Travaux ant´erieurs sur des solutions autosemblables en FCI

2.1.1.1 Mise en ´evidence de l’existence de solutions autosemblables

Marshak (1958) a ´et´e le premier `a effectuer la transformation du syst`eme (1.3) `a une dimen-sion en un syst`eme r´eduit et `a mettre en ´evidence la possibilit´e de solutions autosemblables pour ce syst`eme dans le cas de la conduction radiative (c’est-`a-dire avec m = −2 et n = 13/2 dans la loi de puissance (1.5)). Son ´etude porte sur des configurations planes, `a densit´e et `a pression constantes, pour lesquelles la fronti`ere entre le milieu froid et le milieu chaud subit une loi de temp´erature en puissance du temps. Au cours de son ´etude, il utilise une description lagrangienne de l’´ecoulement. En utilisant le mˆeme type de solutions, Anisimov (1970) travaille sur le cas d’une onde thermique dans un plasma bi-temp´erature (temp´eratures ionique et ´electronique diff´erentes). Sous la forme de lois de puissance en temps, il exprime les variations de densit´e, de vitesse et de

temp´erature.

Au CEA, des ´etudes pour les ´equations d’Euler avec conduction non-lin´eaire de chaleur sont men´ees. Bajac (1973) met en ´evidence le comportement autosemblable des solutions des ´equa-tions de l’hydrodynamique avec conduction. Travaillant en sym´etrie plane, il utilise une descrip-tion lagrangienne. Son ´etude, qui repose sur l’hypoth`ese d’une loi de temp´erature sous la forme d’une puissance du temps, aboutit `a l’obtention de lois de comportement en temps des grandeurs physiques. Son travail a ´et´e poursuivi quelques ann´ees plus tard par Brun et al. (1977). En partant de conditions initiales et aux limites particuli`eres, ils ´etablissent les lois d’autosimilitude pour les ´equations unidimensionnelles de l’hydrodynamique avec transfert thermique (1.3) dans le cas de la conduction ´electronique, c’est-`a-dire avec :

m = 0 et n = 5/2. (2.1)

Dans cette ´etude, l’´energie et la pression radiatives sont n´eglig´ees. Les auteurs consid`erent ´egale-ment que la temp´erature ionique et la temp´erature ´electronique sont ´egales. Les conditions initiales et aux limites s’expriment comme suit :

ρ(x, t = 0) = 1,

T (x, t = 0) = 0, ^(2.2)

et :

ϕ(x = 0, t) = t ϕ0,

p(x = 0, t) = t^2/3p₀, pour t > 0, ^(2.3)

avec ϕ₀ et p₀ les valeurs des coefficients respectifs du flux thermique et de la pression. En notant ξ la variable de similitude employ´ee, les solutions num´eriques qu’ils obtiennent ob´eissent aux lois suivantes :

ρ = G(ξ), v_x = t^1/3V_x(ξ),

T = t^2/3Θ(ξ).

(2.4)

2.1.1.2 Etudes avec des configurations d’´^´ ecoulements plus ´elabor´ees `

A la fin des ann´ees 1970, Barrero et Sanmart`ın (1977) et Sanmart`ın et Barrero (1978a,b) se sont int´eress´es `a un mod`ele de plasma `a deux temp´eratures, avec des temp´eratures ionique et ´electronique diff´erentes, en imposant un terme de d´epˆot d’´energie ´evoluant lin´eairement avec le temps. Leur ´etude est bas´ee sur une description eul´erienne et une g´eom´etrie plane. Ils mod´elisent d’abord un plasma initialement au repos de densit´e ρ<sub>0</sub>, qui occupe tout l’espace (Barrero et Sanmart`ın, 1977). Un flux laser croissant en temps est d´epos´e `a t = 0 le long du plan x = 0, tel que :

Φ(t) = Φ₀t / τ, avec 0 < t < τ, (2.5)

o`u τ est un temps caract´eristique. Le r´esultat de cette ´etude est un ´ecoulement autosemblable, r´egi par un nombre sans dimension α tel que :

α ∝ ρ²0τ / Φ₀
2/3

. Des r´esultats asymptotiques sont obtenus :

Formulation autosemblable de l’´ecoulement de base 35

– pour α ≪ 1, la convection et la temp´erature ionique sont n´egligeables, une onde thermique transporte l’´energie,

– pour α ≫ 1, ils traitent de mani`ere analytique les r´egions isentropique et de conduction et d´emontrent que les temp´eratures ionique et ´electronique sont quasiment identiques. Plus tard, Sanmart`ın et Barrero (1978a,b) cherchent `a travailler sur une configuration plus r´ealiste de l’irradiation d’un plasma par un laser. Pour cela, ils introduisent deux nouveaux param`etres sans dimension : ǫ qui caract´erise l’opacit´e du plasma vis-`a-vis du laser et Z<sub>i</sub> la charge ionique. Ils ´etudient ensuite diff´erentes zones de l’´ecoulement d´efinies par diverses valeurs de α et de ǫ. Au CEA, Saillard (1983) a repris les r´esultats de similitude (2.4) de Brun et al. (1977) et a pouss´e encore plus loin cette ´etude en formulant les transform´ees de similitude. Parmi ses r´esultats, il a obtenu le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees ordinaires v´erifi´e par les fonctions de forme des grandeurs physiques. Ce probl`eme est r´esolu par une m´ethode num´erique de r´esolution bas´ee sur une m´ethode de diff´erences finies. Reinicke et Meyer-Ter-Vehn (1991) ´etudient l’influence de la conduction thermique non-lin´eaire pour une explosion ponctuelle dans un gaz `a temp´era-ture ambiante. En configuration sph´erique, ce travail est fond´e sur une description eul´erienne. L’interaction de deux ondes sph´eriques est ´etudi´ee : une onde de choc repr´esentant le transport hydrodynamique d’une part et une onde thermique qui provient du transport par diffusion non-lin´eaire d’autre part. Le cas autosemblable est trait´e plus particuli`erement. La position relative des deux ondes reste alors inchang´ee avec le temps. Dans cet article, les auteurs pr´esentent les solutions exactes `a partir d’int´egrations num´eriques. Ils observent que l’autosimilarit´e disparaˆıt au moment t₁ auquel la position relative de ces deux fronts est modifi´ee, dans le cas o`u la densit´e du gaz est uniforme. Ils en concluent que le front amont est soumis `a de la conduction thermique et qu’un front de choc isotherme se forme `a l’int´erieur de l’onde thermique. Pour des temps t ≫ t1, un front thermique de tr`es faible ´epaisseur est form´e `a l’int´erieur de la r´egion choqu´ee. Finalement, leur ´etude montre que l’onde thermique finit par devenir autosemblable.

Sanz et al. (1992), dont l’´etude est bas´ee sur une configuration plane et une description eul´erienne, traitent le probl`eme de l’irradiation radiative d’un plasma `a une seule temp´erature, initialement au repos, de mani`ere asymptotique. Ils utilisent la mˆeme loi de flux que Barrero et Sanmart`ın (1977) et une condition `a la limite en vitesse nulle en x = 0. La configuration de l’´ecoulement est d´efinie par un seul param`etre β qui repr´esente l’inverse du nombre de P´eclet. Dans le cas o`u β ≪ 1, la conduction est dominante, la configuration de l’´ecoulement est celle qui suit la s´eparation hydrodynamique. La zone de conduction est une zone o`u l’´ecoulement est subsonique et le flux d’´energie cin´etique n´eglig´e. Dans la zone sous-choc, au contraire, c’est la conduction thermique qui est n´eglig´ee. Les solutions qu’ils obtiennent (Sanz et al., 1992) ne sont plus valables au voisinage du front d’ablation. Apr`es un redimensionnement des grandeurs, ils d´emontrent que les ´echelles de longueur des zones sous-choc et de conduction sont du mˆeme ordre.

2.1.1.3 Travaux r´ecents

Plus r´ecemment, plusieurs ´etudes (Boudesocque-Dubois, 2000; Gauthier et al., 2005; Abeguil´e et al., 2006; Boudesocque-Dubois et al., 2008; Lombard, 2008) ont travaill´e sur une approche permettant de calculer les ondes thermiques d’ablation sous forme autosemblable dans le cas de l’approximation de choc parfait avec un niveau de pr´ecision compatible avec une analyse de sta-bilit´e hydrodynamique. Au cours de ces travaux, une ´etude param´etrique du syst`eme d’´equations autosemblables aux d´eriv´ees ordinaires est effectu´ee.

Murakami et al. (2007) traitent le probl`eme d’un plasma ablat´e d’une feuille acc´el´er´ee par de la conduction thermique. Dans cette ´etude, les auteurs montrent que le syst`eme hydrodynamique admet une solution autosemblable qui d´ecrit le processus d’ablation instationnaire. Ils ´etudient le probl`eme de transfert de chaleur avec des solutions autosemblables mais leur travail se d´emarque de la litt´erature existante (Marshak, 1958; Anisimov, 1970; Sanz et al., 1992) en s’int´eressant `

a un probl`eme physique diff´erent : une feuille acc´el´er´ee avec une masse finie, soumise `a de la conduction non-lin´eaire. Ce travail a ´et´e l’occasion pour les auteurs de pr´esenter une nouvelle solution autosemblable dont le mod`ele d´ecrit de fa¸con explicite l’´evolution temporelle du syst`eme. De plus, le profil spatial de la coquille acc´el´er´ee pr´esente un pic de densit´e fini et une limite entre la coquille et le vide distincte, o`u la pression et la densit´e tendent vers z´ero. L’origine des temps est choisie au moment o`u d´ebute l’effondrement de la coquille, c’est-`a-dire au moment de sa focalisation. Un nouveau probl`eme `a deux dimensions est alors r´esolu par Murakami et al. (2007).