deux 3-cellules C
1 et C
2 sont adjacentes par la face F
1;2 ( gure
de gauche). Les faces F
i;j sont adjacentes par l'arête E ( gure de droite).
L'arête E est incidente à toutes les faces F
i;j.
2.2 Partition pour un ensemble ponctuel
On note E
d
l'espace euclidien (ou l'espace métrique) de dimension d, et
S un ensemble particulier de points de E
d, que l'on appellera sites pour les
distinguer des autres points de E
d. On note par la distance sur E
d. Nous
allons dans cette section construire des structures géométriques basées sur
l'ensemble S, qui partitionne l'espace E
d selon des critères de proximité liés
aux sites de S.
2.2.1 Diagramme de Voronoï
Les diagrammes de Voronoï sont des structures très intéressantes dès que la notion de proximité entre en jeu. Les dé nitions et les propriétés principales
sont décrites ici, dans le cas où S est un ensemble de points associé à une
métrique euclidienne ( représente la distance euclidienne).
Dé nition 5 Soit S un ensemble de sites de l'espace E
d. La cellule de Voronoï d'un site particulier p 2 S est la région formée de tous les points
de E
d plus proches de p que des autres sites de S.
On notera par Vor(p) = fx 2 E
d
;8q 2 S np;(x;p) (x;q)g la région
ou cellule de Voronoï du sitep. La cellule Vor(p)est l'intersection des
demi-espaces contenant p et limités par les hyperplans médiateurs des segments
[p;q]avec q2S etq 6=p.
Dé nition 6 On appelle diagramme de Voronoï de S, noté Vor(S),
l'en-semble des cellulesVor(p)p2S et de leurs faces.Vor(S)forme une partition
de E
Un exemple de diagramme de Voronoï de points en métrique euclidienne est donné en gure 2.3.
s i
s k
Fig. 2.3 Diagramme de Voronoï de points dans le plan. Les régions grises
sont les cellules de s
i ( nie) et s
k (in nie).
Dé nition 7 On dit que S véri e l'hypothèse de position générale PG, si
d+2 sites quelconques de S ne sont pas cosphériques.
Quelques propriétées intéressantes des diagrammes de Voronoï:
le diagramme de Voronoï est formé de polytopes convexes. Les sites de
S qui sont sur l'enveloppe convexe de S forment les cellules de
Voro-noï in nies. Les sites strictement à l'intérieur de l'enveloppe convexe forment les cellules nies et convexes du diagramme.
la face commune entre deux cellules adjacentes de centrex
i etx
j a pour
support le plan médiateur du segment [x
i,x
j] et représente les points
de E
d à égale distance de x
i et x j.
Si de plus, S véri e l'hypothèse PG alors:
les sommets du diagramme Vor(S) sont les centres de sphères passant
par d+1 sites exactement.
En 2D, pour un ensemble S de n sites, la partition Vor(S) est formée
de n cellules, 2n 5sommets et 3n 6 arêtes.
En 3D, le diagramme de Voronoï est une partition de l'espace en poly-èdres convexes. Les sommets de ce diagramme sont à égale distance et plus proches de quatre sites, les arêtes sont équidistantes à trois sites et les faces médiatrices à deux sites.
2.2.2 Triangulation de Delaunay
Dé nition 8 SoitS un ensemble de sites de l'espaceE
d, on appelle simplexe de Delaunay tout p-simplexe [q
0 ;:::;q
p ] (q
i
2 S) pouvant être circonscrit par une boule qui ne contient pas de points de S en son intérieur.
On appelleDel(S)le complexe formé des simplexes de Delaunay de l'en-sembleS(points, arêtes, faces,...). Sous l'hypothèse de position généralePG, le complexe Del(S) est une triangulation DT(S) formée de triangles en 2D ou de tétraèdres en 3D, dont les sommets sont les sites deS (voir gure 2.4). Les triangulations de Delaunay ont de multiples propriétés très intéressantes: 1) La triangulation de Delaunay est le graphe dual du diagramme de Voronoï: deux sites de S sont reliés dans la triangulation si et seulement si leurs cellules sont adjacentes dans le diagramme de Voronoï.
2) En 2D, DT(S) est parmi toutes les triangulations possibles de S, celle qui maximise l'angle minimum de ces triangles. En d'autres termes c'est celle dont les triangles sont les plus équilatéraux possibles. En pratique ce résultat est très apprécié pour le calcul d'éléments nis, car on obtient des triangles moins plats que pour les autres triangulations. 3) Les faces extérieures à la triangulation de Delaunay de S forment la
frontière de l'enveloppe convexe de S.
si s i sk s k
Fig. 2.4 Triangulation de Delaunay de points dans le plan et enveloppe
convexe des points. Le sommet s
i qui correspond à une cellule nie dans
Vor, est à l'intérieur de l'enveloppe convexe. Et s
k qui correspond à une
2.2.3 Dualité Delaunay/Voronoï
SoitDT(S)etVor(S)respectivement, la triangulation de Delaunay et le diagramme de Voronoï d'un ensemble de sites S qui véri e la propriété PG. En 2D, la dualité est illustrée en gure 2.5.
si
Fig. 2.5 Dualité Delaunay/Voronoï.
La dualité de DT(S) etVor(S) dansE
3 se traduit sur leurs éléments de
la façon suivante:
un sommet de DT(S) correspond à une cellule (polyèdre) deVor(S).
une arête de DT(S) correspond à une face de Vor(S).
une face de DT(S) correspond à une arête de Vor(S).
un tétraèdre de DT(S)correspond à un sommet de Vor(S).
De manière générale une q-cellule de Delaunay correspond à une(d q)
-cellule de Voronoï dans E
Fig. 2.6 Dualité en 3D des simplexes de Delaunay et Voronoï. Une conséquence directe de la dualité est que la construction et la struc-ture de données utilisées pour les diagrammes de Voronoï, peuvent se dé-duire de celles de la triangulation de Delaunay. Parcourir une triangulation est souvent plus simple que de parcourir un complexe quelconque. En eet les simplexes d'une triangulation ont un nombre xe de voisins (trois en 2D et quatre en 3D) alors que pour un complexe général le nombre de voisins est variable. Ainsi l'adjacence dansVor(S) de cellules par une face, ou de faces par une arête, se déduit facilement des incidences de sommets et arêtes dans
DT(S).
2.2.4 Algorithmes de construction
Les algorithmes de construction de ces structures géométriques sont di-vers et variés. Nous noterons néanmoins trois classes principales de méthodes (méthodes incrémentales, méthodes "divide and conquer", et méthodes de balayage). Des comparaisons et des informations supplémentaires sont dis-ponibles dans [Des96] pour les triangulations.