Treillis des fonctions continues intervalles

Rappelons que IRrepr´esente l’ensemble des intervalles r´eels ferm´es.

D´efinition 5.5 (Fonctions intervalles) Nous noterons_IF∞l’ensemble des fonctions intervalles d´efinies sur R+ :

IF∞={f : R+→ IR} .

Une fonction f _{∈ IF}∞ associe donc `a chaque instant x ∈ R+un intervalle f (t) ∈ IR. Nous

repr´esenterons graphiquement une telle fonction comme montr´e `a la figure 5.5. Cette figure montre deux fonctions deIF∞ : la fonction rouge est la fonction constante f telle que∀x ∈ R+, f (x) =

[0, 1] et la fonction bleue est la fonction g telle que_{∀x ∈ R}+, g(x) =

h − 1 x+1, 1 + 1 x+1 i . f g

5.3. S´EMANTIQUE D´ENOTATIONNELLE DE LA PARTIE CONTINUE 87

On munit_IF∞ d’un ordre partiel qui est une extension point `a point de l’ordre inverse sur les intervalles. Rappelons que l’ordre inverse_{⊒ sur les intervalles est donn´e par ∀x, y ∈ I}R, x⊒ y ⇔

y_{⊆ x. Le domaine}¡IR,⊒

¢

est un CPO.

D´efinition 5.6 (Ordre partiel sur IF∞) Soient f, g∈ IF∞deux fonctions intervalles. On a

alors :

f _⊑∞g_{⇔ ∀x ∈ R}+, f (x)⊒ g(x) ⇔ ∀x ∈ R+, g(x)⊆ f(x) . (5.4)

L’ordre⊑∞ signifie qu’en tout point x∈ R+, la fonction g apporte plus d’information que f . La

notion d’information que nous utilisons ici est contre-intuitive (on dira qu’un intervalle contient plus d’information s’il est plus petit), mais est coh´erente avec l’id´ee que ces fonctions intervalles sont des approximations de la solution de l’´equation diff´erentielle. Cette solution est en effet une fonction r´eelle, c’est-`a-dire une fonction intervalle de largeur nulle, et elle est cens´ee repr´esenter l’´el´ement d’information maximale. Il faut donc que cette fonction soit plus grande que toutes ses approximations, ce qui impose d’utiliser l’ordre inverse sur les intervalles.

Exemple 5.4 Sur la figure 5.5, la fonction rouge (f ) est plus grande que la fonction bleue (g).

D´efinition 5.7 (Fonctions sup´erieures et inf´erieures) Soit f _{∈ IF∞}. On d´efinit les fonctions sup´erieures f : R+→ R et inf´erieure f : R+→ R comme les deux fonctions r´eelles telles que :

∀x ∈ R+, f (x) =ˆf (x), f (x)˜ .

Exemple 5.5 Pour la fonction g de la figure 5.5, on a : ∀x ∈ R+, g(x) =−

1

x + 1 g(x) = 1 + 1 x + 1 .

Nous allons naturellement nous limiter `a l’´etude des fonctions de <sub>IF</sub>∞ qui poss`edent un cer-

tain degr´e de continuit´e. Nous allons en effet d´efinir la notion de primitive pour les fonctions intervalles, ce qui suppose une certaine r´egularit´e des fonctions inf´erieures et sup´erieures. Nous travaillerons donc uniquement sur les fonctions intervalles dont la fonction sup´erieure (respecti- vement inf´erieure) est semi-continue sup´erieurement (respectivement inf´erieurement). Rappelons qu’une fonction f : R+ → R est dite semi-continue sup´erieurement si et seulement si :

∀x0∈ R+, ∀² > 0, il existe un voisinage U de x0 tel que∀x ∈ U, f(x) ≤ f(x0) + ² . (5.5)

La semi-continuit´e inf´erieure est ´equivalente sauf que l’on impose que_{∀x ∈ U, f(x) ≥ f(x}0)− ².

Pour une fonction f ∈ IF∞, lorsque les fonctions f et f sont semi-continues sup´erieurement et

inf´erieurement, respectivement, on dira que f est continue. En fait, dans ce cas, f peut-ˆetre vue comme une fonction continue au sens de la topologie de Scott du domaine (R+,≤) (≤ est ici

l’ordre naturel sur les nombres r´eels) vers (IR,⊒) [EL02]. Nous pr´esentons ici un cadre l´eg`erement

diff´erent et plus simple que celui d´ecrit par Edalat et Lieutier dans [EL02] ou Edalat et Pattinson dans [EP04], mais nous utiliserons certains de leurs r´esultats, et donnerons des preuves l´eg`erement diff´erentes de celles apport´ees par Edalat.

D´efinition 5.8 (Fonctions intervalles continues) Soit f ∈ IF∞. On dira que f est continue

si et seulement si f est semi-continue inf´erieurement et f semi-continues sup´erieurement. Nous noterons_IF0_∞ l’ensemble des fonctions intervalles continues :

IF0∞=

©

1 0.5 0.5 1 f2 f3 f5 f11 f50

Fig. _{5.6 – Repr´esentation des fonctions fn de l’´equation 5.6.}

Proposition 5.1 ([EL02]) Le domaineIF0

∞ muni de l’ordre ⊑∞ (d´efinition 5.6) est un CPO.

Preuve Les domaines¡R+,≤

¢

et¡IR,⊒

¢

sont des CPOs et les fonctions continues sont des fonc- tions Scott-continues (au sens de la topologie euclidienne) de¡R+,≤¢vers¡IR,⊒

¢

, et l’ensemble

des fonctions Scott-continues entre deux CPOs est un CPO [GHK+_{03]. ¤}

Remarque (Condition de semi-continuit´e) Remarquons que la condition de semi-continuit´e inf´erieure et sup´erieure pour les fonctions intervalles est n´ecessaire pour que_IF0_∞ soit un CPO. En effet, si on impose des conditions plus fortes, par exemple, que pour tout f _{∈ IF}∞, f et f sont

continues, alorsIF0∞ n’est plus un CPO. Consid´erons par exemple la suite de fonctions lin´eaires

par morceaux¡fn ¢ n∈Ntelles que∀n ∈ N : fn(0) = fn( 1 2) = 1 + 1 n, fn( 1 2+ 1 n + 1) = 1 2+ 1 n + 1, fn(1) = 1 2. (5.6)

La figure 5.6 montre quelques unes de ces fonctions. La suite ¡fn¢_n∈N d´efinie par ∀x ∈

R+, fn(x) = [0, fn(x)] v´erifie ∀n ∈ N, fn ⊑∞ fn+1. Posons f = ⊔n∈Nfn. Clairement, f v´erifie

∀x ∈ [0,1

2], f (x) = 1 et∀x ∈] 1

2, +∞[, f(x) = 1

2. Donc, f n’est pas continue en 1

2, par contre elle

est semi-continue sup´erieurement.

Remarque (Fonctions r´eelles) Notons ´egalement que l’ensemble _C0_(R

+) des fonctions conti-

nues r´eelles d´efinies sur R+ est inclus dans IF0_∞ via la fonction γ : C0(R+) → IF0_∞ telle que

∀f ∈ C0_(R

+), γ(f ) = λx.[f (x), f (x)]. La fonction γ est injective, et nous dirons, par abus de

notation, que f ∈ IF0∞ pour tout f ∈ C0(R+).

Rappelons que nous cherchons `a d´efinir la solution de l’´equation diff´erentielle de la d´efinition 5.4. Cette solution est une fonction r´eelle d´efinie sur R+que nous allons calculer comme

la limite d’une s´erie d’approximations. Chaque approximation sera une fonction intervalle conti- nue, et nous allons am´eliorer cette approximation “de la gauche vers la droite” : on voit chaque instant t _{∈ R}+ comme un point de contrˆole pour la fonction, et, comme c’est le cas pour la

s´emantique des programmes, nous allons mettre `a jour les points de contrˆole en commen¸cant par les plus proches du point initial (dans notre cas il s’agit de 0). Nous devons donc ajouter `a une fonction f ∈ IF0

∞ une information indiquant jusqu’`a quel instant cette approximation est valide,

c’est-`a-dire jusqu’`a quel instant nous l’avons d´ej`a calcul´ee. Nous allons donc consid´erer des couples (f, t) tels que f ∈ IF0

5.3. S´EMANTIQUE D´ENOTATIONNELLE DE LA PARTIE CONTINUE 89

Intuitivement, un couple (f, t) repr´esente donc une approximation d’une fonction r´eelle qui est significative (ou repr´esentative) jusqu’au temps t. Nous dirons que t est le support de f .

D´efinition 5.9 (Fonctions intervalles continues avec support) Nous noteronsD0_{le produit}

cart´esien deIF0∞et de R+, le treillis complet des nombres r´eels positifs muni de l’´el´ement +∞.

D0=_IF0_{∞× R}+. (5.7)

D´efinition 5.10 (Ordre partiel sur D0_{) On ´etend l’ordre}

⊑∞`aD0. Un couple (g, u)∈ D0est

plus grand que (f, t)_{∈ D}0_{si et seulement si g est plus pr´ecise que f et u est plus grand que t :}

(f, t)_⊑0(g, u)_{⇔ f ⊑}∞g et t≤ u . (5.8)

L’ordre ⊑0 _{peut ˆetre vu comme une restriction de l’ordre ⊑}

∞ : on impose que le support de

g (c’est-`a-dire le domaine o`u g est significative) soit plus grand que celui de f . Nous ´etudions maintenant les propri´et´es du domaineD0_{muni de l’ordre ⊑}0_.

Proposition 5.2 ¡_D0_,

⊑0¢_{est un CPO.}

Preuve Le domaine¡IF0

∞,⊑∞¢est un CPO et¡R+,≤¢muni de l’ordre naturel sur les nombres

r´eels aussi. Le domaineD0_{est le produit cart´esien de deux CPOs, c’est donc un CPO. ¤}

D´efinition 5.11 (Plus petit majorant et plus grand minorant) Soit (f, t), (g, u)_{∈ D}0_{. On}

d´efinit le plus petit majorant et le plus grand minorant par :

(f, t)⊔ (g, u) = (φ, v) tel que v = max(t, u) et φ = λx.f(x) ∩ g(x) . (5.9)

(f, t)_{⊓ (g, u) = (φ, v) tel que v = min(t, u) et φ = λx.f(x) ∪ g(x) .} (5.10) Dans ces ´equations,∪ et ∩ sont les op´erateurs d’union et d’intersection sur IR.

Exemple 5.6 La figure 5.7 montre l’effet le l’op´erateur_{⊔ sur deux fonctions intervalles continues,} la figure 5.8 montre l’effet de _{⊓. Sur ces deux figures, un ´el´ement (f, t) ∈ D}0 _{est repr´esent´e}

graphiquement par une repr´esentation de la fonction f comme sur la figure 5.5 et t est repr´esent´e par la droite verticale en pointill´e.

Nous ajoutons `a IF0∞ un plus petit ´el´ement ⊥∞ et un plus grand ⊤∞. Intuitivement, ⊥∞

correspond `a la fonction dont la valeur est ]− ∞, +∞[. L’´el´ement ⊤∞est une valeur artificielle qui

est plus grande que toutes les fonctions continues r´eelles. Notons en effet que pour deux fonctions continues r´eelles f, g que nous voyons comme des ´el´ements de_IF0_∞, on a f _⊑∞g_{⇔ f = g. Comme} nous le faisons dans le cas des treillis plats, nous ajoutons donc_⊤∞ tel que _{∀f ∈ C}0_{(R), f}

⊑∞

⊤∞. Clairement, on a alors ∀f ∈ IF0∞, f ⊑∞ ⊤∞. Le plus grand ´el´ement de D0 est donc

⊤0₌¡

⊤∞, +∞

¢

, et le plus petit est _⊥0₌¡

⊥∞, 0

¢ .

Remarque Dans la d´efinition du plus petit majorant de (f, t) et (g, u) (d´efinition 5.11), on suppose que∀x ∈ R+, f (x)∩ g(x) 6= ∅. Si ce n’est pas le cas, on posera f ⊔ g = ⊤0.

Proposition 5.3 (_D0_,

⊑0_,

⊤0_,

⊥0_,

(f, t)

(g, u)

⊔

(f, t)_{⊔ (g, u)}

Fig._{5.7 – Union surD}0_.

(f, t)

(g, u)

⊓

(f, t)⊓ (g, u)

Fig. _{5.8 – Intersection surD}0_.

Preuve Comme (R+,≤) est un treillis complet, il suffit de montrer que (IF0_∞,⊑∞) est un treillis

complet pour arriver au r´esultat. Soit donc S ⊆ IF0∞. Soient S et S les ensembles de fonctions

r´eelles d´efinis par S =©f : f _{∈ S}ªet S =©f : f _{∈ S}ª. L’ensemble S est un ensemble de fonction semi-continues inf´erieurement, donc la fonction f d´efinie par∀x ∈ R+, f(x) = sup{f(x) : f ∈ S}

est semi-continue inf´erieurement. De mˆeme, la fonction f(x) = inf_{{f(x) : f ∈ S} est semi-continue} sup´erieurement. On d´efinit alors f_{∈ IF}0_∞ par :

f= 

⊤∞ si∃x ∈ R+ : f(x) > f(x)

λx.[f(x), f(x)] sinon .

On a bien f =FS et f_{∈ IF}0_∞, ce qui prouve que_IF0_∞ est un treillis complet.

¤

Dans le document Analyse statique par interprétation abstraite de systèmes hybrides. (Page 89-93)