Calcul de la s´emantique abstraite - Analyse statique par interprétation abstraite de systèmes

Théorème 6.10 Si L.M♯ _{vérifie le critère CS2, alors pour tout PCI P , on a :}

LP M ⊆ γ ◦ γ′¡LP M♯¢

Preuve On montre que si L.M♯ _{vérifie CS2, alors γ}′_{◦ L.M}♯ _{vérifie CS1. Ceci est évident d’après la}

définition de γ′ _{(définition 6.5). Le théorème 6.1 s’applique donc sur γ}′_{◦ L.M}♯_{, ce qui prouve le}

th´eor`eme 6.10. ¤

6.3 Calcul de la s´emantique abstraite

Nous allons donc utiliser le domaine des contraintes FSn comme domaine abstrait, et nous cherchons une s´emantique abstraite L.M♯_:_{PCI → FS}n

qui vérifie le critère CS2. Cette sémantique abstraite nous est fournie par les algorithmes d’intégration garantie décrits au chapitre 3.

6.3.1 L’int´egration garantie est une s´emantique abstraite valide

Pour construire la sémantique abstraite, nous allons simplement utiliser les algorithmes d’intégration garantie de la manière suivante : la première phase de l’algorithme (encadrement a priori, voir la section 3.3.2) nous donne, à partir d’un PCI P :=¡˙y = F (y, [k] , y(0)_{∈ [y}0]

¢ , un pas d’intégration h et un encadrement [y] tels que _{∀t ∈ [0, h] , ∀y ∈ LP M, y(t) ∈ [y] (on pourra} trouver les preuves dans [BM07a, NJC99]). De plus, la seconde phase de l’intégration garantie (section 3.3.3) donne [yh] tel que∀y ∈ LP M, y(h) ∈ [yh]. Le théorème suivant est donc vrai :

Théorème 6.11 (Fonction d’intégration garantie) Il existe une fonction IG qui, étant donné un PCI P _{∈ PCI, fournit h ∈ R}+, [y] , [yh]∈ IRn tels que :

1. ∀y ∈ LP M, ∀t ∈ [0, h] , y(t) ∈ [y] et 2. ∀y ∈ LP M, y(h) ∈ [yh].

Si la fonction renvoie h = 0, cela voudra dire que l’intégration garantie a échoué.

Définition 6.13 (Sémantique abstraite) La sémantique abstraite d’un PCI P ∈ PCI est définie comme le résultat de l’algorithme suivant :

Entr´ee : P =¡˙y = F (y, [k]), y(0)_{∈ [y}0]

¢ ∈ PCI

Entr´ee : N _{∈ N}∗_; _{/* nombre de pas `}_{a effectuer */}

Sortie : LP M♯N

d´ebut

(h, [y] , [yh]) = IG(P );

si h = 0 alors renvoyer tt♯_{; finsi}

res = 0 : [y] ; i = 1; tant que i < N faire

P =¡˙y = F (y, [k]), y(0)_{∈ [y}h]

¢ ; (h, [y] , [yh]) = IG(P );

si h = 0 alors renvoyer res_{∧ t : ⊤}n I; finsi

res = res_{∧ t : [y];} i = i + 1; t = t + h; fintantque

renvoyer res_{∧ t : ⊤}n I;

fin

Pour un PCI P ∈ PCI et un entier N ∈ N∗_{, on notera LP M}♯

La sémantique abstraite utilise donc un algorithme d’intégration garantie pour calculer une sur- approximation des solutions du PCI par une fonction en escalier à N marches. Le paramètre N permet de contrôler la précision de l’abstraction : plus N est grand, plus l’abstraction est précise. La sûreté de la sémantique abstraite ainsi calculée est prouvée par le théorème suivant.

Théorème 6.12 (Sûreté de la sémantique abstraite.) Pour tout N ∈ N∗_{, la fonction L.M}♯ N

donné à la définition 6.13 vérifie le critère CS2.

Preuve On prouve le théorème par récurrence sur N . Si N = 1, la preuve est évidente d’après le théorème 6.11. Soit maintenant N _{≥ 1 tel que la fonction L.M}♯_N vérifie le critère CS2, nous devons montrer que L.M♯N +1 le vérifie également. Soit donc P ∈ PCI un problème de Cauchy intervalle

et soit φ = LP M♯N +1. D’apr`es la d´efinition 6.13, φ est construite ainsi : on calcule ψ = LP M ♯ N, puis

on effectue un dernier pas d’intégration garanti pour la dernière contrainte. D’après l’hypothèse de récurrence, ψ vérifie l’équation (6.15), et d’après la construction de la dernière contrainte et le théorème 6.11, φ vérifie également cette équation pour i = N + 1. Donc, φ vérifie l’équation

(6.15), donc L.M♯N +1v´erifie le crit`ere CS2. ¤

6.3.2 Motivation pour une nouvelle m´ethode d’int´egration garantie

Les algorithmes classiques d’intégration garantie (AWA ou VNODE notamment) utilisent, pour résumer, un développement en séries de Taylor de la solution de l’EDO à intégrer, qu’ils trans- forment en méthode de calcul garanti en utilisant une arithmétique d’intervalles (voir chapitre 3). La formule ainsi obtenue est ensuite réécrite pour obtenir une méthode la plus stable possible. Cette réécriture consiste notamment à remplacer le calcul par intervalle classique en un calcul par forme centrée, ce qui revient à calculer l’encadrement comme un point associé à une erreur, soit le diamètre de l’intervalle. Les méthodes les plus stables (comme COSY-VI) vont encore plus loin en représentant les termes intervalles par des formes de Taylor, ce qui réduit le wrapping effect mais augmente largement le temps de calcul. Les méthodes classiques à base d’intervalles, si elles sont relativement efficaces, souffrent de plusieurs problèmes. Tout d’abord, pour des problèmes non linéaires, les résultats tendent à être fortement surapproximés à cause du wrapping effect qui rend les algorithmes instables. Pour les problèmes les plus complexes, cette instabilité est couplée à une baisse d’efficacité. En effet, il devient alors important d’utiliser un ordre élevé dans le développement en série de Taylor. Presque toutes les implémentations existantes utilisent des algorithmes de différentiation automatique pour cela, ce qui revient à recalculer à chaque pas les dérivées successives de la fonction à intégrer. Cette opération peut être très coûteuse en temps. Enfin, le principal reproche que l’on pourrait faire aux méthodes classiques d’intégration garantie est leur éloignement des méthodes d’intégration numérique. En effet, les numériciens ont développé de nombreuses méthodes d’approximation des solutions des équations différentielles et possèdent souvent une grande expertise sur ces méthodes. Par ailleurs, ces méthodes sont très souvent uti- lisées lors du test des systèmes critiques embarqués pour simuler l’environnement extérieur (c’est notamment ce que nous avons fait pour la simulation du problème des deux réservoirs en Simulink, annexe A). Une méthode d’intégration garantie qui serait construite sur une méthode numérique permettrait donc non seulement d’utiliser l’expertise acquise sur les méthodes numériques pour choisir finement le pas d’intégration et rendre la méthode la plus stable possible, mais surtout donnerait une information supplémentaire qui est la distance entre la simulation numérique et la vraie solution. Dans cette optique, on peut voir le programme de résolution numérique comme l’implémentation, suivant un algorithme particulier, du problème de la résolution de l’équation différentielle. Mesurer la qualité de cette implémentation revient à mesurer la distance entre les résultats fournis par l’intégration numérique et les résultat attendus, c’est-à-dire la solution de l’équation différentielle.

Nous avons développé une méthode d’intégration garantie nommée GRKLib qui repose sur ces idées, c’est-à-dire qu’elle s’appuie sur une méthode numérique classique (en l’occurrence une méthode de Runge-Kutta, mais les idées que nous présentons peuvent s’appliquer dans un cadre bien plus général). Notre ambition en commen¸cant ce travail sur un algorithme de Runge-Kutta

Dans le document Analyse statique par interprétation abstraite de systèmes hybrides. (Page 122-124)