o`u les fonctions d’ondes sont d´ecrites par l’´equation de Bogolioubov-de Gennes (voir par exemple dans [21]).
Les structures de MAR se produisent `a des ´energies telles que eV < (∆1 + ∆2)/2 ; si on consid`ere deux supraconducteurs identiques, cette condition s’´ecrit eV < ∆ amenant naturellement `a les nommer “structures sous le gap”. Dans cette th`ese, on va aller au del`a du d´eveloppement perturbatif et on inverse (num´eriquement) l’´equation de Dyson pour obtenir la fonction de Green “habill´ee” du point quantique. Par la suite, on ajoute l’interaction coulombienne par une approximation de champs moyens. On verra ainsi les structures MAR plus pr´ecis´ement. Dans les chapitres suivants, on d´etaille les calculs justifiant les r´esultats ´enonc´es ici.
5.3 Quelques travaux sur le MAR
Dans le contexte de la th´eorie de la diffusion et des supraconducteurs m´esoscopiques (d´ecrits par les fonctions d’ondes de l’´equation de Bogolioubov-de Gennes), il faut men-tionner les r´esultats de Samuelsson et al. [22] qui montrent en particulier que plus Γ augmente, plus il y a de r´eflections d’Andreev et les “structures sous le gap” se com-posent bien d’une multitude de pics2
. Les structures MAR dans des jonctions diffusives
S/N/S (supraconducteurs quasiclassiques “sales” d´ecrits par les ´equations de Usadel)
ont ´egalement ´et´e ´etudi´ees par Cuevas et al. [23] ou dans un formalisme hamiltonien hors-´equilibre en pr´esence d’interaction coulombienne par Levy Yeyati et al. [24] (dans les cas limites avec et sans blocage de Coulomb). L’interaction coulombienne est ensuite ´etudi´ee avec une approximation de champs moyens par Avishai et al. [25] en utilisant un formalisme d’int´egrales de chemins avec la th´eorie de Keldysh pour un traitement hors-´equilibre (les mˆemes techniques sont `a l’oeuvre dans notre travail). Leur article contient en outre une discussion sur les supraconducteurs non-conventionnels ; pour ce qui nous concerne (supraconducteurs BCS (s-wave)), l’interaction coulombienne tend `a d´etruire les “structures MAR sous le gap”. Des exp´eriences sont r´ealis´ees [26, 27] et mettent le MAR en ´evidence.
D’autre part, Zazunov et al. [28] ´etudient l’effet d’un couplage d’intensit´e λ avec un pho-non. Les structures dans le courant sont riches et pour bien voir l’effet sur le courant, ils ´etudient la diff´erence δI = I(λ) − I(λ = 0) en utilisant une th´eorie perturbative. L’´etude se fait `a T = 0 avec un couplage faible : les effets sur le courant restent faibles mais n´eanmoins riches. Il est attendu qu’`a une temperature non nulle et un couplage plus fort, les phonons pourraient ˆetre consid´er´es comme une source de d´ecoh´erence.
Chapitre 6
Transport hors-´equilibre et MAR
Ce chapitre d´ecrit les ´etapes du calcul permettant d’obtenir l’expression du courant. On rappelle d’abord les hamiltoniens d´ej`a utilis´es dans notre travail sur le courant Josephson. Puis on introduit quelques concepts sur le contour Keldysh qui permet de traiter le transport hors-´equilibre. On utilise ensuite une transformation de Hubbard-Stratonovich pour traiter l’interaction coulombienne.
6.1 Mod`ele hamiltonien
Le syst`eme ´etudi´e est constitu´e d’un point quantique plac´e entre deux contacts supracon-ducteurs (jonction S/QD/S). Les constantes de couplages sont suppos´ees sym´etriques. On ajoute en plus un contact m´etallique dont on ´etudiera l’influence sur le courant pas-sant entre les supraconducteurs (voir la figure6.1).
On utilise les indices L (resp. R) pour se r´ef´erer au cˆot´e gauche (resp. droit) de la figure 6.1. Ainsi les tensions appliqu´ees sont not´ees Vj pour j = L, R. La tension dans le m´etal
R L
V=+V/2
V=−V/2
S D S
N
V=0
NFigure 6.1: Vue sch´ematique du syst`eme. Un point quantique (not´e D) `a un niveau d’´energie est plac´e entre deux supraconducteurs (not´es S) sur lesquels on applique les tensions ±V/2. Un contact additionnel (m´etal normal, not´e N) devrait contrˆoler la
44 Chapitre 6 - Transport hors-´equilibre et MAR normal est VN = 0. L’introduction de ces tensions n’est pas compl`etement trivial et n´ecessite quelques commentaires pour se fixer les id´ees : on commence par introduire les potentiels chimiques des contacts, puis en d´eveloppant la th´eorie, les potentiels chi-miques vont naturellement induire des d´ependances temporelles dans les amplitudes. Ceci est suffisant pour ce chapitre, mais pour r´ef´erence, dans l’annexe I, on rappelle la transformation unitaire permettant de traiter les cas des tensions d´ependantes du temps utilis´ees dans les probl`emes de r´egimes photo-assist´es ou concernant les “pas de Shapiro”. Dans une jonction, il est attendu qu’en l’absence de diff´erence de potentiel, il n’y ait pas de courant, exception faite du courant Josephson qui est un courant d’´equilibre. Cette exception n’en est finalement pas une, si l’on consid`ere la transformation unitaire g´en´e-rale qu’on applique pour introduire les tensions. En effet, un courant Tunnel est produit, si les amplitudes Tunnel sont d´ephas´ees. Que ce soient des potentiels chimiques ou un d´ephasage dans la fonction d’appariement de paire de Cooper (∆(.)), apr`es une trans-formation unitaire g´en´erale (voir annexeI), les amplitudes Tunnel sont alors d´ephas´es. L’hamiltonien g´en´eral de la jonction est alors
H = HD+ X j=L,R,N Hj+ HT(t) , (6.1) avec HD = ǫ X σ=↑,↓ d†σdσ+ Ud† ↑d↑d†↓d↓ ,
o`u l’interaction coulombienne est prise ´egale `a z´ero (U = 0) dans la premi`ere partie de cette ´etude. Les hamiltoniens des supraconducteurs BCS et du m´etal normal sont souvent ´ecrits en termes de spineurs de Nambu :
Hj =X k Ψ† jk(ξkσz+ ∆jσx) Ψjk , Ψjk= ψjk,↑ ψ†j(−k),↓ , ξk= k2/(2m) − µ , (6.2)
avec les matrices de Pauli σz, σx agissant sur ces spineurs. Le gap est suppos´e identique pour les deux supraconducteurs ∆j := ∆ pour j = L, R alors que pour le contact m´etallique j = N , on pose ∆N = 0. En utilisant toujours les spineurs de Nambu, l’hamiltonien Tunnel s’´ecrit
HT(t) =X jk Ψ† jkTj(t) d + h.c. , d = d↑ d†↓ ! , (6.3)
avec l’amplitude Tunnel Tj(t) = tjσzeiσzχj(t)/2o`u χj(t) = σjV t, σj = ±1 pour j = L/R.