M´ethode de Thompson

Le sens de propagation de l’information est une information essentielle dans le traitement des conditions aux limites dans le cas de ph´enom`enes de propagation d’ondes. Le domaine de calcul ne repr´esentant qu’une partie du domaine physique global, les ondes g´en´er´ees `a l’int´erieur du domaine de calcul doivent ˆetre correctement ´evacu´ees. Si les ondes sortantes peuvent ˆetre d´efinies `

a l’aide des informations internes au domaine de calcul, ce n’est pas le cas des ondes entrantes. Les conditions aux limites sont donc appliqu´ees `a ces derni`eres.

Afin de distinguer les ondes entrantes et sortantes, nous utilisons la m´ethode de Thompson (1987, 1990), bas´ee sur la m´ethode des caract´eristiques : le nombre de conditions aux limites requises en un point de la fronti`ere d’un domaine d’´etude doit correspondre au nombre d’ondes entrantes dans ce mˆeme domaine. Cette m´ethode est appliqu´ee au syst`eme (3.7) avec les d´efinitions (3.8 -3.10). Les renseignements dont nous avons besoin r´esident dans la matrice bA_ξ. Le nombre d’ondes entrantes va ˆetre d´etermin´e par le signe des valeurs propres de la matrice bA_ξ. Par exemple, si le raisonnement porte sur l’origine, le nombre d’ondes entrantes est ´egal au nombre de valeurs propres positives de cette matrice. Celle-ci, qui est diagonalisable puisque (3.7) est hyperbolique, peut s’´ecrire de la fa¸con suivante :

b

A_ξ = bS⁻¹_{ξ Λ}b_ξSb_{ξ, (3.82)}

o`u les lignes de la matrice de passage bS<sub>ξ</sub> sont les vecteurs propres (s<sub>i</sub>)<sub>i=1..4</sub> de bA<sub>ξ</sub> et o`u bΛ_ξ est la matrice diagonale qui contient les valeurs propres (λi)_i=1..4 de bA_ξ. On peut donc ´ecrire, en multipliant (3.7) par bS_ξ :

b

S_ξ∂_tU + bb Λ_ξbS_ξ∂_ξU + bb S_ξBb_ξU = 0.b (3.83) En d´efinissant une nouvelle fonction bF_ξ telle que :

d bF_ξ = bS_ξd bU + bS_ξBb_ξU dt,b (3.84)

et en reportant (3.84) dans (3.83), on obtient un syst`eme d’´equations d’onde :

∂_tFb_{ξ + bΛξ∂ξF}b_{ξ = 0. (3.85)}

On remarque que lorsque l’on consid`ere d bF<sub>i</sub> = ∂<sub>tF</sub>b<sub>i + ∂ξF</sub>b<sub>idξ, si dξ = λidt alors d bFi = 0.</sub> Chaque composante bF<sub>i</sub> est donc constante sur les courbes de niveau d´ecrites par d<sub>t</sub>ξ = λ<sub>i</sub>. Les valeurs propres λ<sub>i,i=1..4</sub>sont donc les vitesses caract´eristiques des ondes solutions de ce syst`eme. `A chaque valeur propre de bA<sub>ξ</sub> est associ´ee une onde dont le sens de propagation d´epend du signe de cette valeur propre. La forme g´en´erale de (3.7) pour toutes les ondes est donn´ee par le syst`eme :

∂

∂ t_{U + b}b _S−1

o`u :

(L + L^⋆) = bΛ_ξSb_ξ ^∂

∂ ξ_U.b _(3.87)

Les composantes non-nulles deL (respectivement L⋆) correspondent aux ondes sortantes (respec-tivement entrantes). Les valeurs Li sont d´efinies `a partir des valeurs et vecteurs propres. Quant aux valeurs L⋆

i, elles sont d´etermin´ees `a partir des conditions aux limites. Il doit donc y avoir autant de conditions aux limites que d’ondes entrantes.

L’int´erˆet principal de cette m´ethode est de d´esigner les quantit´es sur lesquelles appliquer des con-ditions aux limites. Si toutes les ondes sont entrantes, alors les concon-ditions aux limites concernent toutes les quantit´es et la m´ethode de Thompson perd de son attrait. Au cours de ce travail de th`ese, les deux cas de figure vont se pr´esenter `a nous.

`

A ce niveau du m´emoire, la pr´esentation des m´ethodes et outils num´eriques utilis´es au cours de cette th`ese est achev´ee. Dans les cas o`u ces m´ethodes ont subi des modifications sp´ecifiques propres `a l’´etude pr´esent´ee ici, ces modifications sont expliqu´ees dans le m´emoire au moment opportun.

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Deuxi`eme partie

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Un des objectifs principaux de ce travail de th`ese est d’´elargir la gamme des ´ecoulements ´etudi´es `a l’aide de l’outil num´erique mis en place au cours de travaux pr´ec´edents (Boudesocque-Dubois, 2000; Boudesocque-Dubois et al., 2003, 2008; Clarisse et al., 2008; Lombard, 2008) et profond´ement remani´e au cours de ce projet. Pour cela, il convient de r´esumer les diff´erents ´ecoulements pour lesquels l’´etude des perturbations lin´eaires a d´ej`a ´et´e effectu´ee.

Deux types de conduction ont ´et´e ´etudi´es, la conduction ´elctronique et la conduction radiative. Cependant, pour ces deux types de conduction, la mˆeme approximation de pr´ecurseur thermique de taille n´egligeable a ´et´e prise en compte. Une partie du travail de th`ese a consist´e `a prendre en compte ce pr´ecurseur thermique. Consid´erer comme non-n´egligeable l’´epaisseur de ce front thermique implique l’introduction d’un choc isotherme. Mais cette nouvelle hypoth`ese provoque aussi la pr´esence de singularit´es diff´erentes de celles pr´esentes en approximation de choc parfait. L’inventaire de ces singularit´es constitue n´ecessairement la premi`ere ´etape de ce travail d’´etude.

Les exp´eriences des personnes qui ont travaill´e sur ce projet avant le d´ebut du travail dont il est question dans ce m´emoire ont permis de se faire une id´ee pr´ecise des points `a am´eliorer sur l’outil num´erique pour am´eliorer le rendement et la pr´ecision de celui-ci. Un point incon-tournable concerne la stabilit´e temporelle. En effet, les travaux pr´ec´edents (Boudesocque-Dubois, 2000; Boudesocque-Dubois et al., 2003, 2008; Clarisse et al., 2008; Lombard, 2008) ont montr´e que l’expression utilis´ee pour la contrainte de stabilit´e temporelle n’´etait pas satisfaisante dans le sens o`u le crit`ere CFL utilis´e devait ˆetre ajust´e `a chaque configuration consid´er´ee. Autrement dit, les caract´eristiques de l’´ecoulement n’´etaient pas toutes prises en compte.

De plus, le travail d’optimisation de l’outil num´erique se poursuit dans notre cas par un travail sur l’ensemble de la m´ethode num´erique et sur l’algorithme utilis´e pour la mettre en pratique. De meilleures performances du code num´erique, notamment en termes de temps de calcul, permettraient en effet une meilleure r´esolution spatiale et donc des r´esultats obtenus avec une plus grande pr´ecision.

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Chapitre 4

Analyse th´eorique du syst`eme

autosemblable d’´equations aux

d´eriv´ees ordinaires

Une grande partie de ce travail de th`ese a ´et´e consacr´ee `a l’´etude d’´ecoulements dans lesquels l’approximation du choc parfait est remplac´ee par un choc isotherme pr´ec´ed´e d’un front thermique supersonique (Fig. 4.1). Cette configuration est en effet, plus g´en´erale et permet d’´elargir la gamme d’´ecoulements concern´es par notre ´etude. La premi`ere ´etape de l’introduction de ce pr´ecurseur thermique concerne logiquement l’´ecoulement non-perturb´e, appel´e ´ecoulement de base, et dont l’analyse th´eorique fait l’objet de ce chapitre.

Le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees ordinaires ´ecrit sous forme autosemblable (3.1) a ´et´e le sujet de plusieurs travaux. Ceux-ci ont cherch´e `a clarifier le comportement de la solution sur la zone d’´etude. Sanmart`ın et Barrero (1978a), dans une ´etude param´etrique bas´ee sur une sym´etrie plane et un formalisme eul´erien, introduisent un choc isotherme au niveau de l’une des discontinuit´es pr´esentes dans l’´ecoulement. Ils ´etablissent dans une ´etude suivante (Sanmart`ın et Barrero, 1978b) le caract`ere sonique de cette singularit´e en utilisant les conditions de Chapman–Jouguet. Les comportements aux limites de la solution sont obtenues par raisonnement `a la limite par Pakula et Sigel (1985), qui utilisent pour leur part une sym´etrie plane dans le formalisme lagrangien. Plus r´ecemment, Murakami et al. (2007) ont effectu´e une ´etude syst´ematique des singularit´es pouvant ˆetre pr´esentes dans l’´ecoulement, en coordonn´ees sph´eriques, `a la mani`ere de Reinicke et Meyer-Ter-Vehn (1991) dont l’´etude portait sur une explosion ponctuelle avec conduction thermique. Il existe en effet une th´eorie, applicable aux syst`emes diff´erentiels, pr´esent´ee dans l’´etude de Reinicke et Meyer-Ter-Vehn (1991). Cette th´eorie est bas´ee sur une approche syst´ematique de tous les cas de figure envisageables. Plutˆot que de se contenter des r´esultats publi´es dans la litt´erature, l’utilisation de cette approche syst´ematique permet de ne passer `a cˆot´e d’aucune singularit´e pr´esente dans le syst`eme d’´equations sous forme autosemblable (2.28), soit :

d_ξVx+ α ξ d_ξΥ = 0, (4.1a) (α− 1) Vx− α ξ dξV_x+ d_ξP = 0, (4.1b) 2 (α− 1)_γ^Θ − 1^{− α ξ} d_ξΘ γ− 1^{+ Υ} −1 Θ V_x+ d_ξΦ_x = 0, (4.1c) avec Φx = −Υ^−m−1Θⁿd_ξΘ. (4.2)

Cette d´emarche peut se d´ecomposer en trois ´etapes. Dans un premier temps, la formulation autonome du syst`eme est exprim´ee (section 4.1). Il s’agit d’une formulation dans laquelle la

vari-Temperature Densite Front d’ablation Choc Choc adiabatique Choc isotherme Front thermique

Figure 4.1 – Configuration avec choc isotherme : comparaison avec la configuration com-prenant un choc parfait.

able ind´ependante ξ n’apparaˆıt pas explicitement. La forme diff´erentielle du syst`eme est ensuite ´ecrite dans le but de permettre l’identification des singularit´es (section 4.2). L’existence de ces points critiques est discut´ee en fonction des caract´eristiques physiques de l’´ecoulement. Enfin, le comportement de la solution au voisinage des singularit´es pr´esentes dans l’´ecoulement est ´etudi´e (section 4.3).

4.1 Formulation autonome

Le but de cette partie de l’´etude est d’´ecrire le syst`eme autosemblable d’´equations en for-mulation autonome, c’est-`a-dire sans que la variable autosemblable ξ n’apparaisse explicitement. En effet, ce type de formulation est n´ecessaire pour effectuer une analyse locale de la solution. La m´ethode pour obtenir cette formulation autonome est d´ecrite par Bender et Orszag (1987). Tout d’abord, il faut trouver le jeu de coefficients permettant d’obtenir un syst`eme invariant par changement d’´echelle. L’invariance par changement d’´echelle est, en effet, une condition n´ecessaire et suffisante pour que la formulation autonome du syst`eme soit possible. Le jeu de coordonn´ees ainsi d´efini est ensuite utilis´e pour ´ecrire la forme ´equidimensionnelle en ξ du syst`eme, ´etape qui pr´ec`ede la formulation autonome. Le point de d´epart de cette proc´edure est la forme (4.1) du syst`eme d’´equations sous forme autosemblable.