Transport de l’oxygène et diffusion

𝑘𝑟 = 𝑆𝑟𝑒l 1 − 1 − 𝑆𝑟𝑒 1 𝑚𝑣 𝑚𝑣 2 (2.35)

où l est un paramètre décrivant l’interconnectivité des pores, 𝜁 est un paramètre d’intégration Sre

est la teneur en eau volumique réduite, avec mv =1-1/nv et Sre est décrit par l’équation 2.23. Plus d’information sur ces modèles et d’autres peut être trouvée dans Bussière (1999).

2.3 Transport de l’oxygène en milieu non-saturé

La méthode la plus efficace pour prévenir la formation de DMA en climat humide est d’empêcher le contact entre les rejets sulfureux et l’oxygène à l’aide de barrières à l’oxygène. Ainsi, il est important d’identifier et de bien comprendre les modes de transport de l’oxygène dans la zone vadose où se tiennent les principales réactions d’oxydation.

2.3.1 Transport de l’oxygène et diffusion

Dans un sol désaturé, le transport de l’oxygène se fait sous forme gazeuse à travers les pores interconnectés. Dans un sol saturé, le transport de l’oxygène se fait sous forme dissoute dans

l’eau. Dans un sol partiellement saturé, on est en présence de trois phases: la phase solide constituée des grains, la phase liquide et les gaz. Au sein du matériau, l’oxygène peut se déplacer sous forme gazeuse, dissoute ou mixte en fonction du degré de saturation du sol et de l’inter- connectivité des pores. L’eau constitue ainsi un frein au transport de l’oxygène.

Le principal mode de transport de l’oxygène dans un milieu présentant un degré de saturation faible et présentant une granulométrie fine, tel que des résidus miniers, est la diffusion moléculaire (Collin, 1987; Nicholson et al., 1989; Mbonimpa et al., 2003). Le transport par advection dans les parcs à résidus est considéré comme négligeable en raison de la faible perméabilité au gaz du milieu et au faible gradient de pression. L’advection pourrait toutefois être non-négligeable en régimes transitoires sous certaines conditions (e.g. Binning et al., 2007) mais celles-ci ne sont pas prises en compte ici.

2.3.1.1 Loi de Fick

La diffusion moléculaire peut se produire dans la phase gazeuse comme dans la phase aqueuse d’un milieu. Elle est engendrée par des gradients de pression partielle ou de concentration qui se créent entre une région de forte concentration en oxygène (ou pression partielle) vers une région de faible concentration (ou pression partielle). La diffusion tend à uniformiser la distribution spatiale des molécules jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint (Hillel, 1998). Le flux de diffusion d’oxygène dans un milieu poreux non-saturé à un temps t et une position z est défini par la première loi de Fick. Pour le transport en une dimension, elle s’écrit sous la forme suivante (Bear, 1972 ; Hillel ,1980):

𝐹𝑂2 𝑧, 𝑡 = −𝐷𝑒

𝜕𝐶 𝑧, 𝑡

𝜕𝑧 (2.36)

où 𝐹𝑂2(z,t) est le flux diffusive d’oxygène [ML -1

T-1], De est le coefficient de diffusion effectif

L2T-1 et C est la concentration en oxygène [ML-3 ou MolL-3] au temps t [T] et à la position z [L]. Dans le cas d’un parc à résidus recouvert d’une couverture, le système n’est pas nécessairement en condition stationnaire et la concentration d’oxygène peut varier avec la profondeur et dans le temps. La concentration C(z,t) à une position z et à un temps t peut être déterminée grâce à la seconde loi de Fick. Elle s’écrit sous la forme suivante (Hillel, 1980; Mbonimpa et al., 2003):

𝜕 𝜕𝑡(𝜃𝑒𝑞𝐶) = 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝐷𝑒 𝜕𝐶 𝜕𝑧 ) = 𝜕 𝜕𝑧 𝜃𝑒𝑞𝐷∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑧 (2.37)

où θeq est la teneur en air équivalente [L3L-3] et D* est le coefficient de diffusion apparent [L2T-1] (avec De = θeq D*). La teneur en air équivalente θeq est un paramètre qui prend en compte à la fois

la teneur en air volumique du sol θa et l’air dissout dans la phase aqueuse θw (θw = n*Sr et θa=

n*(1-Sr) ou n est la porosité totale). La teneur en oxygène dissout dans l’eau est exprimée à l’aide

de la constante d’Henry H, paramètre sans dimension qui est donné par le rapport H= Cw/Ca (où

Cw est la concentration d’oxygène dans l’eau à l’équilibre (≈9mg/L) et Ca est la concentration

d’oxygène dans l’air à l’équilibre (≈280 mg/L)). Pour l'oxygène à 20°C, H est généralement pris

égale à 0,03. La teneur en air équivalente est calculée à l’aide de l’équation suivante (Aubertin et al., 1999, 2000a) :

𝜃_𝑒𝑞 = 𝜃_𝑎 + 𝐻𝜃_𝑤 (2.38)

En présence de matériaux sulfureux qui s’oxydent au contact de l’oxygène, l’équation du flux de diffusion doit aussi prendre en considération la variation de concentration du gaz qui réagit avec le milieu. Les réactions d’oxydation des minéraux sulfureux sont considérées comme des réactions cinétiques de premier ordre. Elles peuvent être intégrées à la seconde loi de Fick à l’aide d’un paramètre appelé coefficient du taux de réaction Kr. On obtient l’équation

différentielle suivante (Mbonimpa et al., 2002c, 2003): 𝜃_𝑒𝑞 𝜕𝐶 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝐷𝑒 𝜕𝐶 𝜕𝑧 ) − 𝐾𝑟𝐶 = 𝜕 𝜕𝑧 𝜃𝑒𝑞𝐷∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑧 − 𝜃𝑒𝑞𝐾𝑟∗ 𝐶 (2.39)

où Kr est le coefficient du taux de réaction [L3L-3T-1 ou MM-1T-1] et Kr* est le coefficient du taux

de réaction apparent [L3L-3T-1 ou MM-1T-1] (où Kr = θeq Kr*).

Pour plusieurs applications, il est possible de simplifier l’équation 2.39 en posant que θeq et De

sont indépendants du temps et de la profondeur. On obtient alors une solution de la forme suivante:

𝜕𝐶 𝜕𝑡 = 𝐷∗

𝜕2_𝐶

𝜕𝑧2 − 𝐾𝑟∗𝐶 (2.40)

Dans certains cas, il est possible de procéder à des simplifications additionnelles. Ainsi lorsque les conditions varient peu (régime permanent) on peut considérer un état pseudo-stationnaire (∂C/∂t = 0) en posant C = 0 lorsque z tend vers l’infini. La solution à la seconde loi de Fick donne

le profil de concentration à un temps t pour une concentration Co initiale et s’écrit (Mbonimpa et

al., 2003; Gosselin et al., 2007) :

𝐶(𝑧, 𝑡) = 𝐶_𝑜𝑒 −𝑧 𝐾_𝑟∗ 𝐷∗ 𝑡 = 𝐶_𝑜𝑒 −𝑧 𝐾𝑟 𝐷𝑒 𝑡 (2.41)

Le flux stationnaire entrant dans les rejets non-couvert 𝐹_𝑂2est alors donné par la première loi de Fick (Mbonimpa et al., 2003, Gosselin et al., 2007) dont la solution s’écrit :

𝐹_𝑂2 𝑧 = 0 = 𝜃𝑒𝑞𝐶0 𝐷∗ 𝐾𝑟∗ = 𝐶0 𝐷𝑒𝐾𝑟 (2.42)

Le flux d’oxygène peut aussi être évalué dans le cas d’une couverture placée sur des résidus miniers réactifs. Les solutions ne sont pas présentées ici mais elles peuvent être trouvées dans Mbonimpa et al. (2003).

2.3.1.2 Coefficient de diffusion effectif De

Des essais de laboratoire tel que les essais en cellules de diffusion et en colonne, et des mesures sur le terrain permettent d’évaluer expérimentalement le coefficient de diffusion De d’un matériau. Comme pour la CRE et la conductivité hydraulique saturée, il est utile de pouvoir prédire la valeur de De à l’aide d’un modèle simple, particulièrement au début d’un projet. Différents modèles empiriques et semi-empiriques ont été développés afin d’obtenir une estimation de la valeur de De (voir la revue de Aachib et al., 2004). Des modèles semi-

empiriques, tels ceux de Marshall (1959), Millington et Quirk (1961) et Millington et Shearer (1971) permettent d’estimer le coefficient de diffusion à partir de la distribution des pores, de leur géométrie et de l’humidité dans le sol, mais ils négligent la diffusion de l’oxygène dans l’eau. Collin (1987) a modifié le modèle de Millington et Shearer (1971) pour prendre en considération

la diffusion de l’oxygène dans la phase aqueuse. Le modèle considéré dans cette étude est celui développé par Aubertin et al. (1999, 2000a), Mbonimpa et al. (2003) et Aachib et al. (2004) basé sur les travaux de Collin (1987). Ce modèle considère à la fois la diffusion de l’oxygène dans la phase aqueuse et dans la phase gazeuse.

D’après ce modèle le coefficient de diffusion effectif De est fonction du coefficient de diffusion de l’oxygène dans l’eau D°w (D°w= 2.2×10-9 m/s2) et du coefficient de diffusion de l’oxygène

dans l’air D°a (D°a=1.8×10-5 m/s2). La valeur varie en fonction de la teneur en eau θw et de la teneur en air θa du milieu. L’équation de De s’écrit sous la forme (Aachib et al., 2002, 2004): 𝐷_𝑒 = 1

𝑛2 𝐷°𝑎𝜃𝑎𝑝𝑎 + 𝐻𝐷°𝑤𝜃𝑤𝑝𝑤 (2.43)

On obtient généralement de bonnes prédictions de la valeur de De en posant pa=pw= 3.3 (Aubertin

et al., 2000; Mbonimpa et al., 2002, 2003). Il est aussi possible d’utiliser les équations suivantes pour exprimer plus précisément la variation de pa et pw avec la teneur en eau et en air du milieu (Aachib et al., 2004) :

𝑝𝑎 = 1,201 × 𝜃𝑎3 − 1,515 × 𝜃𝑎2 + 0,987 × 𝜃𝑎 + 3,119 (2.44)

𝑝_𝑤 = 1,201 × 𝜃_𝑤3 _{− 1,515 × 𝜃}

𝑤2 + 0,987 × 𝜃𝑤 + 3,119 (2.45)

La figure 2.5 montre des résultats présentés par Aachib et al. (2002, 2004). La courbe en trait plein donne l’approximation obtenue avec l’équation 2.43 (pour une porosité moyenne n de 0,4) alors que les points sont des valeurs obtenues expérimentalement pour diverses porosités. Cette figure montre une bonne concordance entre le modèle de prédiction et les résultats expérimentaux obtenus.

Figure 2-5 : Comparaison entre la courbe de prédiction du coefficient de diffusion effectif obtenu à l’aide du modèle d’Aachib et al. (2004) et des mesures obtenues en laboratoire (tiré de Gosselin, 2007)