C) Liste des invariances de l’espace réciproque
4.2.4 TRAVAUX ANTERIEURS SUR LES EFFETS DES COLLISIONS SUR LES SURFACES
Un travail antérieur[1] s’est intéressé aux effets des collisions de surface sur le tenseur de conductivité thermique. Ce travail utilise directement la formule de Callaway pour accéder au tenseur de conductivité thermique.
Comme pour ce travail de thèse, Aksamija utilise la dispersion Full-Band des phonons, obtenue avec l’ « Adiabatic Bond Charge Model ». En revanche, pour les temps de relaxation, il utilise un modèle différent. Il utilise également une formule semi-empirique pour obtenir les temps de relaxation phonons-phonons. Toutefois, la formule qu’il emploie provient d’une étude ab-initio [87] et correspond à :
1 , / , , n a T AN U g T
(4-19)Où A,N U/ est une constante ajustée pour chaque mode et chaque type d’interaction (Normale ou Umklapp). g T
T1 exp
3 /T D
où Dest la température de Debye. Pour les interactions Normales, n2. Pour les interactions Umklapp, n4. Ce modèle permet d’éviter la séparation brutale et relativement arbitraire entre les phonons aptes à subir des interactions Normales et ceux aptes à subir des interactions Umklapp. Autrement dit, les phonons de haute énergie peuvent subir des interactions Normales, même s’ils ont plus de chance de subir des interactions Umklapp, et inversement, les phonons de basse énergie peuvent subir des interactions Umklapp, même s’ils ont plus de chance de subir des interactions Normales. Pour les interactions avec les impuretés, il utilise la formule suivante qui ne tient compte que des impuretés dues aux isotopes [100] :
1 , , 0 2 6 I V T DOS (4-20) Avec i
1 i/
i f m m
où fi est la proportion d’isotope i, mi est la masse de l’isotope i et m est la masse moyenne. V0 est le volume par atome. DOS
est la densité d’état. Cette formule s’obtient grâce à la théorie des perturbations, tout en tenant compte de l’anisotropie du matériau. Il est intéressant de noter que, si l’on suppose que la dispersion est isotrope et linéaire, la densité d’état est proportionnelle à 2, et le temps de relaxation 1I
devient proportionnelle à 4
. La formule (3-36) utilisée dans cette thèse est dérivée de la formule (4-20), mais n’est vraiment pertinente que dans le cas d’une dispersion isotrope linéaire.
Figure 46 : Valeurs propres du tenseur de conductivité thermique en fonction de la température pour des nanofilms d’épaisseur 20 nm et de trois orientations cristallographiques différentes : (001), (011) et (111). La rugosité est de 0,45 nm. Cette figure est extraite de [1].
Les résultats de tenseur de conductivité thermique dans des nanofilms, obtenus par Aksamija [1] sont présentés à la Figure 46. On voit une forte dépendance de la conductivité thermique à l’orientation cristallographique du nanofilm. Dans le nanofilm orienté parallèlement au plan (011), on voit même une différence entre les deux valeurs propres dans le plan (« in-plane ») du tenseur de conductivité thermique.
Contrairement aux valeurs propres « in-plane » du tenseur de conductivité thermique, les valeurs propres hors plan (« out-of-plane ») ne sont pas pertinentes puisque, avec une épaisseur de 20 nm, le régime sera nettement plus balistique que diffusif. On se situe donc en dehors du domaine d’application du modèle de Callaway.
5 . S i m u l a t i o n M o n t e C a r l o
Nous avons utilisé la méthode Monte Carlo décrite au chapitre 3.3 pour simuler des nanofils de 200 nm de long, de section carrée, de rugosité de 0,5 nm, exposé à une extrémité à une source de chaleur à 310 K et à l’autre extrémité à une autre source de chaleur à 290 K. L’évolution de la conductivité des nanofils en fonction de l’aire de leur section transverse a pu être établie dans des nanofils dont l’axe principal est selon l’axe cristallographique
100 et dans des nanofils dont l’axe principal est selon l’axe cristallographique
110 . Les résultats sont présentés à la Figure 47.Figure 47 : Conductivité thermique dans des nanofils de direction 100 (bleu) et de direction 110 (vert). Les nanofils sont de section carrée et ont une rugosité de surface de 0,5 nm. La conductivité est présentée en fonction de la surface de la section du nanofil.
On voit apparaître une légère différence de conductivité thermique en fonction des directions dans les nanofils les plus étroits. L’anisotropie mise en évidence est tout de même plus faible que celle calculée par Aksamija. Une des raisons possibles est que le nanofil serait trop court pour que le régime devienne diffusif. En effet, puisque l’anisotropie du tenseur de conductivité thermique provient des collisions sur les surfaces, il est attendu que la différence de conductivité thermique augmente avec le taux de collision sur les surfaces. C’est pourquoi l’anisotropie augmente quand la section du nanofil rétrécie et c’est pourquoi on peut s’attendre à ce qu’elle augmente aussi quand le nanofil s’allonge.
Il serait également intéressant de voir l’évolution des conductivités avec la température des nanofils. En effet, Aksamija [1] a montré que les anisotropies de conductivité thermique sont plus élevées à basse température (entre 50 K et 200 K).
Une autre perspective envisagée serait d’étudier les mêmes nanofils que dans l’étude de Aksamija, afin de pouvoir évaluer l’influence de la longueur entre les points où est appliquée la différence de température.
De plus, la formule utilisée par Aksamija suppose un régime purement diffusif. Notre méthode Monte Carlo permet de simuler aussi les régimes intermédiaires (fils courts, basses températures,…). Nous pourrons compléter cette précédente étude de l’anisotropie dans tous les régimes de transport.
C h a p i t r e 5
CONCLUSION
Les propriétés électriques des semi-conducteurs les ont rendus indispensables dans les technologies modernes. Dans les semi-conducteurs, la chaleur est principalement portée par les phonons, dont la longueur du libre parcours moyen est de quelques centaines de nanomètres. Quand la taille des structures de semi-conducteurs atteint cet ordre de grandeur, le transport thermique devient balistique et ne suit plus la loi de Fourier. D’autres moyens doivent donc être utilisés pour modéliser le transport thermique dans ces nanostructures.
Dans cette thèse, j’ai cherché à mettre en évidence des effets d’anisotropie dans le transport thermique dans les nanostructures à base de semi-conducteurs. La résolution de l’équation de transport de Boltzmann par la méthode Monte Carlo nous est apparue comme étant la méthode la plus adaptée. En effet, un des points forts de cette méthode est de permettre une modélisation fine des interactions, en particulier élastiques, telles que celles qui se produisent sur les surfaces des nanostructures.
Les matériaux de structure zinc-blende tels que le silicium et le germanium ont une relation de dispersion de phonon anisotrope. Pourtant, dans les dispositifs macroscopiques, les fortes symétries du cristal et les nombreuses interactions assurent l’isotropie de la conductivité thermique. En revanche, à l’échelle microscopique où le régime devient balistique, les surfaces (formes, orientations, rugosités d’interface, …) joue un rôle primordial dans le transport de la chaleur. Dans ce régime, tenir compte de l’anisotropie de la dispersion des phonons devient important pour comprendre le transport thermique. Ainsi, l’orientation des plans cristallographiques du cristal par rapport aux surfaces du dispositif va déterminer la conductance thermique du dispositif.
Dans cette thèse, j’ai utilisé l’ « Adiabatic Bond Charge Model » pour obtenir la dispersion des phonons dans l’ensemble de la zone de Brillouin. Cette méthode a été choisie parce qu’il s’agit d’une méthode semi-empirique à seulement 4 paramètres ajustables, qui permet d’approcher la dispersion expérimentalement mesurée avec une précision remarquable. De plus cette méthode est suffisamment réaliste pour dépendre de la structure atomique du cristal. Elle permet donc d’estimer l’influence d’un changement de cette structure atomique. Dans cette thèse, nous avons utilisé cette adaptabilité pour obtenir la dispersion du germanium de structure de type wurtzite à partir des paramètres du germanium de structure Zinc-Blende. Des travaux antérieurs ont déjà utilisé cette adaptabilité pour établir la densité d’états des nanocristaux [62] ou le confinement de la dispersion dans des nanofilms [101], ou encore la dispersion dans un empilement périodique de nanofilms [102], [103].
J’ai proposé un modèle analytique par morceau pour représenter la dispersion des phonons. Les dispersions en vitesse et énergie sont toujours décrites avec ce modèle semi-analytique afin d’obtenir une grande précision en calculant et en stockant seulement un minimum de points, ce qui permet un gain de temps et de mémoire non-négligeable.
Cependant pour calculer les différentes intégrales et les tirages aux sorts sur la zone de Brillouin à 3 dimensions, nécessaires à l’algorithme de transport Monte Carlo, les calculs analytiques par morceaux restaient compliqués à mettre en œuvre et nous avons dû nous résoudre à rediscrétiser (grâce aux relations analytiques) finement la zone de Brillouin et à réaliser entièrement numériquement ces intégrales.
J’ai également développé un modèle, inspiré de l’ « Acoustic Mismatch Model » pour calculer les probabilités de transfert à travers une hétérojonction. Ce modèle tient compte de l’anisotropie de la dispersion des phonons. Il nous a permis d’estimer les flux thermiques traversant des interfaces entre matériaux de structures cristallographiques différentes, ainsi que l’influence d’un changement d’orientation cristallographique de l’interface. Pour cela nous avons utilisé le formalisme de Landauer. Mes résultats montrent que
l’anisotropie a un fort impact sur les hétérojonctions. La validité de ce formalisme se limite au régime purement balistique.
C’est pourquoi ce modèle d’interface va être prochainement introduit dans l’algorithme de transport Monte Carlo pour considérer les effets d’un régime intermédiaire entre le régime balistique et le régime diffusif.
Une autre perspective à ce travail est de simuler en parallèle du transport de phonons le transport d’électrons, toujours avec une méthode Monte Carlo particulaire, et de les coupler grâce aux interactions électrons-phonons. Dans le cadre de la thermoélectricité, l’influence du transport de phonons sur le transport électrique et inversement pourrait ainsi être étudiée finement.
A n n e x e 1
FORMULE DE CALLAWAY
Equation de Boltzmann
Dans l’approximation du temps de relaxation, l’équation de transport de Boltzmann pour l’un des modes de phonon s’écrit :
𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗, 𝑡) − 𝑓0(𝑇(𝑟⃗), 𝜔(𝑞⃗))
𝜏(𝑞⃗) = 𝑣⃗ ∙ ∇⃗⃗⃗𝑟⃗𝑛 + 𝐹⃗ ∙ ∇⃗⃗⃗𝑞⃗⃗𝑛 + 𝜕𝑛 𝜕𝑡
Où f0 est la distribution de Bose-Einstein, 𝑛𝑖est la fonction de distribution des phonons d’un mode donné, 𝜏 est le temps de relaxation des phonons de ce mode.
En régime stationnaire, le troisième terme à droite disparait. Les phonons n’ont pas de charge électrique et ne subissent aucune force donc le deuxième terme à droite s’annule aussi. Il reste donc :
𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗, 𝑡) − 𝑓0(𝑇(𝑟⃗), 𝜔(𝑞⃗))
𝜏(𝑞⃗) = 𝑣⃗ ∙ ∇⃗⃗⃗𝑟⃗𝑛
On isole alors la fonction de distribution des phonons (qui se trouve dans le membre de gauche). 𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) = 𝑓0(𝑇(𝑟⃗), 𝜔(𝑞⃗)) + 𝜏(𝑞⃗) × {𝑣𝑥𝜕𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) 𝜕𝑥 + 𝑣𝑦 𝜕𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) 𝜕𝑦 + 𝑣𝑧 𝜕𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) 𝜕𝑧 }
On ajoute l’approximation de l’équilibre thermodynamique locale : 𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) = 𝑓0(𝑇(𝑟⃗), 𝜔(𝑞⃗))
La dérivée dans l’espace réel de la fonction de distribution des phonons devient donc : 𝜕𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) 𝜕𝑥 = 𝜕𝑓0(𝑇, 𝜔(𝑞⃗)) 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑥
L’expression de la fonction de distribution des phonons devient : 𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) = 𝑓0(𝑇(𝑟⃗), 𝜔(𝑞⃗)) + 𝜏(𝑞⃗)
×𝜕𝑓0(𝑇, 𝜔(𝑞⃗))
𝜕𝑇 {𝑣𝑥(𝑞⃗)𝜕𝑇𝜕𝑥+ 𝑣𝑦(𝑞⃗)𝜕𝑇𝜕𝑦+ 𝑣𝑧(𝑞⃗)𝜕𝑇𝜕𝑧}
Flux thermique
Le flux thermique généré par les phonons s’écrit :
𝑗⃗(𝑟⃗) = ∭ ℎ̅𝜔(𝑞⃗) × 𝑣⃗(𝑞⃗) × 𝑛(𝑟⃗, 𝑞⃗) × 𝑑𝑞⃗ (2𝜋)3
On remplace la fonction de distribution par l’expression précédente :
𝑗⃗(𝑟⃗) = ∑ ∭ ℎ̅𝜔(𝑞⃗) × 𝑣⃗(𝑞⃗) × 𝜏(𝑞⃗) 𝑖 ×𝜕𝑓0(𝑇, 𝜔(𝑞⃗)) 𝜕𝑇 {𝑣𝑥(𝑞⃗)𝜕𝑇𝜕𝑥+ 𝑣𝑦(𝑞⃗)𝜕𝑇𝜕𝑦+ 𝑣𝑧(𝑞⃗)𝜕𝑇𝜕𝑧} × 𝑑𝑞⃗ (2𝜋)3
Tenseur de conductivité thermique
Le tenseur de conductivité thermique 𝐺̂ est défini par l’équation: 𝑗⃗(𝑟⃗) = 𝐺̂∇⃗⃗⃗𝑇
On identifie dans l’équation précédente :
𝐺𝑖𝑗 = ∭ ℎ̅𝜔(𝑞⃗) × 𝑣𝑖(𝑞⃗) × 𝜏(𝑞⃗) ×𝜕𝑓0(𝑇, 𝜔(𝑞⃗)) 𝜕𝑇 𝑣𝑗(𝑞⃗) × 𝑑𝑞⃗ (2𝜋)3 Or 𝑓𝐵𝐸(𝜔, 𝑇) = 1 exp(𝑘ℎ̅𝜔 𝐵𝑇) − 1 𝜕𝑓𝐵𝐸 𝜕𝑇 (𝜔, 𝑇) = ℎ̅𝜔 𝑘𝐵𝑇2 exp(𝑘ℎ̅𝜔 𝐵𝑇) (exp(𝑘ℎ̅𝜔 𝐵𝑇) − 1) 2
Donc on trouve l’expression du tenseur de conductivité thermique [1] :
𝐺𝑖𝑗(𝑇) = ∭ 𝑘𝐵(ℎ̅𝜔(𝑞⃗) 𝑘𝐵𝑇 ) 2 exp(ℎ̅𝜔(𝑞⃗)𝑘 𝐵𝑇 ) (exp(ℎ̅𝜔(𝑞⃗)𝑘 𝐵𝑇 ) − 1) 2× 𝑣𝑖(𝑞⃗)𝑣𝑗(𝑞⃗) × 𝜏(𝑞⃗) × 𝑑𝑞⃗ (2𝜋)3 Hypothèse isotrope
En ajoutant l’hypothèse que la dispersion est isotrope, la pulsation est en fait une fonction de la norme du vecteur d’onde :
𝑑𝜔 = 𝑣(𝑞)𝑑𝑞 Où 𝑣(𝑞) =𝑑𝜔 𝑑𝑞 𝑣𝑖(𝑞⃗) =𝜕𝜔𝜕𝑞 𝑖 = 𝜕𝑞 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝜔 𝜕𝑞 = 𝑞𝑖 𝑞 𝑣(𝑞) Et 𝑑𝑞⃗ = 𝑞2sin 𝜃 𝑑𝑞𝑑𝜃𝑑𝜑 Donc 𝐺𝑖𝑗(𝑇) = ∭ 𝑘𝐵(ℎ̅𝜔(𝑞) 𝑘𝐵𝑇 ) 2 exp(ℎ̅𝜔(𝑞)𝑘 𝐵𝑇 ) (exp(ℎ̅𝜔(𝑞)𝑘 𝐵𝑇 ) − 1) 2×𝑞𝑖𝑞𝑗 𝑞2 𝑣2(𝑞) × 𝜏(𝑞) × 𝑑𝑞⃗ (2𝜋)3 𝐺𝑖𝑗(𝑇) = 𝑘𝐵 (2𝜋)3∫ (ℎ̅𝜔(𝑞) 𝑘𝐵𝑇 ) 2 exp(ℎ̅𝜔(𝑞)𝑘 𝐵𝑇 ) (exp(ℎ̅𝜔(𝑞)𝑘 𝐵𝑇 ) − 1) 2× 𝜏(𝑞) × 𝑣2(𝑞) × 𝑑𝑞 × ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑖𝑞𝑗 𝑞2 2𝜋 0 𝑑𝜑 𝜋 0 De plus, 𝑞𝑥= 𝑞 sin 𝜃 cos 𝜑
𝑞𝑦 = 𝑞 sin 𝜃 sin 𝜑 𝑞𝑧= 𝑞 cos 𝜃
Donc les intégrales angulaires ont les expressions suivantes:
∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑥𝑞𝑥 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ (sin 𝜃)𝜋 3𝑑𝜃 0 × ∫ (cos 𝜑)2𝜋 2𝑑𝜑 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑥𝑞𝑥 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 =1 4∫ (3 sin 𝜃 − sin 3𝜃)𝑑𝜃 𝜋 0 × 𝜋 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑥𝑞𝑥 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 =𝜋 4(6 − 2 3) ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑥𝑞𝑥 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 =4𝜋 3 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑦𝑞𝑦 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ (sin 𝜃)𝜋 3𝑑𝜃 0 × ∫ (sin 𝜑)2𝜋 2𝑑𝜑 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑦𝑞𝑦 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 1 4∫ (3 sin 𝜃 − sin 3𝜃)𝑑𝜃 𝜋 0 × 𝜋 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑦𝑞𝑦 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 𝜋 4(6 − 2 3) ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑦𝑞𝑦 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 4𝜋 3 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑧𝑞𝑧 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ sin 𝜃 (cos 𝜃)2𝑑𝜃 𝜋 0 × ∫ 𝑑𝜑 2𝜋 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑧𝑞𝑧 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 2𝜋 ×1 4∫ (sin 𝜃 + sin 3𝜃)𝑑𝜃 𝜋 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑧𝑞𝑧 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 =𝜋 2(2 + 2 3)
∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑧𝑞𝑧 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 4𝜋 3 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑥𝑞𝑦 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ (sin 𝜃)𝜋 3𝑑𝜃 0 × ∫ cos 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑥𝑞𝑦 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ (sin 𝜃)𝜋 3𝑑𝜃 0 ×1 2∫ sin 2𝜑 𝑑𝜑 2𝜋 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑥𝑞𝑦 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑦𝑞𝑧 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ cos 𝜃 (sin 𝜃)𝜋 2𝑑𝜃 0 × ∫ sin 𝜑 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑦𝑞𝑧 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑧𝑞𝑥 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = ∫ cos 𝜃 (sin 𝜃)𝜋 2𝑑𝜃 0 × ∫ cos 𝜃 𝑑𝜑2𝜋 0 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑞𝑧𝑞𝑥 𝑞2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝜋 0 = 0
𝐺𝑖𝑗(𝑇) = 𝛿𝑖𝑗4𝜋3 𝑘𝐵 (2𝜋)3∫ (ℎ̅𝜔(𝑞) 𝑘𝐵𝑇 ) 2 exp(ℎ̅𝜔(𝑞)𝑘 𝐵𝑇 ) (exp(ℎ̅𝜔(𝑞)𝑘 𝐵𝑇 ) − 1) 2× 𝜏(𝑞) × 𝑣2(𝑞) × 𝑑𝑞
3
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